1、 20202020 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题专题 03 二次函数与相似问题二次函数与相似问题 【真题再现】【真题再现】 1（2019年镇江第27题） 如图， 二次函数yx2+4x+5图象的顶点为D， 对称轴是直线l， 一次函数y= 2 5x+1的 图象与 x 轴交于点 A，且与直线 DA 关于 l 的对称直线交于点 B （1）点 D 的坐标是 （2，9） ； （2）直线 l 与直线 AB 交于点 C，N 是线段 DC 上一点（不与点 D、C 重合） ，点 N 的纵坐标为 n过点 N 作直线与线段 DA、DB 分别
2、交于点 P、Q，使得DPQ 与DAB 相似 当 n= 27 5 时，求 DP 的长； 若对于每一个确定的 n 的值，有且只有一个DPQ 与DAB 相似，请直接写出 n 的取值范围 9 5 n 21 5 【分析】 （1）直接用顶点坐标公式求即可； （2）由对称轴可知点 C（2，9 5） ，A（ 5 2，0） ，点 A 关于对称轴对称的点（ 13 2 ，0） ，借助 AD 的直线解 析式求得 B（5，3） ；当 n= 27 5 时，N（2，27 5 ） ，可求 DA= 95 2 ，DN= 18 5 ，CD= 36 5 当 PQAB 时， DPQDAB，DPDP= 9 45；当 PQ 与 AB 不平
3、行时，DP= 3 25， ；当 PQAB，DBDP 时，DB 35，DN= 24 5 ，所以 N（2，21 5 ） ，则有且只有一个DPQ 与DAB 相似时，9 5 n 21 5 ； 【解析】 （1）顶点为 D（2，9） ； 故答案为（2，9） ； （2）对称轴 x2， C（2，9 5） ， 由已知可求 A（ 5 2，0） ， 点 A 关于 x2 对称点为（13 2 ，0） ， 则 AD 关于 x2 对称的直线为 y2x+13， B（5，3） ， 当 n= 27 5 时，N（2，27 5 ） ， DA= 95 2 ，DN= 18 5 ，CD= 36 5 当 PQAB 时，DPQDAB， DAC
4、DPN， = ， DP= 9 45； 当 PQ 与 AB 不平行时，DPQDBA， DNQDCA， = ， DP= 3 25； 综上所述，DP= 3 25，DP= 9 45； 当 PQAB，DBDP 时， DB35， = ， DN= 24 5 ， N（2，21 5 ） ， 有且只有一个DPQ 与DAB 相似时，9 5 n 21 5 ； 故答案为9 5 n 21 5 ； 点睛：本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定 与性质是解题的关键 2 （2018 年扬州第 28 题）如图 1，四边形 OABC 是矩形，点 A 的坐标为（3，0） ，点 C 的坐标
5、为（0，6） ， 点 P 从点 O 出发，沿 OA 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A 运动，同时点 Q 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，当点 P 与点 A 重合时运动停止设运动时间为 t 秒 （1）当 t2 时，线段 PQ 的中点坐标为 （5 2，2） ； （2）当CBQ 与PAQ 相似时，求 t 的值； （3）当 t1 时，抛物线 yx2+bx+c 经过 P，Q 两点，与 y 轴交于点 M，抛物线的顶点为 K，如图 2 所 示，问该抛物线上是否存在点 D，使MQD= 1 2MKQ？若存在，求出所有满足条件的 D 的坐标；若不 存在，说明理由 【分析】
6、 （1）先根据时间 t2，和 P，Q 的运动速度可得动点 P 和 Q 的路程 OP 和 AQ 的长，再根据中 点坐标公式可得结论； （2）根据矩形的性质得：BPAQ90，所以当CBQ 与PAQ 相似时，存在两种情况： 当PAQQBC 时， = ，当PAQCBQ 时， = ，分别列方程可得 t 的值； （3）根据 t1 求抛物线的解析式，根据 Q（3，2） ，M（0，2） ，可得 MQx 轴，则 KMKQ，KE MQ，画出符合条件的点 D，证明KEQQMH 或利用三角函数，列比例式可得点 D 的坐标，同理根 据对称可得另一个点 D 【解析】 （1）如图 1，点 A 的坐标为（3，0） ， OA3
7、， 当 t2 时，OPt2，AQ2t4， P（2，0） ，Q（3，4） ， 线段 PQ 的中点坐标为： （2:3 2 ，0:4 2 ） ，即（5 2，2） ； 故答案为： （5 2，2） ； （2）如图 1，当点 P 与点 A 重合时运动停止，且PAQ 可以构成三角形， 0t3， 四边形 OABC 是矩形， BPAQ90 当CBQ 与PAQ 相似时，存在两种情况： 当PAQQBC 时， = ， 3; 2 = 6;2 3 ， 4t215t+90， （t3） （t 3 4）0， t13（舍） ，t2= 3 4， 当PAQCBQ 时， = ， 3; 2 = 3 6;2， t29t+90， t= 93
8、5 2 ， 9:35 2 3， t= 9+35 2 不符合题意，舍去， 综上所述，当CBQ 与PAQ 相似时，t 的值是3 4或 9;35 2 ； （3）当 t1 时，P（1，0） ，Q（3，2） ， 把 P（1，0） ，Q（3，2）代入抛物线 yx2+bx+c 中得： 1 + + = 0 9 + 3 + = 2，解得： = 3 = 2 ， 抛物线：yx23x+2（x 3 2） 21 4， 顶点 k（3 2， 1 4） ， Q（3，2） ，M（0，2） ， MQx 轴， 作抛物线对称轴，交 MQ 于 E，设 DQ 交 y 轴于 H， KMKQ，KEMQ， MKEQKE= 1 2MKQ， 如图
9、2，MQD= 1 2MKQQKE， tanMQDtanQKE= = ， 即 3 = 3 2 2:1 4 ，MH2， H（0，4） ， 易得 HQ 的解析式为：y= 2 3x+4， 则 = 2 3 + 4 = 2 3 + 2 ， x23x+2= 2 3x+4， 解得：x13（舍） ，x2= 2 3， D（ 2 3， 40 9 ） ； 同理，在 M 的下方，y 轴上存在点 H，如图 3，使HQM= 1 2MKQQKE， 由对称性得：H（0，0） ， 易得 OQ 的解析式：y= 2 3x， 则 = 2 3 = 2 3 + 2 ， x23x+2= 2 3x， 解得：x13（舍） ，x2= 2 3， D
10、（2 3， 4 9） ； 综上所述，点 D 的坐标为：D（ 2 3， 40 9 ）或（2 3， 4 9） 点睛：本题是二次函数与三角形相似的综合问题，主要考查相似三角形的判定和性质的综合应用，三角 形和四边形的面积，二次函数的最值问题的应用，函数的交点等知识，本题比较复杂，注意用 t 表示出 线段长度，再利用相似即可找到线段之间的关系，代入可解决问题 3 （2018 年镇江第 27 题）如图，二次函数 yx23x 的图象经过 O（0，0） ，A（4，4） ，B（3，0）三点， 以点 O 为位似中心， 在 y 轴的右侧将OAB 按相似比 2： 1 放大， 得到OAB， 二次函数 yax2+bx+
11、c （a0）的图象经过 O，A，B三点 （1）画出OAB，试求二次函数 yax2+bx+c（a0）的表达式； （2）点 P（m，n）在二次函数 yx23x 的图象上，m0，直线 OP 与二次函数 yax2+bx+c（a0） 的图象交于点 Q（异于点 O） 求点 Q 的坐标（横、纵坐标均用含 m 的代数式表示） 连接 AP，若 2APOQ，求 m 的取值范围； 当点 Q 在第一象限内，过点 Q 作 QQ平行于 x 轴，与二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象交于另 一点 Q，与二次函数 yx23x 的图象交于点 M，N（M 在 N 的左侧） ，直线 OQ与二次函数 yx2 3x 的图象交于点
12、 PQPMQBN，则线段 NQ 的长度等于 6 【分析】 （1）由位似求出 A、B坐标，代入解析式即可； （2）用 m 表示 P 的坐标及 OP 解析式，用 m 表示 OP 与抛物线交点 Q 的坐标，表示用 m 表示 AP、 OQ，代入 2APOQ，求出 m 范围； 用 m 表示 QQ解析式， 得到 P坐标， 求出 M、 N 坐标， 应用QPMQBN 构造方程求 m 【解析】 （1）由以点 O 为位似中心，在 y 轴的右侧将OAB 按相似比 2：1 放大，得 = =2 A（4，4） ，B（3，0） A（8，8） ，B（6，0） 将 O（0，0） ，A（8，8） ，B（6，0）代入 yax2+b
13、x+c 得 = 0 36 + 6 = 0 64 + 8 = 0 解得 = 1 2 = 3 = 0 二次函数的解析式为 y= 1 2x 23x； （2）点 P 在 yx23x 的图象上， nm23m， P（m，m23m） ， 设直线 OP 的解析式为 ykx 将点 P 代入，得 mkm23m，解得 km3， OP：y（m3）x 直线 OP 与 y= 1 2x 23x 交于点 Q 1 2x 23x（m3）x，解得 x10（舍） ，x22m， Q（2m，2m26m） P（m，n）在二次函数 yx23x 的图象上 nm23m P（m，m23m） 设直线 OP 的解析式为 ykx，将点 P（m，m23m
14、）代入函数解析式， 得 mkm23m km3 OP 的解析是为 y（m3）x OP 与 y1 2x 23x 交于 Q 点 = ( 3) = 1 2 2 3 解得 = 0 = 0（不符合题意舍去） = 2 = 22 6 Q（2m，2m26m）过点 P 作 PCx 轴于点 C，过点 Q 作 QDx 轴于点 D 则 OC|m|，PC|m23m|，OD|2m|，QD|226m| = =2 OCPODQ OQ2OP 2APOQ 2AP2OP，即 APOP ( 4)2+ (2 3 4)22+ (2 3)2 化简，得 m22m40，解得 15m1+5，且 m0； P（m，m23m） ，Q（2m，2m26m）
15、 点 Q 在第一象限， 20 22 60，解得3 由 Q（2m，2m26m） ，得 QQ的表达式是 y2m26m QQ交 y= 1 2x 23x 交于点 Q = 1 2 2 3 = 22 6 解得 = 2 = 22 6（不符合题意，舍） = 6 2 = 22 6 Q（62m，2m26m） 设 OQ的解析是为 ykx， （62m）k2m26m 解得 km，OQ的解析式为 ym OQ与 yx23x 交于点 P mxx23x 解得 x10（舍） ，x23m P（3m，m23m） QQ与 yx23x 交于点 P mxx23x 解得 x10（舍去） ，x23m P（3m，m23m） QQ与 yx23x
16、交于点 M、N x23x2m26m 解得 x1= 3+8224+9 2 ，x2= 38224+9 2 M 在 N 左侧 M（3:8 2;24:9 2 ，2m26m） N（3;8 2;24:9 2 ，2m26m） QPMQBN = ( ) 2 = (3)2+(23)2 (26)2+(226)2 = 1 4 即3;8 2;24:9;(6;2) 2;3:8 224:9 2 = 1 2 化简得 m212m+270 解得：m13（舍） ，m29 N（12，108） ，Q（18，108） QN6 故答案为：6 点睛：本题二次函数背景的代数几何综合题，综合考查二次函数、一次函数、三角形相似的性质，应用 数形
17、结合的数学思想 4 （2018 年连云港第 26 题） 如图 1， 图形 ABCD 是由两个二次函数 y1kx2+m（k0） 与 y2ax2+b （a0） 的部分图象围成的封闭图形已知 A（1，0） 、B（0，1） 、D（0，3） （1）直接写出这两个二次函数的表达式； （2）判断图形 ABCD 是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形 ABCD 上） ，并说明理由； （3）如图 2，连接 BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得BDC 与ADE 相似（其中点 C 与点 E 是对 应顶点）的点 E 的坐标 【分析】 （1）利用待定系数法即可得出结论； （2）先确定出 MM（1m2）（3m23）
18、44m2，进而建立方程 2m44m2，即可得出结论； （3）先利用勾股定理求出 AD= 10，同理：CD= 10，BC= 2，再分两种情况： 如图 1，当DBCDAE 时，得出 = ，进而求出 DE= 5 2，即可得出 E（0， 1 2） ， 再判断出DEFDAO， 得出 = = ， 求出 DF= 310 4 ， EF= 10 4 ， 再用面积法求出 EM= 3 2， 即可得出结论； 如图 2，当DBCADE 时，得出 = ，求出 AE= 5 2， 当 E 在直线 AD 左侧时，先利用勾股定理求出 PA= 5 3，PO= 4 3，进而得出 PE= 5 6，再判断出 = 即 可得出点 E 坐标，
19、当 E在直线 DA 右侧时，即可得出结论 【解析】 （1）点 A（1，0） ，B（0，1）在二次函数 y1kx2+m（k0）的图象上， + = 0 = 1 ， = 1 = 1 ， 二次函数解析式为 y1x2+1， 点 A（1，0） ，D（0，3）在二次函数 y2ax2+b（a0）的图象上， + = 0 = 3 ， = 3 = 3， 二次函数 y23x23； （2）设 M（m，m2+1）为第一象限内的图形 ABCD 上一点，M（m，3m23）为第四象限的图形上一 点， MM（1m2）（3m23）44m2， 由抛物线的对称性知，若有内接正方形， 2m44m2， m= 1+17 4 或 m= 117
20、 4 （舍） ， 0 1+17 4 1， MM= 1+17 2 存在内接正方形，此时其边长为;1:17 2 ； （3）在 RtAOD 中，OA1，OD3， AD= 2+ 2= 10， 同理：CD= 10， 在 RtBOC 中，OBOC1， BC= 2+ 2= 2， 如图 1，当DBCDAE 时， CDBADO， 在 y 轴上存在 E，由 = ， 4 10 = 10 ， DE= 5 2， D（0，3） ， E（0， 1 2） ， 由对称性知，在直线 DA 右侧还存在一点 E使得DBCDAE， 连接 EE交 DA 于 F 点，作 EMOD 于 M，连接 ED， E，E关于 DA 对称， DF 垂直
21、平分线 EE， DEFDAO， = = ， 2.5 10 = 3 = 1 ， DF= 310 4 ，EF= 10 4 ， SDEE= 1 2DEEMEFDF= 15 8 ， EM= 3 2， DEDE= 5 2， 在 RtDEM 中，DM= 2 2=2， OM1， E（3 2，1） ， 如图 2， 当DBCADE 时，有BDCDAE， = ， 4 10 = 10 ， AE= 5 2， 当 E 在直线 AD 左侧时，设 AE 交 y 轴于 P，作 EQAC 于 Q， BDCDAEODA， PDPA， 设 PDn， PO3n，PAn， 在 RtAOP 中，PA2OA2+OP2， n2（3n）2+1
22、， n= 5 3， PA= 5 3，PO= 4 3， AE= 5 2， PE= 5 6， 在 AEQ 中，OPEQ， = ， OQ= 1 2， = = 2 3， QE2， E（ 1 2，2） ， 当 E在直线 DA 右侧时， 根据勾股定理得，AE= 2+ 2= 5 2， AE= 5 2 DAEBDC，BDCBDA， BDADAE， AEOD， E（1， 5 2） ， 综上，使得BDC 与ADE 相似（其中点 C 与 E 是对应顶点）的点 E 的坐标有 4 个， 即： （0， 1 2）或（ 3 2，1）或（1， 5 2）或（ 1 2，2） 点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定
23、理，相似三角形的判定和性质，对称性， 正确作出辅助线和用分类讨论的思想是解本题的关键 5 （2018 年宿迁第 27 题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y（xa） （x3） （0a3）的图象与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 D，过其顶点 C 作直线 CPx 轴，垂足为点 P， 连接 AD、BC （1）求点 A、B、D 的坐标； （2）若AOD 与BPC 相似，求 a 的值； （3）点 D、O、C、B 能否在同一个圆上？若能，求出 a 的值；若不能，请说明理由 【分析】 （1）根据函数解析式可以直接得到抛物线与 x 轴的两个交点坐标；令 x0，即可求
24、得点 D 的纵 坐标； （2）由抛物线顶点坐标公式求得点 C 的坐标，易得线段 PB、PC 的长度； 若AODBPC 时，则 = ，将相关线段的长度代入求得 a 的值； 若AODCPB 时，则 = ，将相关线段的长度代入求得 a 的值； （3）能理由如下：联结 BD，取中点 M，则 D、O、B 在同一个圆上，且圆心 M 为（3 2， 3 2a） 若点 C 也在圆上，则 MCMB根据两点间的坐标求得相关线段的长度，借助于方程解答即可 【解析】 （1）y（xa） （x3） （0a3） ， A（a，0） ，B（3，0） 当 x0 时，y3a， D（0，3a） ； （2）A（a，0） ，B（3，0）
25、， 对称轴直线方程为：x= 3+ 2 当 x= 3+ 2 时，y（3; 2 ）2， C（3: 2 ，（3; 2 ）2） ， PB3 3+ 2 ，PC（3; 2 ）2， 若AODBPC 时，则 = ，即 3;3: 2 = 3 (3; 2 )2， 解得 a0 或 a3（舍去） ； 若AODCPB 时，则 = ，即 (3; 2 )2 = 3 3;3: 2 ， 解得 a3（舍去）或 a= 7 3 所以 a 的值是7 3 （3）能理由如下： 联结 BD，取中点 M D、O、B 在同一个圆上，且圆心 M 为（3 2， 3 2a） 若点 C 也在圆上，则 MCMB即（3 2 3: 2 ）2+（3 2a+（
26、3; 2 ）2）2（3 2 3）2+（3 2a0） 2， 整理，得 a414a2+450， 所以（a25） （a29）0， 解得 a1= 5，a2= 5（舍） ，a33（舍） ，a43（舍） ， a= 5 点睛：考查了二次函数综合题，需要掌握二次函数解析式的三种形式，抛物线对称轴的求法，相似三角 形的判定与性质，圆周角定理，方程思想的应用解题时，注意“分类讨论” 、 “方程思想”等数学思想 的应用，难度较大 【专项突破】【专项突破】 【题组一】【题组一】 1 （2019 秋江阴市期末）如图，已知二次函数 yx22x+m 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C， 直线 AC 交二次
27、函数图象的对称轴于点 D，若点 C 为 AD 的中点 （1）求 m 的值； （2）若二次函数图象上有一点 Q，使得 tanABQ3，求点 Q 的坐标； （3）对于（2）中的 Q 点，在二次函数图象上是否存在点 P，使得QBPCOA？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）函数的对称轴为：x1，点 C 为 AD 的中点，则点 A（1，0） ，即可求解； （2）tanABQ3，点 B（3，0） ，则 AQ 所在的直线为：y3x（x30） ，即可求解； （3）分点 Q（2，3） 、点 Q（4，21）两种情况，分别求解即可 【解析】 （1）设对称轴交 x 轴于点 E，直线 A
28、C 交抛物线对称轴于点 D， 函数的对称轴为：x1，点 C 为 AD 的中点，则点 A（1，0） ， 将点 A 的坐标代入抛物线表达式并解得：m3， 故抛物线的表达式为：yx22x3； （2）tanABQ3，点 B（3，0） ， 则 AQ 所在的直线为：y3（x3）， 联立并解得：x4 或 3（舍去）或 2， 故点 Q（4，21）或（2，3） ； （3）不存在，理由： QBPCOA，则QBP90 当点 Q（2，3）时， 则 BP 的表达式为：y= 1 3（x3）， 联立并解得：x3（舍去）或 4 3，故点 P（ 4 3， 13 9 ） ， 此时 BP：PQOA：AC，故点 P 不存在； 当点
29、Q（4，21）时， 同理可得：点 P（ 2 3， 11 9 ） ， 此时 BP：PQOA：OB，故点 P 不存在； 综上，点 P 不存在 2 （2019 秋张家港市期末）如图，抛物线 ya（x1） （x3） （a0）与 x 轴交于 A，B 两点，抛物线上 另有一点 C 在 x 轴下方，且使OCAOBC （1）求线段 OC 的长度； （2）设直线 BC 与 y 轴交于点 D，点 C 是 BD 的中点时，求直线 BD 和抛物线的解析式， （3）在（2）的条件下，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一点，过 P 作 PEBC 于点 E，作 PFAB 交 BD 于点 F，是否存在一点 P，使得 PE+
30、PF 最大，若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）解方程求出点 A 的坐标、点 B 的坐标，得到 OA1，OB3，根据相似三角形的性质列出 比例式，求出 OC； （2）根据直角三角形的性质求出 BD，根据勾股定理求出 OD，利用待定系数法求出直线 BD 的解析式， 根据中点的概念求出点 C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）作 PGOB 交 BD 于 G，根据正切的定义得到OBD30，用 PG 分别表示出 PE、PF，根据题 意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质解答 【解析】 （1）a（x1） （x3）0， x11，x23， 则点 A 的坐标为（1，
31、0） ，点 B 的坐标为（3，0） ， OA1，OB3， OCAOBC， = ，即 1 = 3 ， 解得，OC= 3； （2）在 RtBOD 中，点 C 是 BD 的中点， BD2OC23， 由勾股定理得，OD= 2 2=(23)2 32= 3， 点 D 的坐标为（0，3） 设直线 BD 的解析式为：ykx+b， 则 = 3 3 + = 0， 解得， = 3 3 = 3 ， 则直线 BD 的解析式为：y= 3 3 x3， 点 B 的坐标为（3，0） ，点 D 的坐标为（0，3） ，点 C 是 BD 的中点， 点 C 的坐标为（3 2， 3 2 ） ， 3 2 =a（3 2 1） （3 2 3）
32、 ， 解得，a= 2 33， 抛物线的解析式：y= 2 33（x1） （x3） ，即 y= 2 33x 28 33x+23； （3）作 PGOB 交 BD 于 G， tanOBD= = 3 3 ， OBD30， PFAB， PFGOBD30， PF= 3PG， PEBC，PFPG， EPGPFG30， PE= 3 2 PG， PE+PF= 3PG+ 3 2 PG= 33 2 PG， 设点 P 的坐标为（m，2 3 3m2 8 33m+23） ，点 G 的坐标为（m， 3 3 m3） ， PG= 3 3 m3 （2 3 3m2 8 33m+23） = 2 33m 2+33m33 PE+PF= 3
33、3 2 PG 3m2+ 27 2 m 27 2 3（m 9 4） 2+27 16， 则 PE+PF 的最大值为27 16 3 （2020山西模拟）如图，二次函数 y0.5x2+bx+c 的图象过点 B（0，1）和 C（4，3）两点，与 x 轴交于 点 D、点 E，过点 B 和点 C 的直线与 x 轴交于点 A （1）求二次函数的解析式； （2）在 x 轴上有一动点 P，随着点 P 的移动，存在点 P 使PBC 是直角三角形，请你求出点 P 的坐标； （3）若动点 P 从 A 点出发，在 x 轴上沿 x 轴正方向以每秒 2 个单位的速度运动，同时动点 Q 也从 A 点 出发，以每秒 a 个单位的
34、速度沿射线 AC 运动，是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形与ABD 相似？若 存在，直接写出 a 的值；若不存在，说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法求解析式； （2）设点 P 坐标为（x，0） ，根据两点距离公式可求 BC，BP，CP 的长度，根据勾股定理可列方程可求 x 的值，即可求点 P 坐标； （3）根据题意可求点 A，点 D 坐标，即可求 AB，AD 的长，由以 A、P、Q 为顶点的三角形与ABD 相 似，可分APQABD，APQADB 两种情况讨论可求 a 的值 【解析】 （1）二次函数 y0.5x2+bx+c 的图象过点 B（0，1）和 C（4，3）两点 1 = 3 =
35、8 + 4 + 解得：b= 3 2，c1 抛物线解析式 y= 1 2x 23 2x+1 （2）设点 P 坐标为（x，0） 点 P（x，0） ，点 B（0，1） ，点 C（4，3） PB= ( 0)2+ (0 1)2= 2+ 1 CP= (4 )2+ (3 0)2= 2 8 + 25 BC= (4 0) 2+ (3 1)2 =25 若BCP90，则 BP2BC2+CP2 x2+120+x28x+25 x= 11 2 若CBP90，则 CP2BC2+BP2 x2+1+20x28x+25 x= 1 2 若BPC90，则 BC2BP2+CP2 x2+1+x28x+2520 x11，x23 综上所述：点
36、 P 坐标为（1，0） ， （3，0） ， （1 2，0） ， （ 11 2 ，0） （3）存在 抛物线解析式 y= 1 2x 23 2x+1 与 x 轴交于点 D，点 E 0= 1 2x 23 2x+1 x11，x22 点 D（1，0） 点 B（0，1） ，C（4，3） 直线 BC 解析式 y= 1 2x+1 当 y0 时，x2 点 A（2，0） 点 A（2，0） ，点 B（0，1） ，点 D（1，0） AD3，AB= 5 设经过 t 秒 AP2t，AQat 若APQADB = 即2 = 3 5 a= 25 3 若APQABD = 即2 = 5 3 a= 65 5 综上所述：a= 25 3
37、或65 5 4 （2019建昌县一模）如图，二次函数 y= 1 2 2 +bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0） 、与 y 轴交于点 C（0， 4） ，过点 A 的直线 y= 1 2x+1 与抛物线的另一个交点为 B，D 是抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式并直接写出顶点 D 的坐标； （2）如图 1，点 P 是线段 AB 上方抛物线上一动点，求点 P 运动到什么位置时，ABP 的面积最大，最 大面积是多少？ （3）如图 2，设直线 AB 与 y 轴交于点 E点 M 是直线 AB 上的一个动点（不与点 A、B 重合） ，当MEC 与AOE 相似时，请直接写出点 M 的坐标 【分析】 （1）
38、利用待定系数法确定函数解析式；将二次函数解析式转化为顶点式，可以得到顶点 D 的坐 标； （2）设与直线 y= 1 2x+1 平行且相切的直线为 PQ：y= 1 2x+b，则点 P 为切点时所求三角形面积最大； （3）分两种情况讨论：当 CMx 轴时，MEC 与AOE 相似，当 CMAB 时，MEC 与AOE 相 似， 【解析】 （1）二次函数 y= 1 2 2 +bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0） 、与 y 轴交于点 C（0，4） ， 1 2 (2)2 2 + = 0 = 4 ，解得 = 1 = 4， 抛物线的解析式为：y= 1 2 2+ + 4，顶点 D 的坐标为（1，9 2） （2
39、）设与直线 y= 1 2x+1 平行且相切的直线为 PQ： y= 1 2x+b，Q 为 PQ 与 x 轴交点，H 为 PQ 与 y 轴交点，过点 A 作 AGPQ 于点 G，则当点 P 为切点时， ABP 的面积最大， 1 2 2+ + 4 = 1 2x+b， 化简得：x2x+2b80， 14（2b8）0， b= 33 8 x2x+2 33 8 80 x1x2= 1 2， 点 P 坐标为（1 2， 35 8 ） PQ 解析式为：y= 1 2x+ 33 8 ， Q（ 33 4 ，0） ，又 b= 33 8 ， AQ= 25 4 ，OQ= 33 4 ， tanGQA= 33 8 33 4 = 1
40、2， sinGQA= = 25 4 = 1 5， GA= 55 4 ， 由 = 1 2 2 + + 4 = 1 2 + 1 解得 x12，x23， B（3，5 2） ，AB= 3 (2)2+ (5 2 0)2= 55 2 ， SABP= 1 2 ABGA= 1 2 55 2 55 4 = 125 16 点 P 运动到（1 2， 35 8 ）时，ABP 的面积最大，最大面积是125 16 （3）由 y= 1 2x+1 得 E（0，1） A（2，0） 、C（0，4） ， = 1 2， 当 CMx 轴时，MEC 与AOE 相似，由 OC4，OE1，可得 CE3， CM6，即点 M 横坐标为 6，代入
41、 y= 1 2x+1 得 y3， M（6，4） ； 当 CMAB 时，MEC 与AOE 相似，由 = 1 2，CE3 可得 CM= 65 5 ，EM= 35 5 ， 由面积法可得 Mx= 6 5， M（6 5， 8 5） 当MEC 与AOE 相似时，点 M 的坐标为（6，4）或（6 5， 8 5） 【题组二】【题组二】 5 （2019泸州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（2，0） ， C（0，6） ，其对称轴为直线 x2 （1）求该二次函数的解析式； （2）若直线 y= 1 3x+m 将AOC 的面积分成相等的两部分，求 m 的值； （3
42、）点 B 是该二次函数图象与 x 轴的另一个交点，点 D 是直线 x2 上位于 x 轴下方的动点，点 E 是第 四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线 x2 右侧若以点 E 为直角顶点的BED 与AOC 相 似，求点 E 的坐标 【分析】 （1）把点 A、C 坐标及对称轴 x2 代入二次函数表达式，即可求解； （2） 求出直线 y= 1 3x+m 与 y 轴的交点为 （0， m） ， 由 SAOC= 1 2 2 6 =6， 1 2 3 8 ( + 6)( + 6) =3， 即 可求解； （3）分DEOAOC、BEDAOC 两种情况，分别求解即可 【解析】 （1）由已知得： 4 2 + = 0 = 6 2
