1、 今 天 多 几 分 钟 的 努 力 ， 明 天 多 几 小 时 的 快 乐 ！ 何 乐 而 不 为 ！教 师 辅 导 讲 义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：九年级 学科教师：汪老师授课日期及时段课 题初中数学总复习动态几何存在性问题探讨学习目标教学内容初中数学总复习动态几何存在性问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。结合2012年全国各地中考的实例，我们从七方面进行动态几何之存在性问题的探讨：（
2、1）等腰（边）三角形存在问题；（2）直角三角形存在问题；（3）平行四边形存在问题；（4）矩形、菱形、正方形存在问题；（5）梯形存在问题；（6）全等、相似三角形存在问题；（7）其它存在问题。【一、等腰（边）三角形存在问题：】例1、（2012广西崇左10分）如图所示，抛物线（a0）的顶点坐标为点A（2，3）， 且抛物线与y轴交于点B（0，2）. （1）求该抛物线的解析式； （2）是否在x轴上存在点P使PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 （3）若点P是x轴上任意一点，则当PAPB最大时，求点P的坐标. 解：（1） 抛物线的顶点坐标为A(2，3)，可设抛物线的解析式为。
3、 由题意得 ，解得。 物线的解析式为，即。 （2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则PA=，PB=，AB= 当PA=PB时，=，解得； 当PA=PB时，=5，方程无实数解； 当PB=AB时，=5，解得。 x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（，0）或（1,0）或（1,0）。 （3） PAPBAB，当A、B、P三点共线时，可得PAPB的最大值，这个最大值等于AB，此时点P 是直线AB与x轴的交点。 设直线AB的解析式为， 则， 解得。 直线AB的解析式为， 当=0时，解得。 当PAPB最大时，点P的坐标是（4，0）。例2、（2012山东临沂13分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA
4、绕点O顺时针旋转120至OB的位置 （1）求点B的坐标； （2）求经过点AO、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由 解：（1）如图，过B点作BCx轴，垂足为C，则BCO=90。 AOB=120，BOC=60。 又 OA=OB=4， OC=OB=4=2， BC=OBsin60=。 点B的坐标为（2，）。 （2） 抛物线过原点O和点AB， 可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（2，）代入， 得， 解得。 此抛物线的解析式为。 （3）存在。如图，抛物线的对称轴是x=2
5、，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）。 若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y = ， 当y =时， 在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=， POD=60 POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三点在同一直线上。 y =不符合题意，舍去。 点P的坐标为（2，）。 若OB=PB，则42+|y+|2=42，解得y =。 点P的坐标为（2，）。 若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+|2，解得y =。 点P的坐标为（2，）。 综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，）。例3、（2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy中， 一块含
6、60角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴 上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（1，0） （1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中EDF=90，DEF=60），把顶点E放在线段AB上 （点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C 此时，EF所在直线与（1）中的 抛物线交于第一象限的点M 设AE=x，当x为何值时，OCEOBC； 在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使PEM是等腰三角形，若存在，请求点 P的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）B（3，0），C
7、（0，）。 A（1，0）B（3，0） 可设过A、B、C三点的抛物线为 。 又 C（0，）在抛物线上，解得。 经过A、B、C三点的抛物线解析式 即。 （2） 当OCEOBC时，则。 OC =， OE=AEAO=x1， OB=3， 。 x =2。 当x=2时，OCEOBC。 存在点P。 由可知x=2，OE =1。 E（1，0）。 此时，CAE为等边三角形。 AEC=A=60。 又 CEM=60， MEB=60。 点C与点M关于抛物线的对称轴对称。 C（0，），M（2，）。 过M作MNx轴于点N（2，0）， MN =。 EN =1。 。 若PEM为等腰三角形，则： ) 当EP=EM时, EM=2，且
8、点P在直线x=1上，P(1，2)或P（1，2）。 ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，P(1，2) 。 ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，P(1，) 综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，2）或（1，2）或（1，）时， EPM为等腰三角形。【二、直角三角形存在问题：】例1、（2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐 标轴上，点C为 (1，0) 如图所示，B点在抛物线yx2x2图象上，过点B作BDx轴，垂 足为D，且B点横坐标为3 （1）求证：BDCCOA； （2）求BC所在直线的函数关系式； （3
9、）抛物线的对称轴上是否存在点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 P的坐标；若不存在，请说明理由 【例1：】解：（1）证明： BCDACO90，ACOOAC90， BCDOAC。 ABC为等腰直角三角形 ，BCAC。 在BDC和COA中，BDCCOA90，BCDOAC，BCAC， BDCCOA（AAS）。 （2） C点坐标为 (1，0)，BDCO1。 B点横坐标为3，B点坐标为 (3，1)。 设BC所在直线的函数关系式为ykxb， ， 解得 。 BC所在直线的函数关系式为y x 。 （3）存在 。 y x2x2(x)2x，对称轴为直线x。 若以AC为直角边，点C为直角顶
10、点，对称轴上有一点P1，使CP1AC， BCAC，点P1为直线BC与对轴称直线x 的交点。 由题意可得： ， 解得，。 P1（，）。 若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2AC， 则过点A作A P2BC，交对轴称直线x 于点P2， CD OA， A（0，2）。 设直线AP2的解析式为：yxm，把A（0，2）代入得m2。 直线AP2的解析式为：yx2。 由题意可得：，解得，。 P2（，）。 P点坐标分别为P1（，）、P2（，）。例2、（2012内蒙古赤峰12分）如图，抛物线与x轴交于AB两点（点A在点B的左侧）， 与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF
11、交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1 （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF的解析式； （3）在直线AF上是否存在点P，使CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由 【例2：】解：（1）在y=x2bx5中令x=0，得y=5，|OC|=5。 |OC|：|OA|=5：1，|OA|=1。A（1，0）。 把A（1，0）代入y=x2bx5得（1）2+b5=0，解得b=4。 抛物线的解析式为y=x24x5。 （2） y=x24x5=（x2）29，抛物线的的对称轴为x=2。 点C与点F关于对称轴对称，C（0，5）F（4，5）。 设直线AF的解析式为y=kx+b， 把F（4，5），A
12、（1，0），代入y=kx+b， 得 ， 解得 。 直线FA的解析式为y=x1。 （3）存在。理由如下： 当FCP=90时，点P与点E重合， 点E是直线y=x1与y轴的交点，E（0，1）。 P（0，1）。 当CF是斜边时，过点C作CPAF于点P。 设P（x1，x11）， ECF=90，E（0，1），C（0，5），F（4，5）， CE =CF。EP=PF。CP=PF。 点P在抛物线的对称轴上。x1=2。 把x1 =2代入y=x1，得y=3。P（2，3）。 综上所述，直线AF上存在点P（0，1）或（0，1）使CFP是直角三角形。例3、（2012重庆市12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC
13、，B=90，AD=2，BC=6，AB=3 E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧 （1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长； （2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形BEFG，当点E与 点C重合时停止平移设平移的距离为t，正方形BEFG的边EF与AC交于点M，连接BD，BM， DM，是否存在这样的t，使BDM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）问的平移过程中，设正方形BEFG与ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的 函数关系式以及自变量t的取
14、值范围 解：（1）如图 ，设正方形BEFG的边长为x， 则BE =FG =BG =x。 AB =3，BC=6， AG =ABBG =3x。 GFBE，AGF ABC。 ，即。 解得：x =2，即BE =2。 （2）存在满足条件的t，理由如下： 如图，过点D作DHBC于H， 则BH =AD =2，DH =AB =3， 由题意得：BB=HE =t，HB=|t2|，EC = 4t， EFAB，MEC ABC。 ，即。ME =2t。 在RtBME中，BM2=ME2+BE2=22+（2t）2 =t22t+8。 在RtDHB中，BD2 = DH2+BH2 =32+（t2）2 =t24t+13。 过点M作M
15、NDH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2t， DN =DHNH =3（2t）=t+1。 在RtDMN中，DM2 =DN2 +MN2 =（t+1）2+ t 2=t2+t+1。 （）若DBM=90，则DM2=BM2+BD2， 即t2+t+1 =（t22t+8）+（t24t+13），解得：t =。 （）若BMD=90，则BD2=BM2+DM2， 即t24t+13=（t22t+8）+（t2+t+1）， 解得：t1 =3+，t2 =3（舍去）。 t =3+。 （）若BDM =90，则BM2=BD2+DM2，即t22t+8=（t24t+13）+（t2+t+1）此方程无解。 综上所述，当t=或3+时，B
16、DM是直角三角形； （3）分别从， 和时去分析求解即可求得答案： 如图，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，CE=。 t =BB=BCBEEC =62。 ME =2t， FM =t， 当时，S =SFMN=tt=t2。 如图，当G在AC上时，t =2， EK =ECtanDCB = ， FK =2EK =1。NL =， FL =t， 当时，S =SFMNSFKL=t2（t）（1）=。 如图，当G在CD上时，BC：CH=BG：DH，即BC：4=2：3，解得：BC =， EC =4t =BC2 =。 t =。BN =BC=（6t）= 3t，GN =GBBN =t1。当时，S
17、 =S梯形GNMFSFKL=2（t1+t）（t）（1）=。 如图，当时， BL =BC =（6t），EK =EC =（4t）， BN =BC =（6t）EM =EC =（4t）， S =S梯形MNLK=S梯形BEKLS梯形BEMN=。 综上所述：。【三、平行四边形存在问题：】例1、（2012山西省14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于AB 两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点 （1）求直线AC的解析式及BD两点的坐标； （2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上 是否存在点Q，使以点AP、Q、C
18、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点 Q的坐标；若不存在，请说明理由 （3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标 解：（1）当y=0时，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3。 点A在点B的左侧，AB的坐标分别为（1，0），（3，0）。 当x =0时，y=3。C点的坐标为（0，3）。设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k10）， 则 ， 解得 。 直线AC的解析式为y=3x+3。 y =x2+2x+3=（x1）2+4， 顶点D的坐标为（1，4）。 （2）抛物线上有三个这样的点Q。如图， 当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3， 代入抛物线可得点Q
19、1的坐标为（2，3）； 当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为3， 代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，3）； 当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为3， 代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1，3）。 综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3）。 （3）点B作BBAC于点F，使BF=BF，则B为点B关于直线AC 的对称点连接BD交直线AC 与点M，则点M为所求。 过点B作BEx轴于点E。 1和2都是3的余角， 1 =2。 RtAOC RtAFB。 由A（1，0），B（3，0），C（0，3） 得OA =1，OB =3，OC =3， AC =， AB =
20、4。 ，解得。BB=2BF =， 由1=2可得RtAOCRtBEB， 。 。 BE=，BE=。 OE =BEOB =3 = B点的坐标为（，）。 设直线BD的解析式为y=k2x+b2（k20）， 则 ， 解得 。 直线BD的解析式为：。 联立BD与AC的直线解析式可得：， 解得 。 M点的坐标为（）。例2、（2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）如图，在平面直角坐标系中，已知RtAOB的两 条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x27x+12=0的两根(OAOB 请解答下列问题：（1）求直线AB的解析式； （2）若P为AB上一点，且；，求过点P的反比例
21、函数的解析式；（3）在坐标平面内是否存在点Q，使得以A、P、O、Q为顶点的四边形是等腰梯形? 若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）解x212x32=0得x1=4，x2=8。 OA、OB的长分别是关于x的方程x212x32=0的两根，且OAOB， OA =8，OB =4。A（8，0），B（0，4）。设直线AB的解析式为， 则， 解得。直线AB的解析式为。 （2）过点P作PHx轴于点H。设P（x，y），由AH= x8。 ，即。 解得 x =6。 点P在上，。P（6，1）。 设过点P的反比例函数的解析式为，则。 。 点P的反比例函数的解析式为。 （3）根据等腰梯形的性质， 当AO是等腰梯形的的底边时，AO的中垂线为x=4，则点P（6，1）关于 X =4的对称点为Q1（2，1），此时四边形AOQ1P是等腰梯形。当PO是等腰梯形的的底边时， PO的中点坐标为C（3，），PO： ， 由O（0，0），P（6，1） 求得 ， 解得。 PO：。 过点C与PO垂直的直线CD：，过点A与PO平行的直线AD：， 二者联立，解得，点D的坐标为， 则点A（8，0）关于点D的对称点为Q2，此时四边形AQ2PO是等腰梯形。 当AP是等腰梯形的的底边时，AP的中点
