1、上海市吴淞中学2013年高二上学期期末考试数学试卷本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟 一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1、已知矩阵，则=_.2、等差数列的前10项和为_.3、若，则=_.4、无穷等比数列的通项公式为，则其所有项的和为_ 5、在各项均为正数的数列中，对任意都有若，则=_.6、在行列式中，元素的代数余子式的值是_.7、已知，（均为实常数），则 8、如图是一个算法的流程图，则最后输出的=_.9、已知数列成等差数列,其前项和为,若,则的余弦值为 . 10、设，则=_.11、设地
2、球的半径为R，北纬600圈上有经度差为900的A、B两地，则A、B两地的球面距离为_.12、 已知正四棱柱ABCDA1B1ClD1中，AA1=2AB，E是AA1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为_.13、向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则=_.14、设数列的前项和为， 关于数列有下列三个命题：若既是等差数列又是等比数列，则；若，则是等差数列；若，则是等比数列.这些命题中，真命题的序号是 .二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分15、下列四个命题中真命
3、题是 （ ）（A）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（B）过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；（C）底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱；（D）过球面上任意两点的大圆有且只有一个16、已知是实数等比数列前项和，则在数列中 ( ) （A）至多有一项为零 （B）必有一项为零（C）可能有无穷多项为零 （D）任何一项均不为零17、定义，那么的值等于 （ ）（A） （B） （C） （D） 118、设是已知平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：给定向量，一定存在向量，使；给定向量和，一定存在实数和，使；给定单位向量和正数，一定存在单位向量和实数，使得；给定正数和，一定存在单位
4、向量和单位向量，使；上述命题中向量在同一平面内且两两不平行，则真命题个数是（ ）（A）1 （B）2 （C）3（D）4三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤19（本题满分12分）某种车辆，购车费10万元，每年交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差数列逐年递增，问使用多少年平均费用最少？20（本题满分14分）平面上三个非零向量、的模均为1，它们之间的夹角均为. （1）求证：； （2）若，求实数的取值范围21（本题满分14分）有8名学生排成一排，求分别满足下列条件的
5、排法种数. 要求列式并给出计算结果.（1）甲不在两端；（2）甲、乙相邻；（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻；（4）甲不在排头，乙不在排尾. 22（本题满分16分）如图，在三棱锥中，为中点，（1）求证：；（2）求异面直线和所成角的大小；（3）求点到平面的距离23（本题满分18分）给定数列.对,该数列前项的最大值记为,后项的最小值记为,.(1)设数列为3,4,7,1,写出,的值;(2)设()是公比大于1的等比数列,且.证明:,是等比数列;(3)设,是公差大于0的等差数列,且,证明:, ,是等差数列上海市吴淞中学2013年高二上学期试卷解答本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟 一、填
6、空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1、已知矩阵，则=_.2、等差数列的前10项和为_.703、若，则=_.4、无穷等比数列的通项公式为，则其所有项的和为_2 5、在各项均为正数的数列中，对任意都有若，则=_.5126、在行列式中，元素的代数余子式的值是_.7、已知，（均为实常数），则 7 8、如图是一个算法的流程图，则最后输出的=_.9、已知数列成等差数列,其前项和为,若,则的余弦值为 . 10、设，则=_.11、设地球的半径为R，北纬600圈上有经度差为900的A、B两地，则A、B两地的球面距离为_.12、 已
7、知正四棱柱ABCDA1B1ClD1中，AA1=2AB，E是AA1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为_.13、向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则=_4_.14、设数列的前项和为， 关于数列有下列三个命题：若既是等差数列又是等比数列，则；若，则是等差数列；若，则是等比数列.这些命题中，真命题的序号是 .二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分15、下列四个命题中真命题是 （ B ）（A）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（B）过空间任一点与两条异面直线都垂
8、直的直线有且只有一条；（C）底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱；（D）过球面上任意两点的大圆有且只有一个16、已知是实数等比数列前项和，则在数列中 ( C ) A至多有一项为零 B必有一项为零C可能有无穷多项为零 D任何一项均不为零17、定义，那么的值等于 （ A ）（A） （B） （C） （D） 118、设是已知平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：给定向量，一定存在向量，使；给定向量和，一定存在实数和，使；给定单位向量和正数，一定存在单位向量和实数，使得；给定正数和，一定存在单位向量和单位向量，使；上述命题中向量在同一平面内且两两不平行，则真命题个数是（ B ）（A）1 （
9、B）2 （C）3（D）4提示：为真命题三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤19（本题满分12分）某种车辆，购车费10万元，每年交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差数列逐年递增，问使用多少年平均费用最少？解：设年平均费用最少，则平均费用化简： 当时，答：使用10年平均费用最少。20（本题满分14分）平面上三个非零向量、的模均为1，它们之间的夹角均为. （1）求证：； （2）若，求实数的取值范围解答（1）证： （2）解：将平方得 即或 故实数的取值范围为或。2
10、1（本题满分14分）有8名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数. 要求列式并给出计算结果.（1）甲不在两端；（2）甲、乙相邻；（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻；（4）甲不在排头，乙不在排尾.解：（1） （2） （3） (4) 22（本题满分16分）如图，在三棱锥中，为中点，（1）求证：；（2）求异面直线和所成角的大小；（3）求点到平面的距离解答（1）（2）设中点E，连DE，则，所以即为与所成角或其补角， ，由条件 又，又E为CB中点， 从而故与所成角为 （3）由2）底面， 另一方面，设C到平面APB的距离为，则 因为 所以 23（本题满分18分）给定数列.对,该数列前项的最大值记为,后项的最小值记为,.()设数列为3,4,7,1,写出,的值;()设()是公比大于1的等比数列,且.证明:,是等比数列;()设,是公差大于0的等差数列,且,证明:, ,是等差数列【答案】解:(I). (II)因为,公比,所以是递增数列. 因此,对,. 于是对,. 因此且(),即,是等比数列. (III)设为,的公差. 对,因为,所以=. 又因为,所以. 从而是递增数列,因此(). 又因为,所以. 因此. 所以. 所以=. 因此对都有,即,是等差数列.
