1、对数运算（三）对数运算（三）?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N一般地，如果一般地，如果 1,0aa的的b次幂等于次幂等于N,就是就是 Nab，那么数，那么数 b叫做叫做以以a为底为底 N的的对数对数，记作，记作 bNaloga叫做对数的叫做对数的底数底数，N叫做叫做真数真数。定义定义：回顾：回顾：a有关性质有关性质：负数负数与与零零没有对数（对数（在指数式中在指数式中 N 0）,01loga1logaa对数恒等式对数恒等式NaNalog)1(),1,0(log)2(Rbaababa常用对数：常用对数：我们通常将以我们通常将以10为底的对数叫做为底的对数叫做常用对
2、数常用对数。为了简便为了简便,N的常用对数的常用对数 N10log简记作简记作lgN。自然对数：自然对数：在科学技术中常常使用以无理数在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为底的对数叫自然对数。为了简便，为了简便，N的自然对数的自然对数 Nelog简记作简记作lnN。（6）底数）底数a的取值范围：的取值范围：),1()1,0(真数真数N的取值范围的取值范围:),0(积、商、幂的对数运算性质：积、商、幂的对数运算性质：如果如果 a 0，a 1，M 0，N 0 有：有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1
3、NlogMlog(MN)loganaaaaaaa对数的运算性质对数的运算性质热身练习热身练习1 1 求下列各式的值：求下列各式的值：(1)log(1)log2 2（4 47 72 25 5）；）；(2)lg(2)lg ；(3)log(3)log3 318-log18-log3 32 2；(4)(4).510031 log 23热身练习热身练习2-计算计算:555552log 2 log 3=11log 10log 0.36log 82322lg 2 lg 5 2lg2 lg5其他重要公式其他重要公式:NmnNanamloglogaNNccalogloglog)0),1()1,0(,(Ncaab
4、balog1log),1()1,0(,ba 思考：同底数的两个对数可以进行加、思考：同底数的两个对数可以进行加、减运算，可以进行乘、除运算吗？减运算，可以进行乘、除运算吗？思考思考.由由 得得 ，但这只，但这只是一种表示，如何求得是一种表示，如何求得x x的值？的值？181.0113x1.0118log13x 5log3log5log,5log3223即x2lg3lg3log.2能知识探究（一）：知识探究（一）：对数的换底公式对数的换底公式 思考思考2:2:你能用你能用lg2lg2和和lg3lg3表示表示loglog2 23 3吗？吗？思考思考1:1:假设假设 ，则，则 ，从而有，从而有 .进
5、一步可得到什么结论？进一步可得到什么结论？22log 5log 3x222log 5log 3log 3xx35x思考思考3:3:一般地，如果一般地，如果a a0 0，且，且a1a1；c c0 0，且，且c1c1；b b0 0，那么，那么 与哪个与哪个对数相等？如何证明这个结论？对数相等？如何证明这个结论？loglogccbabab结论acclogloglog:axbxab令证明ccccloglogloglog:bxababaxxcclogloglogbabacclogloglog思考思考4:4:我们把我们把 （a a0 0，且，且a1a1；c c0 0，且，且c1c1；b b0 0）叫做对数
6、换底公式，该公式有什么特征？叫做对数换底公式，该公式有什么特征？logloglogcacbba一个对数可以用同底数一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示的两个对数的商来表示思考思考6:6:换底公式在对数运算中有什么意换底公式在对数运算中有什么意 义和作用？义和作用？思考思考5:5:通过查表可得任何一个正数的常用通过查表可得任何一个正数的常用对数，利用换底公式如何求对数，利用换底公式如何求 的值？的值？1.0118log1301.1lg13lg18lg01.1lg1318lg1318log01.1可以利用以可以利用以10为底的对数为底的对数的值来求任何对数值的值来求任何对数值知识探究（二）：知
7、识探究（二）：换底公式的变式换底公式的变式 思考思考1:1:与与 有什么关系？有什么关系？logablogba思考思考2:2:与与 有什么关系？有什么关系？lognaNlogaN互为倒数互为倒数NnNaanlog1log思考思考3:可变形为什么？可变形为什么？)(log)(logNMaaMNlog9103lg32lg52lg33lg227lg32lg8lg9lg:原式解(1)1);32log9log278 例例1.248525125(2).(log 125log 25log 5)(log 2log4log8)125lg8lg25lg4lg5lg2lg()8lg5lg4lg25lg2lg125l
8、g(:原式解)5lg32lg35lg22lg25lg2lg()2lg35lg2lg25lg22lg5lg3(135lg2lg32lg35lg13 练习练习1.1.变式：若变式：若x,y,z都是正数，都是正数，3x=4y=6z,求证：求证：yxz2111 2log2,log3,aamnmna例 3、已 知求例例3、若、若2lg(x-2y)=lgx+lgy,求求yx2log的的值值求求已已知知16log,27log)2(186a 91log81log251log:)3(532计计算算)3log9log3(log32log:)4(252425325 求求值值例例4：（：（1）已知）已知log427=
9、a，log52=b，求，求lg2，lg3。.,0111,1,.5的值求且的正数是不等于设abczyxcbacbazyx(5)练习：练习：32log9log)1(27812log,3log262求）已知（a 12log,3lg,2lg)3(5求已知ba 21log,4log,7log)4(1436表示用已知baba 例例5.计算下列各式的计算下列各式的 值值8125log2275log3125)1(78log146log14916)2()3log3log9log3(log125log)3(252523324253 )5353lg()4(提高练习：提高练习：(1)已知已知a0且且a1，xy0，则下
10、列命题正确的是，则下列命题正确的是:()A.logax2=2logax B.loga|x y|=loga|x|loga|y|C.logax2=2loga|x|D.loga2 loga3(2)(lg2)3+(lg5)3+3lg2 lg5=(3)若若a=lg5，则，则lg2=,lg20=(4)已知已知lgx+lgy=2lg(x2y),则则 yxlog2(5)log2.56.25+lg0.01+ln +21+log23=(6)若若3n=2，则，则log38-log336=(7)设设lg(1 )=a，lg(1 )=b，用含用含a，b的式子表的式子表 示示lg2，lg3e91811 例6.计算和化简：计
11、算和化简：2151515log 5 log45(log 3)(1)(2)2lg4lg5lg20(lg5)（3）125log2log25xx求求x的值的值（）（）log 25 x 2log x 25=1解：原方程化为解：原方程化为 log 25 x =1x25log2设设 t=log 25 x则有则有 t 2 t 2=0 t=1 或或 t=2即即 log 25 x=1 或或 log 25 x=2 x=或或 x=625251 x=或或 x=625251经检验，方程的解为经检验，方程的解为、解方程：、解方程：log 3(3 x 1)log 3(3 x 1 )=213解：原方程化为解：原方程化为 2)
12、31331(log)13(log33 xx2)13(31log)13(log33 xx2)13(log31log)13(log333 xx)13(log3 xt令令则则 t(t 1)=2022 tt21 tt或或2)13(log1)13(log33 xx或或即即9133113 xx或或103343 xx或或10log34log33 xx或或10log34log33 xx或或故方程的解为故方程的解为解法解法类型类型等价式等价式a、b 0 且且 a、b 1，a b，c 为常量为常量a f(x)=a g(x)f(x)=g(x)log a f(x)=log a g(x)a f(x)=b g(x)f(x
13、)lg a=g(x)lg blog f(x)g(x)=cg(x)=f(x)cpa 2x+qa x+r=0plg 2x+qlgx+r=0pt 2+qt+r=0化同底法化同底法指对互表指对互表 法法换元法换元法练习练习 (1)对数式对数式2)12(1logxx中中x的取值范围是的取值范围是_(2)若若log5log3(log2x)=0，x=_3231lg91 log 22log 2,log 3,3100aamnmna(3)设则(4)计算112x810815 提高练习：提高练习：33333lg2.lg5(2)lg5,lg2?lg20?(3)2,836(1)(lg2)(lg5)loglog3na若则若则22925log(lg 21)log(lg 0.52)(4)353
