1、新初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案一、选择题1如图，在中，为边上的中线，平分，则的值（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据角平分线定理可得AE：BEAC：BC3:4，进而求得AEAB，再由点D为AB中点得ADAB，进而可求得的值【详解】解：平分，点E到的两边距离相等，设点E到的两边距离位h，则SACEACh，SBCEBCh，SACE：SBCEACh：BChAC：BC，又SACE：SBCEAE：BE，AE：BEAC：BC，在中，AC：BC3:4，AE：BE3:4AEAB，为边上的中线，ADAB，故选：D【点睛】本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE：BE
2、AC：BC是解决本题的关键2如图，某地修建高速公路，要从地向地修一条隧道（点，在同一水平面上）为了测量，两地之间的距离，一架直升飞机从地起飞，垂直上升1000米到达处，在处观察地的俯角为，则两地之间的距离约为（ ）A米B米C米D米【答案】C【解析】【分析】在RtABC中，CAB=90，B=，AC=1000米，根据，即可解决问题【详解】解：在中，米，米故选：C【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型3如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A处，并使折痕经过点B，得到折痕B
3、M，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为( )ABC8D【答案】A【解析】【分析】根据折叠性质可得BE=AB，AB=AB=4，BAM=A=90，ABM=MBA，可得EAB=30，根据直角三角形两锐角互余可得EBA=60，进而可得ABM=30，在RtABM中，利用ABM的余弦求出BM的长即可.【详解】对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，AB=4，BE=AB=2，BEF=90，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A处，并使折痕经过点B，AB=AB=4，BAM=A=90，ABM=MBA，EAB=30，EBA=60，ABM=30，在RtABM中，AB=BMcosABM，即4=BMc
4、os30，解得：BM=，故选A.【点睛】本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.4在课外实践中，小明为了测量江中信号塔离河边的距离，采取了如下措施：如图在江边处，测得信号塔的俯角为，若米，米，平行于，的坡度为，坡长米，则的长为()（精确到0.1米，参考数据：，）A78.6米B78.7米C78.8米D78.9米【答案】C【解析】【分析】如下图，先在RtCBF中求得BF、CF的长，再利用RtADG求AG的长，进而得到AB的长度【详
5、解】如下图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点F，延长DE交AB延长线于点GBC的坡度为1:0.75设CF为xm，则BF为0.75xmBC=140m在RtBCF中，解得：x=112CF=112m，BF=84mDECE，CEAB，DGAB，ADG是直角三角形DE=55m，CE=FG=36mDG=167m，BG=120m设AB=ymDAB=40tan40=解得：y=78.8故选：C【点睛】本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.5一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）ABCD【答案】C
6、【解析】【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形可计算边长为2，据此即可得出表面积【详解】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形正三角形的边长圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，底面周长为侧面积为，底面积为，全面积是故选：C【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长6如图，矩形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，且，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由EO
7、F=BOP、B=E、OP=OF可得出OEFAOBP(AAS)根据全等三角形的性质可得出0E=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4-x、BF=PC=3-x，进而可得出AF=1+x，在RtDAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出cosADF的值【详解】解：矩形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，根据折叠性质，可得：DCPDEP，.DC=DE=4，CP=EP，在OEF和OBP中OEFOBP(AAS)E=OB，EF=.设EF=x,则BP=x，DF=DE-EF=4-X，又BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC,=C-BP=3-x,AF=AB-BF=1+x.在RtDA
8、F中，AF2+AD2=DF2，即(1+x)2+32=(4-x)2解得:x=DF=4-x=cosADF=故选:C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF的长度是解题的关键7如图，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接交于点.若，则的长为()A10B12C16D20【答案】D【解析】【分析】连接，如图，先利用圆周角定理证明得到，再根据正弦的定义计算出，则，接着证明，利用相似比得到，所以【详解】解：连接，如图，为直径，而，而，在中，即，故选：D【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对
9、的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径也考查了解直角三角形8如图，在矩形ABCD中，AB2，BC10，E、F分别在边BC，AD上，BEDF将ABE，CDF分别沿着AE，CF翻折后得到AGE，CHF若AG、CH分别平分EAD、FCB，则GH长为（ ）A3B4C5D7【答案】B【解析】【分析】如图作GMAD于M交BC于N，作HTBC于T通过解直角三角形求出AM、GM的长，同理可得HT、CT的长，再通过证四边形ABNM为矩形得MNAB2，BNAM3，最后证四边形GHTN为平行四边形可得GHTN即可解决问题【详解】解：如图作GMAD于M交BC于N，作HTBC于TA
10、BE沿着AE翻折后得到AGE，GAMBAE，ABAG2，AG分别平分EAD，BAEEAG，BAD90，GAMBAEEAG30，GMAD，AMG90，在RtAGM中，sinGAM，cosGAM，GMAGsin30，AMAGcos303，同理可得HT，CT3，AMGBBAD90，四边形ABNM为矩形，MNAB2，BNAM3，GNMNGM，GNHT，又GNHT，四边形GHTN是平行四边形，GHTNBCBNCT10334，故选：B【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型9如图，4个形状、大小完全相同的菱形组
11、成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60，、都是格点，则（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用 得出答案【详解】解:连接DC，交AB于点E由题意可得:AFC=30, DCAF,设EC=x,则EF=, ,故选:A【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF的长是解题关键10如图所示，中， ，顶点分别在反比例函数与的图象器上，则的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】过A作ACx轴，过B作BDx轴于D，于是得到BDO=ACO=90，根据反比例函数的性质得到SBDO=，SAOC=，根据
12、相似三角形的性质得到=，根据三角函数的定义即可得到结论【详解】解：过A作ACx轴，过B作BDx轴于D，则BDO=ACO=90，顶点A，B分别在反比例函数与的图象上，SBDO=，SAOC=，AOB=90，BOD+DBO=BOD+AOC=90，DBO=AOC，BDOOCA，tanBAO=.故选B.【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法11如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），BAO，ABO的平分线相交于点C，过点C作CDx轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A（ ，2）B（ ，1）C（ ，2）
13、D（，1）【答案】A【解析】【分析】延长DC交y轴于F，过C作CGOA于G，CEAB于E，根据角平分线的性质得到FCCGCE，求得DHCGCF，设DH3x，AH4x，根据勾股定理得到AD5x，根据平行线的性质得到DCACAG，求得DCADAC，得到CDHGAD5x，列方程即可得到结论【详解】解：延长DC交y轴于F，过C作CGOA于G，CEAB于E，CDx轴，DFOB，BAO，ABO的平分线相交于点C，FCCGCE，DHCGCF，A（8，0），B（0，6），OA8，OB6，tanOAB，设DH3x，AH4x，AD5x，CDOA，DCACAG，DACGAC，DCADAC，CDHGAD5x，3x+5
14、x+4x8，x，DH2，OH，D（，2），故选：A【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，进行的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线构造矩形和直角三角形是解题的关键12如图，RtAOB中，AOB=90，AO=3BO，OB在x轴上，将RtAOB绕点O顺时针旋转至RtAOB，其中点B落在反比例函数y=的图象上，OA交反比例函数y=的图象于点C，且OC=2CA，则k的值为（）A4BC8D7【答案】C【解析】【详解】解：设将RtAOB绕点O顺时针旋转至RtAOB的旋转角为，OB=a，则OA=3a，由题意可得，点B的坐标为（acos，asin），点C的坐标为（2asin，2acos），点B在反比
15、例函数y=的图象上，asin=，得a2sincos=2，又点C在反比例函数y=的图象上，2acos=，得k=4a2sincos=8.故选C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为，利用旋转的性质和三角函数设出点B与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.13如图，在正方形中，点在的边上，且，与关于所在直线对称，将按顺时针方向绕点旋转90得到，连接，则的值是 （ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】过点E作 ，交AB于H，交CD于G，作于N，首先证明，则有 ，设，则， 在中利用勾股定理求出x的值，进而可求的长度，进而可求FN，再利用勾股定理求出EF的
16、长度，最后利用即可求解【详解】过点E作 ，交AB于H，交CD于G，作于N，则， 四边形ABCD是正方形， ，四边形AHGD,BHEN,ENCG都是矩形由折叠可得， ， 设，则， 在中， ， ，解得或（舍去）， 在 中，由勾股定理得， ， 故选：A【点睛】本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键14定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角的正对记作，即底边:腰.如图，在中，.则（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】证明ABC是等腰直角三角形即可解决问题【详解】解：AB=AC，B=C，A=2B，B=C=45，A=90
17、，在RtABC中，BC=AC，sinBsadA=,故选：C【点睛】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型15如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y4xx2刻画，斜坡可以用一次函数yx刻画，下列结论错误的是( )A斜坡的坡度为1: 2B小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C小球落地点距O点水平距离为7米D当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断、；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断；求出当时，的值
18、，判定【详解】解：，解得，7=12，A正确；小球落地点距点水平距离为7米，C正确；，则抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小，即小球距点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，当时，整理得，解得，当小球抛出高度达到时，小球水平距点水平距离为或，D错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键16如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为，那么此时飞机离地面的高度为()A千米B千米C千米D千米【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解
19、】在P点做一条直线垂直于直线AB且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO，BO=PO，又AB=m=AO-BO= PO- PO= . 所以答案选A.【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.17如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O，下列结论：DOC=90，OC=OE，CE=DF，tanOCD=，SDOC=S四边形EOFB中，正确的有（）A1个B2个C3个D4个【答案】D【解析】分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得EBCFCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得DOC=90正确
20、，CE=DF正确；由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得错误；易证得OCD=DFC，即可求得正确；由易证得正确详解：正方形ABCD的边长为4，BC=CD=4，B=DCF=90 AE=BF=1，BE=CF=41=3在EBC和FCD中，EBCFCD（SAS），CFD=BEC，CE=DF，故正确，BCE+BEC=BCE+CFD=90，DOC=90；故正确； 连接DE，如图所示，若OC=OE DFEC，CD=DE CD=ADDE（矛盾），故错误； OCD+CDF=90，CDF+DFC=90，OCD=DFC，tanOCD=tanDFC=，故正确； EBCFCD，SEBC=SFCD，SEBCSFOC=
21、SFCDSFOC，即SODC=S四边形BEOF故正确； 故正确的有： 故选D 点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用18如图，已知O上三点A，B，C，半径OC=1，ABC=30，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）A2B CD【答案】B【解析】【分析】连接OA，由圆周角定理可求出AOC=60，再根据AOC的正切即可求出PA的值.【详解】连接OA，ABC=30，AOC=60，PA是圆的切线，PAO=90，tanAOC =,PA= tan601=.故选B.【点睛】本题考查了圆周
22、角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出AOC=60是解答本题的关键.19已知B港口位于A观测点北偏东45方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为10km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（）kmA8B9C6D7【答案】A【解析】【分析】【详解】解：MAB=45，BM=10，AB=20km，过点B作BDAC，交AC的延长线于D，在RtADB中，BAD=MACMAB=7545=30，tanBAD=，AD=BD，BD2+AD2=AB2，即BD2+（BD）2=202，BD=10
23、，AD=10，在RtBCD中，BD2+CD2=BC2，BC=4，CD=2，AC=ADCD=102=8km，答：此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为8km故选A【考点】解直角三角形的应用-方向角问题20如图，ABC的外接圆是O，半径AO=5，sinB=，则线段AC的长为（ ）A1B2C4D5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO并延长交O于点D，连接AD，由CD是O的直径，可得CAD=90，又由O的半径是5，sinB=，即可求得答案【详解】解：连接CO并延长交O于点D，连接AD，由CD是O的直径，可得CAD=90，B和D所对的弧都为弧AC，B=D，即sinB=sinD=，半径AO=5，CD=10，AC=4，故选：C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
