1、绝密启用前高中数学必修五综合考试卷第I卷（选择题）一、单选题1数列0,23,45,67的一个通项公式是（ ）A an=n1n+1（nN) B an=n12n+1（nN)C an=2（n1）2n1（nN) D an=2n2n+1（nN)2不等式x12x0的解集是（ ）A 1,2 B (,12,+) C 1,2) D (,1(2,+)3若变量x,y满足x+y0x-y+100x1 ，则x-3y的最小值是（ ）A -5 B -3 C 1 D 44在实数等比数列an中，a2，a6是方程x234x640的两根，则a4等于()A 8 B 8 C 8 D 以上都不对5己知数列an为正项等比数列，且a1a3+2
2、a3a5+a5a7=4，则a2+a6=（ ）A 1 B 2 C 3 D 46数列前项的和为（ ）A B C D 7若ABC的三边长a,b,c成公差为2的 等差数列，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为（ ）A 154 B 1534 C 2134 D 35348在ABC中，已知a=2,b=2,A=450,则B等于( )A 30 B 60 C 30或150 D 60或1209下列命题中正确的是()A abac2bc2 B aba2b2 C aba3b3 D a2b2ab10满足条件a=4,b=32,A=45，的的个数是 ( )A 1个 B 2个 C 无数个 D 不存在11已知函数f(x)=a
3、x2c满足：4f(1)1,1f(2)5.则f(3)应满足（）A 7f(3)26 B 4f(3)15 C 1f(3)20 D 283f(3)35312已知数列an是公差为2的等差数列，且a1,a2,a5成等比数列，则a2为 （）A -2 B -3 C 2 D 313等差数列an的前10项和S10=15，则a4+a7等于（ ）A 3 B 6 C 9 D 1014等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn，若SnTn=2n3n+1，则a3b3的值为（ ）A 35 B 47 C 58 D 1219第II卷（非选择题）二、填空题15已知an为等差数列，且a72a41,a30,则公差d= 16在ABC中
4、，A=60，b=1，面积为3，则边长c=_.17已知ABC中，c=3，a=1，acosB=bcosA ，则ABC面积为_.18若数列an的前n项和Sn=23an+13，则an的通项公式_19直线x4y+9=0下方的平面区域用不等式表示为_20函数y=x+4x1x1的最小值是 _21已知x，yR+，且4x+y=1，则1x+1y的最小值是_三、解答题22解一元二次不等式 （1）x22x+30 （2）x23x+5023ABC的角A、B、C的对边分别是a=5、b=6、c=7。（1）求BC边上的中线AD的长；（2）求ABC的面积。24在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且b2+c2=bc+
5、a2.（1）求A的大小.（2）若a=3，求b+c的最大值.25数列an的前n项和Sn33nn2.(1)求数列an的通项公式； (2) 求证：an是等差数列.26已知公差不为零的等差数列an中， S216，且a1,a4,a5成等比数列.（1）求数列an的通项公式；（2）求数列|an|的前n项和Tn.27已知数列an是公差不为0的等差数列，a4=3，a2,a3,a5成等比数列.（1）求an；（2）设bn=n2an，数列bn的前n项和为Tn，求Tn.28 某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐8吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000
6、元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？29已知正项数列an的前n项和为Sn，且a11，an+12Sn1Sn.(1)求an的通项公式；(2)设bn=a2n12an，求数列bn的前n项和Tn.参考答案1C【解析】【分析】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式【详解】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式an=2(n-1)2n-1（nZ*）故选：C【
7、点睛】本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了数列的通项公式的求法，是基础题2C【解析】【分析】根据分式不等式的意义可转化为整式不等式(x-1)(2-x)0且2-x0，即可求解.【详解】原不等式等价于(x-1)(2-x)0且2-x0，解得1x0，a2+a6=2选B6B【解析】 ，故选B.7B【解析】试题分析：根据题意设三角形的三边最大角为,则由三角形两边之和大于第三边知即,由余弦定理得，即,计算得出:.三角形的三边分别为该三角形的面积为:所以选项是正确的.考点：等差数列，余弦定理，三角形面积.【思路点晴】本题给出三角形中三条边成公差为的等差数列，利用等差中项巧设三边这样只引入了一个变量，根据三
8、角形中大边对大角，则最大角为边所对的角，根据，得到，从而得到三边分别为8A【解析】【分析】由正弦定理asinA=bsinB知sinB=12，所以得B=300或1500，根据三角形边角关系可得B=300。【详解】由正弦定理asinA=bsinB得，2sin4=2sinB，所以sinB=12B=300或1500，又因为在三角形中，ab，所以有AB，故B=300，答案选A。【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，较简单基础。9C【解析】试题分析：对于选项A,根据不等式的性质，只有c0时，能成立，故错误选项B中，当a=0,b=-1,时，此时ab，但是不满足平方后的a2b2，成立，故错误。选项D
9、中，因为当a2b2时，比如a=-2,b=0,的不满足ab，故错误，排除法只有选C.考点：本试题主要考查了不等式的性质的运用。点评：解决该试题的关键是注意可乘性的运用。只有同时乘以正数不等号方向不变。10B【解析】解：因为满足条件a=4,b=32,A=45，利用余弦定理可知得到关于c的一元二次方程，即cosA=b2+c2a22bcc2+26c=0，可知有两个不等的正根，因此有两解，选B11C【解析】【分析】列出不等式组，作出其可行域，利用线性规划求出f（3）的最值即可【详解】：4f（1）1，1f（2）5，&-4a-c-1&-14a-c5，作出可行域如图所示：令z=f（3）=9ac，则c=9az，
10、由可行域可知当直线c=9az经过点A时，截距最大，z取得最小值，当直线c=9az经过点B时，截距最小，z取得最大值联立方程组&a-c=-1&4a-c=-1可得A（0，1），z的最小值为901=1，联立方程组&4a-c=5&a-c=-4，得B（3，7），z的最大值为937=201f（3）20故选：C【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.12D【解析
11、】【分析】由等差数列知，a1=a2d,a5=a2+3d，又三数成等比数列，所以a22=(a2d)(a2+3d)，求解即可.【详解】因为a1=a2d,a5=a2+3d，又a1,a2,a5成等比数列，所以a22=(a2d)(a2+3d)，解得a2=3，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式及等比中项，属于中档题.13A【解析】【分析】由题意结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：S10=a1+a10210=5a1+a10=15，则a1+a10=3，由等差数列的性质可得：a4+a7= a1+a10=3.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查等差数列
12、的性质，等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14C【解析】【分析】根据等差数列的求和公式进行变形可得a3b3=S5T5，结合条件代入n=5后可得所求的值【详解】由等差数列的求和公式可得a3b3=2a32b3=a1+a5b1+b5=52(a1+a5)52(b1+b5)=S5T5=2535+1=58，故选C【点睛】本题考查等差数列的求和公式和项的下标和的性质，解题时要注意等差数列的项与和之间的联系，关键是等差数列中项的下标和性质的灵活运用，考查变化和应用能力15B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可【详解】设等
13、差数列an的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得a1+6d2(a1+3d)1a1+2d0 ，即a11a1+2d0 ，解得d=-12，故选：B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用164【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c【详解】A=60,b=1,面积为3=12bcsinA=121c32，解得：c=4，【点睛】在解三角形面积时有三个公式可选择，但是题上已知角A，所以我们需抓取S=12bcsinA1734【解析】【分析】由已知及正弦定理可得sin（AB）=0，结合A，B的范围，可求AB，进而求得AB=0，可得a=b=1，利用
14、余弦定理可求cosA，同角三角函数基本关系式可求sinA，根据三角形面积公式即可计算得解【详解】acosB=bcosA，由正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA，可得：sin（AB）=0，0A，0B，可得：AB，AB=0，可得：a=b=1，cosA=b2+c2-a22bc=1+3-1213=32，可得：sinA=12，SABC=12bcsinA=121312=34故答案为：34【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题18an= -2n-1【解析】【分析】把n=1的式子代入已知中得到数列的首项，再由n
15、2时，an=SnSn1，推得anan1=2，得到数列an表示首项为a1=1，公比为q=2的等比数列，即可求解.【详解】由题意，当n=1时，a1=S1=23a1+13，解得a1=1，当n2时，an=SnSn1=23an+1323an113=23an23an1，即an=2an1，所以anan1=2，所以数列an表示首项为a1=1，公比为q=2的等比数列，所以数列an的通项公式为an=(2)n1.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，及数列an与Sn的关系的应用，其中熟记数列的an与Sn的关系式，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19x4y+90【解析】【分析】作出直线
16、x-4y+9=0，判断O所在的平面区域，即可得到结论【详解】点(0,0)在直线x-4y+9=0的下方，应使不等式成立，所以直线x-4y+9=0下方的平面区域用不等式表示为x-4y+90故答案为：x-4y+90【点睛】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，先判断原点对应的不等式是解决本题的关键，比较基础205【解析】【分析】先对函数的解析式变形，再利用基本不等式求最小值.【详解】由题得y=x-1+4x-1+12(x1)4x1+1=5.(当且仅当x1x1=4x1即x=2时取等)故答案为：5【点睛】（1）本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 使用
17、基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，配凑出基本不等式的条件.本题解题的关键是变形y=x-1+4x-1+1.219【解析】【分析】直接将代数式4x+y与1x+1y相乘，利用基本不等式可求出1x+1y的最小值【详解】由基本不等式可得1x+1y=4x+y1x+1y=4xy+yx+524xyyx+5=9.，当且仅当4xy=yx4x+y=1x=16y=13，等号成立，因此1x+1y的最小值为9，故答案为：9【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“
18、等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.22（1）(-3,1)；（2）R.【解析】【分析】1利用因式分解即可2利用判别式即可得到答案【详解】（1）由-x2-2x+30，得x2+2x-30，解得-3x1。所以不等式的解集为(-3,1)。（2）因为=(-3)2-45=-110的解集为R。【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题。23（1）1452；（2）66【解析】【分析】（1）由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac可以求出cosB的值，再通过AD2=BD2+AB2-2BDABcosB求出AD的值。（2）通过cosB计算出sinB的值，再通过SABC=12acsi
19、nB计算出ABC的面积。【详解】（1）在ABC中，由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac ，=25+49-36257=1935 ，由D是BC边上的中点知BD=52, 在ABD中，由余弦定理知，AD2=BD2+AB2-2BDABcosB=(52)2+49-25271935=1454，所以AD=1452 ，（2）由（1）知cosB=1935，三角形中sinB0 ，sinB=1-cosB2=1-(1935)2=12635 ，SABC=12acsinB ，=125712635=66，所以ABC的面积是66。【点睛】本题考察的是解三角形，要对解三角形的正弦定义、余弦定理、三角形面积公式有着足够的了
20、解。24（1）3；（2）23【解析】【分析】（1）将余弦定理与已知等式相结合求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的大小；（2）将a代入可得b+c2-3=3bc，利用基本不等式即可得结果.【详解】（1）b2+c2=bc+a2b2+c2-a2=bccosA=b2+c2-a22bc=12A0，A=3 （2）a=3b2+c2=bc+3b+c2-3=3bcbcb+c22b+c2-33b+c24，b+c212b+c23.【点睛】本题主要考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键.25（1）an342n.（2）见解析【解析】【分析】（1）当n2时，
21、an=SnSn1，又当n=1时，a1=S1，即可得出（2）只要证明：an+1an= 常数即可【详解】解 (1)当n2时，anSnSn1342n，又当n1时，a1S1323421满足an342n.故an的通项为an342n.(2)证明：an1an342(n1)(342n)2.故数列an是以32为首项，2为公差的等差数列【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题26（1）an112n(nN*)（2）见解析【解析】【分析】(1)S216，a1,a4,a5成等比数列，2a1+d=16a1+3d2=a1a1+4d解得首项和公差进而得到通项；（2）当n5时，Tna
22、1a2an, 直接按照等差数列求和公式求和即可, n6,Tna1a2a5a6a7 an =n210n50,写成分段即可.【详解】（1）由S216，a1,a4,a5成等比数列，得2a1+d=16a1+3d2=a1a1+4d解得所以等差数列an的通项公式为an112n(nN*) （2）当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn210n.当n6时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7 an2S5Sn2(52105)(n210n)n210n50，故Tn【点睛】数列通项的求法中有常见的已知Sn和an的关系，求an表达式，一般是写出Sn1做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是
23、否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。27（1）an=n1；（2）Tn=(n1)2n+1【解析】【分析】（1）设数列an的首项为a1，公差为d，由a2,a3,a5成等比数列，列出方程，求得d=1，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）得bn=n2n1，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.【详解】（1）设数列an的首项为a1，公差为d（d0），则ana1(n1)d因为a2，a3，a5成等比数列，所以(a12d)2(a1d)(a14d)，化简得，a1d0，又因为d0，所以a10，又因为a4a13d3，所以d1所以ann1（2）bnn2n1，Tn120221322n2n1，
24、则2Tn121222323n2n 得，Tn121222n1n2n，n2n (1n)2n1所以，Tn(n1)2n1【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.28生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元【解析】【分析】设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元，列出线性
25、约束条件，再利用线性规划求解.【详解】设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元目标函数为zx0.5y，约束条件为：4x+y1018x+15y66x0,xNy0,yN，可行域如图中阴影部分的整点当直线y2x2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大解方程组4x+y=1018x+15y=66得：M点坐标为(2,2)所以zmaxx0.5y3.所以生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元【点睛】(1)本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和应用能力.(2) 线性规划问题步骤如下：根据题意，设出变量x,y；列出线性约束条件；确定线性目标函数z
26、=f(x,y)；画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；利用线性目标函数作平行直线系y=f(x)(z为参数）；观察图形，找到直线y=f(x)(z为参数）在可行域上使z取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.29(1)an=n(nN+) ； （2）Tn=(2n3)2n+1+6.【解析】【分析】（1）aSn1Sn，当n2时，aSnSn1，得aaan1an可推出an1an1，即可求解（2）利用错位相减法求和即可.【详解】(1)因为aSn1Sn，所以当n2时，aSnSn1，得aaan1an，即(an1an)(an1an)an1an，因为an0，所以an1an1，所以数列an从第二项起，是公差为1的等差数列由知aS2S1，因为a11，所以a22，所以当n2时，an2(n2)1，即ann.又因为a11也满足式，所以ann(nN*)(2)由(1)得bn=a2n-12an(2n1)2n，Tn2322523(2n1)2n，2Tn22323(2n3)2n(2n1)2n1，得Tn222222n(2n1)2n1，所以Tn223(1-2n-1)1-2(2n1)2n1，故Tn(2n3)2n16.【点睛】本题主要考查了数列前n项和Sn与an的关系，错位相减法求和，以及由递推关系求通项，属于难题.
