1、南京市20172018学年度第一学期期末调研测试卷 高二数学（理科） 2018.01注意事项：1本试卷共3页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡参考公式：圆锥的体积公式：Vr2h，侧面积公式：Srl，其中r，h和l分别为圆锥的底面半径，高和母线长一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1命题“若ab0，则b0”的逆否命题是 2已知复数z满足 z(1i)i，其
2、中i是虚数单位，则 |z| 为 3在平面直角坐标系xOy中，抛物线y24x的焦点坐标是 4“x23x20”是“1x2”成立的 条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写） xyOa31yf(x)l（第7题图）5已知实数x，y满足条件 则z3xy 的最大值是 6函数 f(x)xex 的单调减区间是 7如图，直线l经过点(0，1)，且与曲线yf(x) 相切于点(a，3)若f (a)，则实数a的值是 8在平面直角坐标系xOy中，若圆 (xa)2(ya)22 与圆 x2(y6)28相外切，则实数a的值为 （第9题图）ABCPM9如图，在三棱锥PABC中， M是侧
3、棱PC的中点，且xyz，则xyz的值为 10在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 y21的渐近线与抛物线x24y的准线相交于A，B两点，则三角形OAB的面积为 11在平面直角坐标系xOy中，若点A到原点的距离为2，到直线 xy20的距离为1，则满足条件的点A的个数为 12若函数f(x)x33x2mx在区间 (0，3) 内有极值，则实数m的取值范围是 13在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 1(ab0) 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C若2，则该椭圆的离心率为 14已知函数f(x)x|x23|若存在实数m，m(0，使得当x0
4、，m 时，f(x)的取值范围是0，am，则实数a的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本题满分14分）已知复数z，（mR，i是虚数单位）（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）设是z的共轭复数，复数2z在复平面上对应的点在第一象限，求m的取值范围16（本题满分14分）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱BC，A1B1，B1C1的中点 BB1（第16题图）ADCA1C1D1EFG（1）求异面直线EF与DG所成角的余弦值；（2）设二面角ABDG的大小为，求 |cos| 的值 17（本题满分
5、14分）如图，圆锥OO1的体积为设它的底面半径为x，侧面积为SOO1（第17题图）（1）试写出S关于x的函数关系式；（2）当圆锥底面半径x为多少时，圆锥的侧面积最小？ 18（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在直线l：xy10上（1）求圆C的方程； （2）设P是圆D：x2y28x2y160上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标 19（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的一条准线方程为x，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设A为椭
6、圆的上顶点，过点A作两条直线AM，AN，分别与椭圆C相交于M，N两点，且直线MN垂直于x轴 设直线AM，AN的斜率分别是k1， k2，求k1k2的值； 过M作直线l1AM，过N作直线l2AN，l1与l2相交于点Q试问：点Q是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由 ONMAl1xl2yQ（第19题图）20（本题满分16分） 设函数f(x)ax21lnx，其中aR（1）若a0，求过点(0，1)且与曲线yf(x)相切的直线方程；（2）若函数f(x)有两个零点x1，x2， 求a的取值范围； 求证：f (x1)f (x2)0南京市20172018学年度第一学期期末检测卷 高二数学（
7、理科）参考答案 201801说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1“若b0，则ab0” 2 3(1，0) 4充分不必要 57 6(，1)或(，1 73 83 90 103 113 12(9
8、，3) 13 141，3)二、解答题（本大题共6小题，共90分）15（本题满分14分）解（1）z12m(2m1)i 3分因为z是纯虚数，所以12m0且2m10， 解得m 6分（2）因为是z的共轭复数，所以12m(2m1)i 8分所以2z12m(2m1)i212m(2m1)i36m(2m1)i 10分因为复数2z在复平面上对应的点在第一象限，所以 12分解得m，即实数m的取值范围为(，) 14分16（本题满分14分）解 如图，以，为正交基底建立坐标系DxyzBB1（第16题图）ADCA1C1D1EFGyxz设正方体的边长为2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，E(1，2，0
9、)，F(2，1，2)，G(1，2，2)（1）因为(2，1，2)(1，2，0)(1，1，2)， (1，2，2)， 2分所以11(1)2223，|，|3 4分从而cos，即向量与的夹角的余弦为，从而异面直线EF与DG所成角的余弦值为 7分（2）(2，2，0)， (1，2，2) 设平面DBG的一个法向量为n1(x，y，z )由题意，得 取x2，可得y2，z1所以n1(2，2，1) 11分又平面ABD的一个法向量n2(0，0，2)，所以cosn1，n2 因此 |cos| 14分17（本题满分14分）解（1）设圆锥OO1的高为h，母线长为l因为圆锥的体积为，即 x2h，所以h 2分因此 l， 从而Sxl
10、x，(x0) 6分（2）令f(x)x4，则f (x)4x3 ，(x0) 8分由f (x)0，解得x 10分当0x时，f (x)0，即函数f(x)在区间(0，)上单调递减；当x时，f (x)0，即函数f(x)在区间(，)上单调递增 12分所以当x时，f(x)取得极小值也是最小值答：当圆锥底面半径为时，圆锥的侧面积最小 14分18（本题满分16分）解（1）设圆C的方程为x2y2DxEyF0，其圆心为(，)因为圆C经过点A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在直线l：xy10上，所以 4分解得所求圆C的方程为x2y24x2y0 7分（2）由（1）知，圆C的方程为(x2)2(y1)25依题意，S2SPM
11、CPMMC 所以当PC最小时，S最小 10分因为圆M：x2y28x2y160，所以M(4，1)，半径为1因为C(2，1)，所以两个圆的圆心距MC6因为点PM，且圆M的半径为1，所以PCmin615 所以Smin10 14分此时直线MC：y1，从而P(3，1) 16分19（本题满分16分）解（1）设椭圆C：1的半焦距为c由题意，得 解得从而b1所以椭圆C的方程为y21 4分（2）根据椭圆的性质，M，N两点关于x轴对称，故可设M(x0，y0)，N(x0，y0)( x00，y00)，从而 k1k2 7分因为点M在椭圆C上，所以y021，所以1y02，所以k1k2 10分设Q(x1，y1)，依题意A(
12、0，1)因为l1AM，所以 1，即(y01)(y1y0)x0 (x1x0)；因为l2AN，所以1，即(y01)(y1y0)x0 (x1x0)，故 (y01)(y1y0)(y01)(y1y0)0，化得(y11) y00 14分从而必有y110，即y11即点Q在一条定直线y1上 16分20（本题满分16分）解（1）当a0时，f(x)1lnx，f (x)设切点为T(x0，1lnx0)，则切线方程为：y1lnx0( xx0) 2分因为切线过点(0，1)，所以 11ln x0 (0x0)，解得x0e 所以所求切线方程为yx1 4分（2） f (x)ax，x0 (i) 若a0，则f (x)0，所以函数f(
13、x)在(0，)上单调递减，从而函数f(x)在(0，)上至多有1个零点，不合题意 5分 (ii)若a0，由f (x)0，解得x当0x时， f (x)0，函数f(x)单调递减；当x时， f (x)0，f(x)单调递增，所以f(x)minf()ln1ln要使函数f(x)有两个零点，首先 ln0，解得0ae 7分当0ae时，因为f()0，故f()f()0又函数f(x)在(0，)上单调递减，且其图像在(0，)上不间断，所以函数f(x)在区间(0，)内恰有1个零点 9分考察函数g(x)x1lnx，则g(x)1当x(0，1)时，g(x)0，函数g(x)在(0，1)上单调递减；当x(1，)时，g(x)0，函数
14、g(x)在(1，)上单调递增，所以g(x)g(1)0，故f()1ln0因为0，故因为f()f()0，且f(x)在(，)上单调递增，其图像在(，)上不间断，所以函数f(x)在区间(， 上恰有1个零点，即在(，)上恰有1个零点综上所述，a的取值范围是(0，e) 11分 由x1，x2是函数f(x)的两个零点(不妨设x1x2)，得 两式相减，得 a(x12x22)ln0，即a(x1x2) (x1x2)ln0，所以a(x1x2) 13分f (x1)f (x2)0等价于ax1ax20，即a(x1x2)0，即0，即2ln0设h(x)2lnxx，x(0，1)则h(x)10，所以函数h(x)在(0，1)单调递减，所以h(x)h(1)0因为(0，1)，所以2ln0，即f (x1)f (x2)0成立 16分
