1、 高考数学知识点总结 【文】高考数学知识点总结 【文】 第一部分 集合与简易逻辑 2 第二部分 不等式的解法 2 第三部分 函 数 3 第四部分 导 数 5 第五部分 三角函数 6 第六部分 数列 9 第七部分 平面向量 . 11 第八部分 不等式性质 . 12 第九部分 直线和圆 . 12 第十部分 圆锥曲线 . 14 第十一部分 立体几何 . 16 第十二部分 复数 . 18 第十三部分 概率与统计 . 19 第十四部分 极坐标与参数方程 . 20 第一部分第一部分 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 1. 数集的符号表示：自然数集 N ；正整数集 N* ；整数集 Z；有理数集 Q、实数集 R
2、2. 是任何集合的子集，条件为AB时不要遗忘了A的情况 3.对于含有n个元素的有限集合子集数目：其子集、真子集、非空子集、非空真子集的 个数依次为 2n , 2n -1, 2n -1, 2n -2 4.理解集合的意义抓住集合的代表元素。如:x|y=f(x) 表示 y=f(x)的定义域， y|y=f(x) 表示 y=f(x)的值域，(x,y)|y=f(x) 表示 y=f(x)的图像 5. A 是 B 的子集ABAB=BAB=A， 6.四种命题及其相互关系:若原命题是 “若 p 则 q” ， 则逆命题为 “若 q 则 p” ； 否命题为 “若 p 则q” ；逆否命题为“若q 则p” 。互为逆否关系
3、的命题是等价命题.对于条件 或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“ABBA ”判断其真假 7.要注意区别“否命题”与“命题的否定” ：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命 题的否定仅对命题的结论否定；命题“p或q”的否定是“p且q” ； “p且q”的否 定是“p或q” 8、逻辑联结词：命题pq真假判断：两真才真，一假则假；命题pq真假判断：两 假才假，一真则真；命题p真假与 P 相反 9、全称量词“所有的” 、 “任意一个”等，用“”表示； 全称命题 p：xM,P(x)； 全称命题 p 的否定p:xM, P(x)。 存在量词“存在一个” 、 “至少有一个”等，用“”表示； 特称命
4、题 p：xM, P(x)； 特称命题 p 的否定p：xM, P(x)； 10.充要条件:由 A 可推出 B，A 是 B 成立的充分条件；B 是 A 成立的必要条件。 从集合角度解释，若BA，则 A 是 B 的充分条件；B 是 A 的必要条件；小充分大必要 第二部分第二部分 不等式不等式的解法的解法 11.一元二次方程的基础知识：求根公式：根的判别式：=b 2-4ac根与系数关系： x1+x2=b a, x1x2= c a根的分布： 方程 ax 2+bx+c=0 有两正根的条件是： 1212 0,0,0xxx xg； 有两负根的条件是： 1212 0,0,0xxx x g；有一正一负两根的条件是
5、：0, x1x20，再转化为整式不等式 f(x)g(x)0 求解，注意最高次项的系数要为正 15. 绝对值不等式的解法：单绝对值不等式用公式法：| xaxaxa或. |xaaxa ;双绝对值不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解 16. 指数不等式、对数不等式的解法：先将不等式两边转化为同底的指对数式，再利用 单调性转化为整式不等式求解。注意对底数的讨论，对数不等式还要注意真数要大于 0 第三部分第三部分 函函 数数 17. 函数定义：函数是定义在两个非空数集 A，B 上的一种特殊对应关系，对于 A 中每一 个数 x，在 B 中都有唯一的数与之对应。函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点 18
6、.相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） ；定义域 一致 (两点必须同时具备) 19.定义域求法:使函数解析式有意义(如:分母0;偶次根式被开方数非负;对数的真数 0,底数0且1；零指数幂的底数0)；实际问题有意义；若( )f x定义域为 , a b, 复合函数 ( )f g x定义域由( )ag xb解出；若 ( )f g x定义域为 , a b,则( )f x定义域 相当于 , xa b时( )g x的值域. 20.求函数值域（最值）的方法： （1）二次函数区间最值：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对关系） ， （2）换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单
7、易求值域的函数，其函数特征是 函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如 2 2sin3sin1yxx，211yxx （运 用换元法时，要特别要注意新元t的范围） （3）单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性， （4）导数法：一般适用于高次多项式函数或其他复杂函数，求导解导数为 0 的根 计算极值和区间端点函数值比较大小，得出最值 21. 求函数解析式的常用方法： （1）代换法：已知形如 f(g(x)的表达式，求 f(x)的表达式。可设 g(x)=t,用 t 表示 x,再代 回原式即可 （2） 转化法：若根据函数奇偶性求解析式， 则设 x所求区间，利用 f(x) =
8、f(x)或 f(x) = f(x)求解析式 （3）方程的思想已知条件是含有( )f x及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征 对等式的进行赋值， 从而得到关于( )f x及另外一个函数的方程组。 通过解方程组得到 f(x) 解析式。如已知( )2 ()32f xfxx，求( )f x的解析式 22.函数的单调性。 （1）定义：设函数y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间D内的任意两 个自变量x1，x2，当x11 增；00 , a1) 名称 指数函数 y=a x (a0 且 a1) 对数函数 y=logax (a0 , a1) 定义域 (-,+ ) (0,+ ) 值域 (0
9、,+ ) (-,+ ) 过定点 （，1） （1，） 图象 指数函数 y=a x与对数函数 y=log ax (a0 , a1)图象关于 y=x 对称 单调性 a1,在(-,+ )为增函数 0a1, 在(-,+ )为减函数 a1,在(0,+ )为增函数 aa 型不等式，应先画出正余弦函数在0,2的图像，根据取值要求找出 对应角的范围，再加上周期 2k即可，如果角的区间不连续，则平移使之相连。 tanxa 问题要注意加周期 k 第六部分 数列 53. a nn S 与 关系应用： Sna1a2an； (1)已知 n S求 n a，用作差法： 1 1 ,(1) ,(2) n nn Sn a SSn
10、。已知 12 ( ) n a aaf nL求 n a，用 作商法： (1),(1) ( ) ,(2) (1) n fn f na n f n 。检验当n1 时，若a1适合SnSn1，则n1 的情况可并 入n2 时的通项an；当n1 时，若a1不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示 (2)由an与Sn的关系求an，通常用n1 代替n，两式作差将SnSn1用an替换，转化为 an与an1的关系，然后求解 (3)由an与Sn的关系求Sn.通常利用anSnSn1(n2)将已知关系式转化为Sn与Sn1的关 系式，然后求解 54.等差数列的有关概念： （1）等差数列的判断方法：定义法 1 ( nn aa
11、d d 为常数）或 11( 2) nnnn aaaan 。 （2）等差数列的通项： 1 (1) n aand或() nm aanm d。 （3）等差数列的前n项和： 1 () 2 n n n aa S ， 1 (1) 2 n n n Snad 。. （4）等差中项：若, ,a A b成等差数列，则 A 叫做a与b的等差中项，且 2 ab A 。 55.等差数列的性质： （1） 当 m+n=p+q 时,则有 qpnm aaaa， 特别地， 当 m+n=2p 时， 则有2 mnp aaa. (2) 若an成等差数列,则 232 , nnnnn S SS SS ，也成等差数列 56.等比数列的有关概
12、念： （1）等比数列的通项： 1 1 n n aa q 或 n m nm aa q 。 （2）等比数列的前n和：当 q=1 时， 1n Sna；当1q 时， 1(1 ) 1 n n aq S q 1 1 n aa q q 。 （3）等比中项：若, ,a A b成等比数列，那么 A 叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何 两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。 57.等比数列的性质： （1）当 m+n=p+q 时，则有 mnpq aaaagg，特别地，当 m+n=2p 时，则有 2 mnp aaag. (2) 若an是等比数列，且公比1q ，则数列 232 , nnnnn S
13、 SS SS也是等比数列。 (3)如果数列an既成等差数列又成等比数列，那么数列 n a是非零常数数列，故常数数 列 n a仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 58.递推数列的通项求法： (1)若 1 ( ) nn aaf n 求an用累加法： 11221 ()()() nnnnn aaaaaaa L 1 a。 (2)已知 1 ( ) n n a f n a 求an，用累乘法：12 1 121 nn n nn aaa aa aaa L (3)已知a1且an1AanB，则an1kA(ank)(其中k可由待定系数法确定)，转化为 等比数列ank (4)形如an1 Aan BanC
14、的数列，可通过两边同时取倒数方法构造新数列求解 59.数列求和的常用方法： （1）分组求和法：等差数列与等比数列对应项相加而成的新数列的求和问题 (2)错位相减法：一个等差数列与一个等比数列对应项相乘而成的新数列的求和问题；如 基本步骤如下：乘上公比、错位书写；上下相减、末项为负；中间求和、注意项数， 右式整理、高次化低；去除系数、代 2 检验。 (3)裂项相消法：解决通项公式是等差数列相邻两项乘积的倒数的新数列的求和问题 常用裂项形式有： 111 (1)1n nnn ； 11 11 () ()n nkk nnk ； 第七部分 平面向量 60向量的有关概念与表示 (1)向量：既有方向又有大小的
15、量，记作向量 cba,AB 自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相 同的向量都看成是相等的向量 (2)向量的模：向量的长度，记作：|AB | (3)向量的夹角：两个非零向量 a，b，作 baOBOA, ，则AOB 称为向量 a，b 的夹角， 61、零向量：模为 0，方向任意的向量，记作：0 单位向量：模为 1，方向任意的向量，与 a 共线的单位向量是： )0( | a a a 相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量 相反向量：长度相等，方向相反的向量 向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量 也称为平行向量记作
16、ab 62向量的几何运算 (1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则 (2)减法：三角形法则共起点；差向量方向指向被减向量 (3)数乘：记作：a它的长度是：aa它的方向：当0 时，a 与 a 同向当0 时，a 与 a 反向当0 时，a0 (4)数量积： 定义：ababcosa，b 性质：设 a，b 是非零向量，则： ab0ab 当为锐角时，ab0，且 a，b 不同向，0a b 是为锐角的必要非充分条件；当 为钝角时，ab0，且a，b不反向，0a b 是为钝角的必要非充分条件； 特殊地：aaa2或 aaa | 夹角： | ,cos ba ba ba 63向量的坐标运算 若在平面直角坐标系
17、下，a(x1，y1)，b(x2，y2) (1)加法：ab(x1x2，y1y2) (2)减法：ab(x1x2，y1y2) (3)数乘：a(x1，y1) (4)数量积：abx1x2y1y2 (5)若 a(x，y)，则 22 |yx a (6) 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 | ,cos yxyx yyxx ba ba ba (7)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 2 21 2 21 )()(|yyxxAB (8)a 在 b 方向上的正射影的数量为 2 2 2 2 2121 | ,cos| yx yyxx b ba baa 64重要定理 (1)平行向量基本定理： 若 ab，则
18、ab，反之：若 ab，且 b0，则存在唯一的实数使得 ab (2)平面向量基本定理： 如果 e1和 e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量 a，存在唯一 的一对实数 a1，a2使 aa1e1a2e2 (3)向量共线和垂直的充要条件： 若在平面直角坐标系下，a(x1，y1)，b(x2，y2) 则：abx1y2x2y10，abx1x2y1y20 (4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 21 21 yy xx ba 65、ABC中中向量一些常用的结论： 0GA GB GCG 为ABC的重心； ,OAOCOCOBOBOAO 为ABC的垂心； 向量()(0) | ACAB AB
19、AC 所在直线过ABC内心(是BAC角平分线所在直线)； 向量,OC OA OB uuu r uur uu u r 中三终点 A,B,C 共线存在实数 x,y 使得OByOAxOC且 x+y=1. 特别的，若 C 是 A,B 中点，则有 11 22 OCOAOB uuu ruuruu u r 第八部分 不等式性质 66、不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；不可以相减： （2）同向正数不等式可以相乘，但不能相除； （3）同向正数不等式两边可以同时乘方或开方：若0ab，则 nn ab或 nn ab； （4）若0ab，ab，则 11 ab ；若0ab，ab，则 11 ab 。 67. 均值不等
20、式定理： 若0a，0b，则2abab，即 2 ab ab 68. 常用的重要不等式： 22 2abab； 2 2 ab ab ； 69.含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是 关键 ”注意解完之后要写上： “综上，原不等式的解集是” 。注意：按参数讨论，最后 应按参数取值分别说明其解集；若按未知数讨论，最后应求并集. 集合的形式表示结果 第九部分 直线和圆 70、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间 所成的角叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定= 0
21、. 倾斜角的值 范围： 0180. 71、直线的斜率： （1）定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线 的斜率k， 即ktan(90)； 倾斜角为 90的直线没有斜率； 当0， 90) 时，越大，l的斜率越大；当(90，180)时，越大，l的斜率越大 （2）斜率公式：经过两点 111 ( ,)P x y、 222 (,)P xy的直线的斜率为 21 21 21 xx xx yy k ； 72、直线的方程： (1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在 的直线，过定点 00 (,)P x y的直线要设成 x=x0和)( 00 xxkyy） ； (2)直线在坐
22、标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等直线的斜率为-1 或 直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为 1 或直线过原点；直线两截距绝对 值相等直线的斜率为1或直线过原点。 73、点到直线的距离及两平行直线间的距离： （1）点 00 (,)P x y到直线AxByC0的距离 00 22 AxByC d AB ； （2）两平行线 1122 :0,:0lAxByClAxByC间的距离为 12 22 CC d AB 。 74、直线 1111 :0lAxB yC与直线 2222 :0lA xB yC的位置关系： （1） 平行 1221 0ABA B（斜率相等） 且 1221 0BCB C
23、（在y轴上截距不等） ； （2） 直线Ax1B1yC10与直线Ax2B2yC20垂直 1212 0A AB B。 75、对称问题： （1）中心对称 点 P(x，y)关于 O(a，b)的对称点 P(x，y)满足 x=2a-x, y=2b-y 直线关于点的对称可能转化为点关于点的对称问题来解决 (2)轴对称 点 A(a， b)关于直线 AxByC0(B0)的对称点 A(m， n)， 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。 76、简单的线性规划： （1）二元一次不等式表示的平面区域：用特殊点判断；无等号时用虚线表示不包 含直
24、线l，有等号时用实线表示包含直线l； （2）求解线性规划问题的步骤是什么？根据实际问题的约束条件列出不等式； 作出可行域，写出目标函数；确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。 （3）在求解线性规划问题时要注意：将目标函数改成斜截式方程；寻找最优解 时注意作图规范；注意直线的斜率正负对最值取点的影响。 （4）线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的 线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的 数值，从而确定目标函数的最值。 77、圆的方程： 圆的标准方程： 22 2 xaybr。 圆的一般方程： 2222 0(DE4F0)xyDxE
25、yF， 圆的参数方程： cos sin xar ybr （为参数） ，其中圆心为( , )a b，半径为r。 78、直线与圆的位置关系：直线:0l AxByC和圆 22 2 C：xaybr 0r 有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断： （1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况） ：0 相交； 0 相离；0相切； （2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小） ：设圆心到直线的距离为d，则 dr相交；dr相离；dr相切。 79、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断） ：已知两圆的圆心分别 为 12 OO， 半径分别为 12 ,r r， 则 （1）
26、当 1 212 | OOrr时， 两圆外离；（2） 当 1 212 | OOrr 时，两圆外切； （3）当 121212 b0)，焦点在 y轴上时y 2 a2 x2 b21.(ab0)， （2）双曲线：焦点在x轴上：x 2 a2 y2 b21，焦点在 y轴上：y 2 a2 x2 b21。 （3）抛物线：开口向右时 y22px，开口向左时 2 2(0)ypx p ，开口向上时 2 2(0)xpy p，开口向下时 2 2(0)xpy p 。 83.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断） ： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x
27、 2 ,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒： （1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F1，F 2的位置， 是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参 数, a b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线 问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a最大， 222 abc，在双曲线中，c最 大， 222 cab。 84.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以1 2 2 2 2 b y a x （0ab）为例） ：范围：
28、,axabyb ； 离心率： c e a ，椭圆01e ，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以 22 22 1 xy ab （0,0ab）为例） ：范围：xa 或,xa yR； 当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0xyk k；离心 率： c e a ，双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小，e越大，开 口越大；两条渐近线： b yx a 。 （3）抛物线（以 y22px 为例） ：准线： 2 p x ；离心率：抛物线1e。 85、点 00 (,)P x y和椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0ab）的关系： （1）点 00 (,)P
29、x y在椭圆外 22 00 22 1 xy ab ； （2）点 00 (,)P x y在椭圆上 2 2 0 2 2 0 b y a x 1； （3）点 00 (,)P x y在椭圆 内 22 00 22 1 xy ab 86直线与圆锥曲线的位置关系： 相交：0 直线与椭圆相交； 0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线 相交不一定有0 ， 当直线与双曲线的渐近线平行时， 直线与双曲线相交且只有一个交 点，故0 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物 线相交，但直线与抛物线相交不一定有0 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与 抛物线相交且只有一个交点， 故0 也仅是直线与抛物线
30、相交的充分条件， 但不是必要 条件。 87、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用定义 和正弦、余弦定理求解。在椭圆1 2 2 2 2 b y a x 中， 2 0 tan| 2 Sbc y ，对于双曲线 22 22 1 xy ab 的焦点三角形有： 2 cotsin 2 1 2 21 brrS。 88、弦长公式：若直线 y=kx+b 与圆锥曲线相交于两点 A、B，且 12 ,x x分别为 A、B 的横 坐 标 ， 则AB 2 12 1 kxx ， 若 12 ,y y分 别 为 A 、 B 的 纵 坐 标 ， 则AB 21 2 1 1yy k ， 89解析几何常用
31、结论 （1）双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为 0 2 2 2 2 b y a x ； （2）以x a b y为渐近线（即与双曲线1 2 2 2 2 b y a x 共渐近线）的双曲线方程为x 2 a 2y 2 b 2t。 （3）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 2 2b a ，抛物线的通径为2p， （4）若抛物线y y 2 2 2 2pxpx的焦点弦为 AB， 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 12 |ABxxp； 2 2 1212 , 4 p x xy yp 90求轨迹的常用方法 (1)直接法： 如果动点满足的几何条件本身就是一些几
32、何量(如距离与角)的等量关系，只需把这 种关系转化为 x、y 的等式就得到曲线的轨迹方程 (2)定义法： 其动点的轨迹符合某一圆锥曲线的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得 到动点的轨迹方程 (3)代入（相关点）法：动点( , )P x y依赖于另一动点 00 (,)Q xy的变化而变化，并且 00 (,)Q xy又在某已知曲线上，则可先用, x y的代数式表示 00 ,xy，再将 00 ,xy代入已知 曲线得要求的轨迹方程； (4)参数法：当动点( , )P x y坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时， 可考虑将, x y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得
33、普通方程 特别提醒：求点的轨迹与轨迹方程是不同的需求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然 后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等 第十一部分 立体几何 91、空间几何体的结构特征 （1）直棱柱：指的是侧棱垂直于底面的棱柱，当底面是正多边形时，这样的直棱柱叫正 棱柱； （2）正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥。 特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体； （3）平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱。 92、旋转体的面积和体积公式： （1） S圆柱侧=2rl， S圆锥侧=rl， S圆台侧=(r1+r2)l， S球=4R2 ， V柱=sh, V锥=1/3sh, V球
34、=4/3R3 （2）球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离 d 与球 的半径 R 及截面圆半径 r 之间的关系是 r 22 dR 。 93、直线和平面的平行关系 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行。 线面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行。 94平面和平面的平行关系 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这 两个平面平行。 两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另
35、一个 平面； （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 95直线和平面的垂直关系 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么 这条直线垂直于这个平面。 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 线面垂直定义应用：如果一条直线 l 和一个平面 垂直，则 l 和平面 内的任意一条直线 都垂直， 96平面和平面的垂直关系 两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互 相垂直。 两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的 直线垂直于另一个平面。
36、 97、两直线平行的判定： （1）公理 4：平行于同一直线的两直线互相平行； （2）线面平行 的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交 的交线和这条直线平行； （3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平 面相交，那么它们的交线平行； （4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一 个平面，那么这两条直线平行。 （5）平面图形中常用中位线及平行四边形的判定（一 组对边平行且相等） 98、两直线垂直的判定： （1）转化为证线面垂直，尤其是两直线无交点时； （2）平面图 形中常用等腰三角形三线合一性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边一半 的逆定理 9
37、9、空间中的角 （1） 、异面直线所成角的求法： （1）范围：(0 ,90 ； （2）求法：计算异面直线所 成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的 几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转 化为相交两直线的夹角。 （2）直线和平面所成的角： （1）范围：0 ,90 ； （2）求法：作出直线在平面上的射影； （4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角 100、空间距离的求法： （特别强调：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“一作， 二证，三计算”的原则） （1）异面直线的距离：直接找公垂线段而求
38、之；转化为求直线到平面的距离，即过 其中一条直线作平面和另一条直线平行。转化为求平面到平面的距离，即过两直线分 别作相互平行的两个平面。 （2）点到直线的距离：一般作出垂线再求解。 （3）点到平面的距离：垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定 已知面的垂面是关键；体积法：转化为求三棱锥的高；等价转移法。 （4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都 相等，转化为求点到平面的距离。 （5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。 （6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度） ：求球面上两点 A、B 间的距离的步骤：计算线
39、段 AB 的长；计算球心角AOB 的弧度数；用弧 长公式计算劣弧 AB 的长。 101立体几何常用结论 （1）棱长为a的正四面体的高： ah 3 6 ；内切球半径： a 12 6 外接球半径： a 4 6 （2） 在三棱锥中： 侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心； 侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心；顶点到底面三角形各 边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内顶点在 底上射影为底面内心.提醒：若顶点在底面上的射影在底面三角形外，则顶点在底上射 影为底面的旁心。 第十二部分 复数 102复数概念： （1）复数的分类 复数ab
40、i （a，bR） 实数（b0） 虚数（b0） 纯虚数（a0） 非纯虚数（a0） （2）a+bi=c+dia=c 且 c=d(a,b,c,dR)； （3）z=a+bi 的共轭复数是z=a-bi 103复数的代数形式及其运算：设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,dR)，则： （1） z 1 z2 = (a + b) (c + d)i； z1.z2 = (a+bi)(c+di)（ac-bd）+ (ad+bc)i； z1z2 = )( )( dicdic dicbia i dc adbc dc bdac 2222 (z20) ; （4）复数z abi 的模（或绝对值）|
41、 |z =| |abi = 22 ab 104几个重要的结论： （1）ii2)1 ( 2 ； （2）; 1 1 ; 1 1 i i i i i i （3）i性质：T=4； iiiiii nnnn 3424144 , 1, 1；; 0 3424144 nnn iiii 第十三部分 概率与统计 105 算法初步的常见题型及解题策略 (1)已知程序框图，求输出的结果可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果可 以在条件判断框的入口处列表判定此时各变量的取值情况 (2)完善框图添加条件问题。结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的 条件或累加、累乘的变量的表达式注意临界点的变量值的分析 106
42、、随机抽样需借助于随机数表（先对总体逐一编号） ，分层抽样的关键是“按比例” ： 总体中各层的比例等于样本中各层的比例。在所有的抽样中，每一个个体被抽到的概率 相等。系统抽样要注重等距性的理解 107、 “读懂”样本频率分布直方图：直方图的高=频率/组距，直方图中小矩形框的面积 是频率；频率样本个数=频数。由频率分布直方图计算中位数时要根据中位数两侧频率 各为 0.5 计算横坐标值。由频率分布直方图计算平均数时可以用每个小组的中位数乘上 本组频率的累加和得出 108、线性回归方程 线性回归方程：abxy （最小二乘法）其中， 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx aybx 注意：线性回归直线经过定点),(yx. 109相关系数（判定两个变量线性相关性） ： n i n i ii n i ii yyxx yyxx r 11 22 1 )()( )( 注：r0 时，变量yx,正相关；r b0) cos sin xa yb （参数方程， 其中为参数） ，
