1、高中数学复习题考点专题练习（按考点分类）专题30 平行关系1（2019江苏）如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，求证：（1）平面；（2）证明：（1）在直三棱柱中，分别为，的中点，平面，平面，平面解：（2）在直三棱柱中，是的中点，又，平面，平面，2（2017江苏）如图，在三棱锥中，平面平面，点、与、不重合）分别在棱，上，且求证：（1）平面；（2）证明：（1），且、四点共面，又平面，平面，平面；（2）在线段上取点，连结、使得，则，又平面平面，平面平面，平面，平面，平面，且，平面，平面，3（2016山东）在如图所示的几何体中，是的中点，（）已知，求证：；（）已知，分别是和的中点，求证：平面（）证明：
2、如图所示，是的中点，、都是等腰三角形，、四点共面，这样，垂直于平面内的两条相交直线、，平面显然，平面，（）已知，分别是和的中点，再取的中点，则，又，故有，而平面，平面同理，而平面，平面，平面平面，平面4（2013新课标）如图，直三棱柱中，分别是，的中点（）证明：平面；（），求三棱锥的体积解：（）证明：连接 交于点，则为的中点直棱柱中，分别是，的中点，故为三角形的中位线，故由于平面，而不在平面中，故有平面（），故此直三棱柱的底面为等腰直角三角形由为的中点可得平面，同理，利用勾股定理求得，再由勾股定理可得，5（2013山东）如图，四棱锥中，分别为、的中点（）求证：平面（）求证：平面平面解：（）证明
3、：四棱锥中，分别为、的中点，取的中点，则由，而且，可得和平行且相等，故四边形为平行四边形，故由于在平面内，而不在平面内，故有平面（）证明：由于，而，可得平面再由可得，平面由于是三角形的中位线，故有，故平面由于为三角形的中位线，可得，而在平面内，而不在平面内，故有平面同理可得，平面而 和是平面内的两条相交直线，故有平面平面平面，而在平面内，故有平面平面6（2013天津）如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，分别为棱，的中点（）证明平面；（）证明平面平面；（）求直线与平面所成角的正弦值证明：三棱柱中，连接，可得，又为棱的中点，所以是平行四边形，所以，平面，平面，平面是的中点，又平面，平面，又，
4、面，又面，平面平面；过作交于，平面平面，且平面平面，面，则为所求的角，设棱长为，可得，由，得，在直角中，直线与平面所成角的正弦值7（2013北京）如图，在四棱锥中，平面底面，和分别是和的中点，求证：（）底面；（）平面；（）平面平面解：（），平面平面，平面平面，由平面和平面垂直的性质定理可得平面（），和分别是和的中点，故四边形为平行四边形，故有又平面，不在平面内，故有平面（）平行四边形中，由可得，为矩形，故有由平面，可得，再由可得平面，平面，故有再由、分别为和的中点，可得，而和是平面内的两条相交直线，故有平面由于平面，平面平面8（2012山东）如图，几何体是四棱锥，为正三角形，（）求证：；（）若
5、，为线段的中点，求证：平面证明：设中点为，连接，则由知，又已知，所以平面所以，即是的垂直平分线，所以证法一：取中点，连接，是的中点，又平面，平面，平面，是等边三角形，又，又平面，平面，平面，又，故平面平面，又平面，平面证法二：延长，交于点，连接，是等边三角形，因此，又，为线段的中点，连接，又平面，平面，平面9（2012辽宁）如图，直三棱柱，点，分别为和的中点（）证明：平面；（）求三棱锥的体积（锥体体积公式，其中为底面面积，为高）（）（证法一）连接，由已知，三棱柱为直三棱柱，所以为的中点，又因为为中点，所以，又平面，平面，所以平面；（证法二）取中点，连接，而，分别为，中点，所以，所以平面，平面；
6、又，所以平面平面，而平面，所以平面；（）（解法一）连接，由题意，平面平面，所以平面，又，故（解法二）10（2012北京）如图1，在中，分别为，的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2（1）求证：平面；（2）求证：；（3）线段上是否存在点，使平面？说明理由解：（1），分别为，的中点，又平面，平面（2）由已知得且，又，平面，而平面，又，平面，（3）线段上存在点，使平面理由如下：如图，分别取，的中点，则，平面即为平面由（）知平面，又是等腰三角形底边的中点，平面，从而平面，故线段上存在点，使平面11（2010湖南）如图所示，在正方体中，是棱的中点（）求直线与平面所成的角的正弦值；（）在棱
7、上是否存在一点，使平面？证明你的结论解：如图（a），取的中点，连接，因为是的中点，四边形为正方形，所以又在正方体中平面，所以面，从而为直线在平面上的射影，直线与平面所成的角设正方体的棱长为2，则，于是在中，即直线与平面所成的角的正弦值为（）在棱上存在点，使平面，事实上，如图（b）所示，分别取和的中点，连接，因，且，所以四边形为平行四边形，因此，又，分别为，的中点，所以，从而，这说明，共面，所以平面因四边形与皆为正方形，分别为和的中点，所以，且，因此四边形为平行四边形，所以，而平面，平面，故平面12（2013陕西）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，（） 证明：平面平面；（） 求三棱柱的体积解：（）四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，由棱柱的性质可得 和平行且相等，故四边形为平行四边形，故有和平行且相等而不在平面内，而在平面内，平面同理可证，为平行四边形，平面而和是平面内的两条相交直线，故有平面平面（） 由题意可得为三棱柱的高三角形中，由勾股定理可得，三棱柱的体积13（2011山东）如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，（）证明：；（）证明：平面证明：（）平面，又，中，由余弦定理得，又，面由面，（）证明：连接和，设，由于底面是平行四边形，故为平行四边形的中心，由棱台的定义及，可得，且，故为平行四边形，而 平面，平面第16页（共16页）
