1、 3.2.1 函数模型的应用实例 例例11如图所示，折线是某电信局规定打长途如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费电话所需要付的电话费y y(元元)与通话时间与通话时间t t(分钟分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)(1)通话通话2 2分钟，需付电话费分钟，需付电话费_元；元；(2)(2)通话通话5 5分钟，需付电话费分钟，需付电话费_元；元；(3)(3)如果如果t t33，则电话费，则电话费y y(元元)与通话时间与通话时间t t(分钟分钟)之间的函数关系式为之间的函数关系式为_ 精解详析精解详析(1)(1)由图象可知，当由图象可知
2、，当t t33时，电话费都是时，电话费都是3.63.6元元(2)(2)由图象可知，当由图象可知，当t t5 5时，时，y y6 6，需付电话费，需付电话费6 6元元(3)(3)当当t t33时，时，y y关于关于x x的图象是一条直线，且经过的图象是一条直线，且经过(3,3.6)(3,3.6)和和(5,6)(5,6)两点，故两点，故设函数关系式为设函数关系式为y yktktb b，答案答案(1)3.6(2)6(3)y1.2t(t3)一点通一点通 1 1明确横轴、纵轴的意义，如例明确横轴、纵轴的意义，如例1 1中横轴中横轴t t表示通话时间，纵轴表示通话时间，纵轴y y表示电话费；表示电话费；2
3、 2从图象形状上判断函数模型，如例从图象形状上判断函数模型，如例1 1中在区间中在区间0,30,3和和33，)上均是直上均是直线型；线型；3 3抓住特殊点的实际意义，特殊点一般包括最高点抓住特殊点的实际意义，特殊点一般包括最高点(最大值点最大值点)、最低点、最低点(最最小值点小值点)及折线的拐角点等；及折线的拐角点等；4 4通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题1某同学家门前有一笔直公路直通长城某同学家门前有一笔直公路直通长城.星期天，他星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有点累，就休
4、息了一段时间；，觉得有点累，就休息了一段时间；想想路途遥远，有些泄气，就沿原路往回骑了想想路途遥远，有些泄气，就沿原路往回骑了b km(ba)；此时他记起；此时他记起“不到长城非好汉不到长城非好汉”，便调转车头继续前进该同学离起点的距离与时间，便调转车头继续前进该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为的函数关系图象大致为()解析：解析：由题意可知，刚开始由题意可知，刚开始s s是关于时间是关于时间t t的一次函数，所以其图象是的一次函数，所以其图象是一条上升的线段；由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平一条上升的线段；由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段；然
5、后原路返回，图象下降；再调转车头继续前行于横轴的一条线段；然后原路返回，图象下降；再调转车头继续前进，则图像上升进，则图像上升答案：答案：C2下面是一幅统计图，根据此图得到的以下下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是说法中，正确的个数是()(1)这几年生活水平逐年得到提高；这几年生活水平逐年得到提高；(2)生活费收入指数增长最快的一年是生活费收入指数增长最快的一年是2008年；年；(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是生活价格指数上涨速度最快的一年是2009年；年；(4)虽然虽然2010年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活年生活费收入增长缓慢，但生活价格指
6、数也略有降低，因而生活水平有较大的改善水平有较大的改善A1B2C3 D4解析：解析：由题意知，由题意知，“生活费收入指数生活费收入指数”减去减去“生活价格指数生活价格指数”的差是逐年的差是逐年增大的，故增大的，故(1)(1)正确；正确；“生活费收入指数生活费收入指数”在在2008200820092009年最陡，故年最陡，故(2)(2)正正确；确；“生活价格指数生活价格指数”在在2009200920102010年最平缓，故年最平缓，故(3)(3)不正确；不正确；“生活价生活价格指数格指数”略呈下降，而略呈下降，而“生活费收入指数生活费收入指数”呈上升趋势，故呈上升趋势，故(4)(4)正确正确答案
7、：答案：C(1)讲课开始后讲课开始后5分钟与分钟与25分钟比较，何时学生的注意力更集中？分钟比较，何时学生的注意力更集中？(2)讲课开始后多少分钟，学生注意力最集中？能持续多少分钟？讲课开始后多少分钟，学生注意力最集中？能持续多少分钟？(3)一道数学难题，需要讲解一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？精解详析精解详析(1)(1)f f(5)(5)5 52 224245 5100100195195，f f(2
8、5)(25)7 72525380380205.205.讲课开始后讲课开始后2525分钟学生的注意力更集中分钟学生的注意力更集中(2)(2)当当00t t1010时，时，f f(t t)(t t12)12)2 2244244，此时，当此时，当t t1010时，时，f f(t t)maxmax240240；当当1010t t2020时，时，f f(t t)240240；当当2020t t4545时，时，f f(t t)maxmaxf f(20)(20)240.240.讲课开始后讲课开始后1010分钟到分钟到2020分钟，学生注意力最集中，分钟，学生注意力最集中，能持续能持续1010分钟分钟 一点通
9、一点通 分段函数与日常生活联系紧密，故常成为考查的热点分段函数与日常生活联系紧密，故常成为考查的热点.对对于分段函数，一定要注意对各个定义区间内的表达式进行分析，特别于分段函数，一定要注意对各个定义区间内的表达式进行分析，特别是区间的端点，以保证在各区间端点是区间的端点，以保证在各区间端点“不重不漏不重不漏”3已知已知A、B两地相距两地相距150千米，某人开汽车以千米，某人开汽车以60千千米米/时的速度从时的速度从A地到地到B地，在地，在B地停留地停留1小时后再以小时后再以50千米千米/时的速度时的速度返回返回A地地.(1)把汽车离开把汽车离开A地的距离地的距离x(千米千米)表示为时间表示为时
10、间t(小时小时)的函数；的函数；(2)求汽车行驶求汽车行驶5小时离小时离A地的距离地的距离4根据市场调查，某种新产品投放市场的根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每天内，每件的销售价格件的销售价格P(元元)与时间与时间t(天天)的关系如图所示，日销量的关系如图所示，日销量Q(件件)与时间与时间t(天天)之间的关系如表所示之间的关系如表所示t(天天)5152030Q(件件)35252010(1)根据图示，写出该产品每件的销售价格根据图示，写出该产品每件的销售价格P与时间与时间t的函数关系式；的函数关系式；(2)在所给的直角坐标系在所给的直角坐标系(图图2)中，根据表中提供的数据描出实数对
11、中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销量的对应点，并确定日销量Q与时间与时间t的一个函数关系式；的一个函数关系式；(3)在这在这30天内，哪一天的日销售金额最大？天内，哪一天的日销售金额最大？(日销售金额每件产品的销售日销售金额每件产品的销售价格价格日销量日销量)(2)描出实数对描出实数对(t，Q)的对应点，如图所示的对应点，如图所示 当当0t20时，时，ymax1 225，此时此时t5.当当20t30时，时，y1 000，所以第所以第5天日销售金额最大天日销售金额最大.一点通一点通 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据
12、实际根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小值等问单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小值等问题题5用长度为用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙加两道隔墙.要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长度为要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长度为()A3 mB4 mC5 m D6 m答案：答案：A6据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至吨至25吨时，
13、月生产总成本吨时，月生产总成本y(万元万元)可以看成月产量可以看成月产量x(吨吨)的二次函数；当月产量为的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为吨时，月总成本为20万元；当月产量为万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为吨时，月总成本最低为17.5万元，万元，且对应点为二次函数图像的顶点且对应点为二次函数图像的顶点(1)写出月总成本写出月总成本y(万元万元)关于月产量关于月产量x(吨吨)的函数关系式；的函数关系式；(2)已知该产品销售价为每吨已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？例例44(12(12分分)某个体经营者把开始
14、六个月试销某个体经营者把开始六个月试销A A、B B两种商品的逐月投资两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：金额与所获纯利润列成下表：投资投资A种商品金额种商品金额(万万元元)123456获纯利润获纯利润(万元万元)0.651.391.8521.841.40投资投资B种商品金额种商品金额(万万元元)123456获纯利润获纯利润(万元万元)0.300.590.881.201.511.79该经营者准备第七个月投入该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知万元经营这两种商品，但不知A，B两种商两种商品各投入多少万元才合算请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者品各投入多少万元才合
15、算请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润润(结果保留两位有效数字结果保留两位有效数字)精解详析精解详析 以投资额为横轴，纯利润为纵轴，在平面直角坐标系中画以投资额为横轴，纯利润为纵轴，在平面直角坐标系中画出图像，如图所示出图像，如图所示(4分分)由图可以看出，由图可以看出，A种商品所获纯利润种商品所获纯利润y与投资额与投资额x之间的变化规律可以用二之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟次函数模型进行模拟.(6分分)设设ya(x4)22，再把点，再把点(1,
16、0.65)代入，得代入，得065a(14)22，解得，解得a0.15，所以所以y0.15(x4)22.(8分分)B种商品所获纯利润种商品所获纯利润y与投资额与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟数模型进行模拟当当x3时，时，W取最大值，约为取最大值，约为4.55万元，万元，此时此时B商品的投资为商品的投资为9万元万元故该经营者下个月把故该经营者下个月把12万元中的万元中的3万元投资万元投资A种商品，种商品，9万元投资万元投资B种商种商品，可获得最大利润，约为品，可获得最大利润，约为4.55万元万元 (12分分)一点通一点通 解此类实际应
17、用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决解此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数，再利用函数解题函数拟合与预测的一般步骤是合函数，再利用函数解题函数拟合与预测的一般步骤是(1)根据原始数据、表格，绘出散点图根据原始数据、表格，绘出散点图(2)通过考察散点图，画出通过考察散点图，画出“最贴近最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线线(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式根据所学函数知识，求出拟合
18、直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据理提供依据7今有一组数据如下：今有一组数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01答案：答案：C8某地西红柿从某地西红柿从2月月1日起开始上市日起开始上市.通过市场调通过市场调查，得到西红柿种植成本查，得到西红柿种植成本Q(单位：元单位：元/102 kg)与上市时间与上市时间t(单位：单位：天天)的数据如下表：的数据如下表：时间时间t50110250种植成本种植成本Q150108150(1)根据上
19、表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上与上市时间市时间t的变化关系：的变化关系：Qatb；Qat2btc；Qabt；Qalogbt.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市时间及最低种植成利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市时间及最低种植成本本解：解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间与上市时间t的变化关系的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数的函数不可能是常数函数，从而用函数Qatb，Qabt，Qalogbt中的中的任意一个进行描述时都
20、应有任意一个进行描述时都应有a0，而上述三个函数均为单调函数，这与表格，而上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合所以，选取二次函数所提供的数据不吻合所以，选取二次函数Qat2btc进行描述进行描述将表格所提供的三组数据分别代入将表格所提供的三组数据分别代入Qat2btc，得，得函数应用题常见类型函数应用题常见类型(1)函数关系已知的应用题函数关系已知的应用题解函数关系已知的应用题的一般步骤是：解函数关系已知的应用题的一般步骤是：确定函数关系式确定函数关系式yf(x)中的参数，求出具体的函数解析式中的参数，求出具体的函数解析式yf(x)；建立函数模型建立函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型研究函数模型的性质研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解模型的解得出问题的结论得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解实际问题的解
