1、点到直线的距离点到直线的距离一、问题引入:问题问题 1 平行四边形的面积公式是什么？平行四边形的面积公式是什么？Oxy(1,3)A(3,2)B(6,1)C(2,4)D问题问题2 如图如何计算平如图如何计算平行四边形行四边形ABCD的面积？的面积？由两点间的距离公式可得由两点间的距离公式可得41A B 只要知道边上的高，即点（或点）到直线的距离，只要知道边上的高，即点（或点）到直线的距离，能求出四边形的面积能求出四边形的面积Oxy(1,3)A(3,2)B(2,4)D5x+4y-7=0如何计算点（，）到直线如何计算点（，）到直线AB:5x+4y-7=0的距离呢？的距离呢？过点作过点作，垂足，垂足
2、为，为，则点到直线的距离就则点到直线的距离就是线段的长是线段的长方法一：方法一：通过求点的坐标，通过求点的坐标，用两点间的距离公式求用两点间的距离公式求由由，可知所在直线的斜率为：，可知所在直线的斜率为：45求出的方程即求出的方程即4x-5y+12=0.3.由和所在直线的方程由和所在直线的方程 5x+4y-7=04x-5y+12=0得垂足的坐标得垂足的坐标1 38 8(,)4 14 1用两点间的距离公式，求出点到的距离用两点间的距离公式，求出点到的距离221 38 81 9(2)(4)4 14 14 1D E方法一的不足：方法一的不足：运算量较运算量较 大大下面我们通过构造三角形，下面我们通过
3、构造三角形，利用面积关系求出点到的距离利用面积关系求出点到的距离 Oxy9(,4)5M 3(2,)4N(2,4)DAB:5x+4y-7=0方法二：方法二：如图过点分别作轴如图过点分别作轴y轴的平行线轴的平行线交直线于点，我们通过计算交直线于点，我们通过计算的面积，求出的面积，求出.求出求出93(,4),(2,)54MN计算计算9193192,4.5544DMDN 由三角形面积公式得：由三角形面积公式得：221 91 91 954.1 91 94 1()()54D MD ND EMN于是求得平行四边形的面积为：于是求得平行四边形的面积为：1 94 11 9.4 1A BD E思考：思考：能否用一
4、般方法求出点到直线的距离吗？能否用一般方法求出点到直线的距离吗？过该点过该点(如图所示点如图所示点P)作直线作直线(图中图中L)的垂线，的垂线，点点P与垂足与垂足Q之间的线段之间的线段PQ长度长度.点到直线的距离是指点到直线的距离是指:LPQ什么是点到直线的距离？什么是点到直线的距离？二、知识新授:OyxlPQNl:Ax+By+C=0,AB0,外一点外一点P(x0,y0),M(x1,y0),(x0,y2),过过P作作PQl于于Q,过过P分别作分别作x轴、轴、y轴的平行线轴的平行线,交交l于于M(x1,y0),N(x0,y2),PM=|x1-x0|ACByAx|00PN=|y2-y0|BCByA
5、x|00PQ是是RtPMN斜边上的高，由三角形面积公式可知斜边上的高，由三角形面积公式可知220022|BACByAxPNPMPNPMMNPNPMPQOyxl:Ax+By+C=0P(x0,y0)2200BACByAxd 1.此公式的作用是求点到直线的距离；此公式的作用是求点到直线的距离；2.此公式是在此公式是在A、B0的前提下推导的；的前提下推导的；3.如果如果A=0或或B=0，此公式也成立；，此公式也成立；4.如果如果A=0或或B=0，一般不用此公式；，一般不用此公式；5.用此公式时直线要先化成一般式。用此公式时直线要先化成一般式。d点到直线的距离公式：点到直线的距离公式：例例1 求点求点P
6、(-1,2)到直线到直线2x+y-10=0；3x=2;2y+3=0的距离。的距离。解：解：根据点到直线的距离公式，得根据点到直线的距离公式，得 521210211222 d如图，直线如图，直线3x=2平行于平行于y 轴，轴，Oyxl:3x=2P(-1,2)35)1(32 d用公式验证，结果怎样？用公式验证，结果怎样？三、例题讲解:例例1 求点求点P(-1,2)到直线到直线2x+y-10=0；3x=2;2y+3=0的距离。的距离。解：解：如图，直线如图，直线2y+3=0平行于平行于x轴，轴，27)23(2d用公式验证，结果怎样？用公式验证，结果怎样？三、例题讲解:yOxl:2y+3=0P(-1,
7、2)例例2 求平行线求平行线2x-7y+8=0与与2x-7y-6=0的距离。的距离。Oyxl2:2x-7y-6=0l1:2x-7y+8=0 P(3,0)两平行线间的距离两平行线间的距离处处相等处处相等在在l2上任取一点，例如上任取一点，例如P(3,0)P到到l1的距离等于的距离等于l1与与l2的距离的距离5353145314)7(28073222 d直线到直线的距离转化为点到直线的距离直线到直线的距离转化为点到直线的距离Oyxl2l1PQ任意两条平行直线都可以写任意两条平行直线都可以写成如下形式：成如下形式：l1:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=0则两平行线则两平行线l1与与l2间
8、的距离为：间的距离为：2122CCdP QAB12()CC12()CC练习练习1.点点P(3,-2)到直线到直线 的距离为的距离为 02543:yxl2.两条平行线两条平行线 与与 间的距离是间的距离是 546yxxy23 3.直线经过原点，且点直线经过原点，且点M(5,0)到直线到直线 l 的距离的距离 等于等于3，求，求l 的方程的方程 6.求到直线求到直线l:x+y+4=0的距离为的距离为2的直线的直线 方程方程.3练习练习5直线直线l 过点（过点（1，2）且两点（）且两点（2，-3）,（4，-5）到）到l 的距离相等，求的距离相等，求l 的方程的方程建立适当坐标系证明建立适当坐标系证明
9、：等腰三角形底边上任意一点到两腰：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。的距离之和等于一腰上的高。例例3.证明证明:建立如图直角坐标系建立如图直角坐标系,设设P(x,0),x()OA(a,0)C(-a,0)B(0,b)xyEFP可求得可求得lAB:lCB:|PE|=|PF|=A到到BC的距离的距离h=因为因为|PE|+|PF|=h，所以原命题得证。，所以原命题得证。0 abaybx0 abaybx22baabbx 22baabbx aa,222baab 例例4、已知直线、已知直线 ，,且直线且直线 ，与，与 的距离为的距离为 ,与与 的距离为的距离为 ,1:7890lxy2:
10、7830lxyl1ll1l1dl2l2d且且 ,求直线求直线 的方程。的方程。1212ddl四、课堂小结:点点 到到 直直 线线 的的 距距 离离2200BACByAxd 2.如果如果A=0或或B=0，一般不用此公式；，一般不用此公式；1.用此公式时直线要先化成一般式。用此公式时直线要先化成一般式。l1:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=02212BACCd两平行线两平行线l l1 1与与l l2 2间的距离为间的距离为:四、课堂小结:例：例：ABC的一个顶点是的一个顶点是A（3，-1），），B,C的内角平分线所的内角平分线所在的直线方程分别为在的直线方程分别为x=0和和y=x,求顶点求顶点B、C坐标坐标。xyOxy 0 xA（3,-1）A1(-3,-1)A2(-1,3)B(0,5)C(-5,-5)y=2x+5五、作业布置:
