1、第2课时基本不等式的应用 张先生打算建造一个面积为张先生打算建造一个面积为6 0006 000平方米的矩形饲平方米的矩形饲养场，进行猪养殖，现在需要进行周边院墙的建养场，进行猪养殖，现在需要进行周边院墙的建设，经过计算，他的设，经过计算，他的儿子说建成正方形的儿子说建成正方形的院墙最省，而他认为院墙最省，而他认为建成长建成长300300米、宽米、宽200200米的矩形的院墙最米的矩形的院墙最省，你认为谁说的省，你认为谁说的对？要解决这个问题，对？要解决这个问题，可用基本不等式来解决，这一节我们就学习基本不等可用基本不等式来解决，这一节我们就学习基本不等式的有关应用式的有关应用.1.1.利用基本
2、不等式解决简单的最大值、最小值问题利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题.（重点）（重点）2.2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式会合理拆项或凑项，会应用基本不等式.（重点）（重点）3.3.会求给定条件的最值问题会求给定条件的最值问题.分析：分析：设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m，面积确定，则面积确定，则xy=100 xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2 2（x+yx+y）m.m.即求（即求（x+yx+y）的最小值）的最小值.例例1 (1)1 (1)用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为100 m100 m2 2的矩形菜的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各
3、为多少时，所用篱园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短笆最短.最短的篱笆是多少？最短的篱笆是多少？探究点探究点1 1 基本不等式在求最值中的应用基本不等式在求最值中的应用解：解：设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m，则则xy=100 xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2 2（x+yx+y）m.m.2xyxy因因为为，2 10020.xy所所以以2()40.xy则当且仅当当且仅当x=yx=y时等号成立，此时时等号成立，此时x=y=10.x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10 m10 m时，所用时，所用篱笆最短，最短篱笆是篱
4、笆最短，最短篱笆是40 m.40 m.结论结论1 1 两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值.当当xyxy的值是常数的值是常数 时，当且仅当时，当且仅当x=yx=y时，时，x+yx+y有最小值有最小值2.PP【提升总结提升总结】分析：分析：设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m，周长确定，则周长确定，则2 2（x+yx+y）=36=36，篱笆的面积为，篱笆的面积为xy mxy m2 2.即求即求xyxy的最大值的最大值.例例1 (2)1 (2)一段长为一段长为36 m36 m的篱笆围成一个矩形菜的篱笆围成一个矩形菜园园,问这个矩形的长、宽各为
5、多少时，菜园的面问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大积最大.最大面积是多少？最大面积是多少？解析：解析：设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m，则则 2(x+y)=36,x+y=182(x+y)=36,x+y=18，矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy mxy m2 2.18981.22xyxyxy因因为为，得得当且仅当当且仅当x=y=9x=y=9时，等号成立时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9 m9 m时，时，菜园的面积最大，最大面积是菜园的面积最大，最大面积是81 m81 m2 2.结论结论2 2 两个正数和为定值，则积
6、有最大值两个正数和为定值，则积有最大值.当当x+yx+y的值是常数的值是常数S S时，当且仅当时，当且仅当x=yx=y时，时，xyxy有最大值有最大值21.4S【提升总结提升总结】注意：注意：各项皆为正数；各项皆为正数；和为定值或积为定值；和为定值或积为定值；注意等号成立的条件注意等号成立的条件.一一“正正”，二二“定定”，三三“等等”.最值定理最值定理结论结论1 1 两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值.结论结论2 2 两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值.【变式练习变式练习】例例2 2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池某工厂要建造一个长方体
7、形无盖贮水池,其其容积为容积为4 800 m4 800 m3 3,深为深为3 m.3 m.如果池底每平方米的造如果池底每平方米的造价为价为150150元元,池壁每平方米的造价为池壁每平方米的造价为120120元元,怎样设怎样设计水池能使总造价最低计水池能使总造价最低?最低总造价是多少最低总造价是多少?分析：分析：水池呈长方体形，高为水池呈长方体形，高为3 m,3 m,底面的长与宽没有确定底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了，水如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了池总造价也就确定了.因此应因此应当考察底面的长与宽取什么值当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低时水池总造价最低.
8、,2 24 40 0 0 00 00 0+7 72 20 0(x x+y y)2 24 40 0 0 00 00 0+7 72 20 02 2 x xy y,即即z z2 24 40 0 0 00 00 0+7 72 20 02 2 1 1 6 60 00 0z z2 29 97 7 6 60 00 0.().xy=2 24 40 0 0 00 00 0+7 72 20 04800150120(2 32 3)3 zxy由容积为由容积为4 800 m4 800 m3 3 ，可得，可得3xy=4 800,3xy=4 800,因此因此xy=xy=1 600.1 600.由基本不等式与不等式的性质，可
9、得由基本不等式与不等式的性质，可得解：解：设底面的长为设底面的长为x m，宽为，宽为y m,水池总造水池总造价为价为z元，根据题意，有元，根据题意，有 所以，将水池的底面设计成边长为所以，将水池的底面设计成边长为40 m40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600297 600元元.【变式练习变式练习】C C13f(x)2x1(x0).x例求的最大值为条应负数转为数1 1x0,所x0,所以以2x0,0,不2x0,0,不符符合合基基本本不不等等式式x x的的件件.故.故把把分分因因化化：正正析析.1.1.化正型化正型探究点探究点2 2 基本不等式在求
10、最大、最小值中的应用基本不等式在求最大、最小值中的应用1212且且-2x=-,即-2x=-,即x=-,取x=-,取等等.x2x2f(x)的f(x)的最最大大值值-2 2-1.-2 2-1.当仅当时号为1 1所所以以f f(x x)=2 2x x+-1 1-2 2 2 2-1 1.x x1 10,所0,-0.-2x0,-0.x x1111所所以以（-2x)+(-)2 2.所-2x)+(-)2 2.所以以2x+-2 2.2x+-2 2.xxxx解解：因因x x为 特别提醒：特别提醒：如果所求因式都是负数，通常如果所求因式都是负数，通常采用添负号变为正数的处理方法采用添负号变为正数的处理方法.关注因
11、式是关注因式是负数负数解解:因为因为 x 0.11()()2()()2xxxx 当且仅当当且仅当 时时,即即 x=-1时取等号时取等号,所以所以当当 x=-1时时,的值最大的值最大,最大值为最大值为-2.1xx 1xx 211()()xxxx 故 x 3,所x3,所以以x-30,0.x-30,0.x-3x-3111111所所以以y=x+=x-3+32(x-3)y=x+=x-3+32(x-3)+3=2+3=5,+3=2+3=5,x-3x-3x-3x-3x-3x-31 1且且x-3=,即x-3=,即x=4,yy=5.x=4,yy=5.x-x-:因因解解3 32.2.凑定型凑定型(1)(1)构造积为
12、定值，利用基本不等式求最值构造积为定值，利用基本不等式求最值.(2)(2)构造和为定值，利用基本不等式求最值构造和为定值，利用基本不等式求最值.150 x,yx(1 3x).3例已知求函数的最大值为x+(1-3x)不x+(1-3x)不是是定定值值，3x+(1-3x)3x+(1-3x)分分析析：定定值值.为2 21 10 x,所0 x0.1-3x0.3 311 3x+1-3x111 3x+1-3x1所所以以y=x(1-3x)=y=x(1-3x)=3x(1-3x)()=.3x(1-3x)()=.3232因因解解：3123123 3x x=1 1-3 3x x1x6m ax1yy.12有有 最最 大
13、大 值值，当且仅当当且仅当，即，即时，时，合理地拆分转化，构造合理地拆分转化，构造和为定值和为定值或或积为定积为定值，并值，并利用基本不等式的条件来求解，是解决利用基本不等式的条件来求解，是解决此类问题的关键此类问题的关键.【提升总结提升总结】11100.111111112(1)1211.1，所所以以，所所以以为为解解：因因xxxxxxxxx 当且仅当当且仅当 11,1xx 即即 0 x 时，时，11xx有最小值有最小值1.1.若若 则则 为何值时为何值时 11xx 有最小值，最小值为多少？有最小值，最小值为多少？1,x x【即时练习即时练习】1 11 1所所 以以x xy y,即即2 22
14、2.x xy y2 22 2为1=2x+y21=2x+y2解解：因因2xy,2xy,1 11 11 1所所以以+2 22 22 2 2 2=4 4 2 2.x xy yx xy y即即 的最小值为的最小值为11xy42.11xy 例例6 6 已知已知x0,y0,x0,y0,且且2x+y=1,2x+y=1,求求 的最小值的最小值.3.3.整体代换型整体代换型这个解法这个解法正确吗？正确吗？不正确不正确.过程中两次运用了基本不等式中取过程中两次运用了基本不等式中取“=”过渡，过渡，而这两次取而这两次取“=”的条件是不同的，故结果错误的条件是不同的，故结果错误.21xy 11 xy1=2,xy 11
15、f(x)xy分析：分析：本题给定约束条件本题给定约束条件，来求，来求注意到注意到故可以采用对目标函数故可以采用对目标函数乘乘“1 1”构造使用基本不等式的条件构造使用基本不等式的条件.的最小值的最小值,令112x+y2x+y112x+y2x+y+=+=+xyxyxyxyy2xy2x=3=3f（f（x）x）+3+2 2,+3+2 2,xyxy解解:=正确解答正确解答:当且仅当当且仅当2,yxxy 即即2yx 时取时取“=”号号.2-2,2,221.2-1,而xyxxyy 即此时即此时min11()322.xy 对于给定条件求最值的问题，常可采用乘对于给定条件求最值的问题，常可采用乘“1”1”变换
16、的方法，创造使用基本不等式的条件变换的方法，创造使用基本不等式的条件.【提升总结提升总结】已已知知且且求求的的最最小小值值190,0,1,.xyxyxy199xy199xy(x+y)(+)=10+(x+y)(+)=10+xyyxyy解解：x x9 9x x y y1 10 0+2 2.=1 16 6.y yx x9 9x xy y=，y yx x且且等等成成立立,1 19 9+=1 1x xy y当仅当时号x=4,x=4,即即,y=12y=12时取取得得最最小小值值1 16 6.xy【变式练习变式练习】范围是（范围是（）D D1.（2013福建高考）福建高考）若若221,则则的的取取值值xyx
17、y0,22,0 2,)(,2 ABCDC C4 43 2把握基本不等式成立的三个条件：把握基本不等式成立的三个条件：1.1.不具备不具备“正值正值”条件时，需将其转化为正值条件时，需将其转化为正值.2.2.不具备不具备“定值定值”条件时，需构造定值条件条件时，需构造定值条件.（构造：互为相反数、互为倒数）（构造：互为相反数、互为倒数）3.3.不具备不具备“相等相等”条件时，需进行适当变形或利条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域用函数单调性求值域.预备十二分的力量，才能希望有十分的成功。张太雷团Tiffany，a 16yearold girl，was very shy.Last Sept
18、ember，her best frien“I was really sad the moment I heard the bad news and I didnt know what to do，”Tiffany recalled.“I shut myself in my room for a whole week.It was then that my aunt took me to a sports club one Saturday and I saw so many young people playing different kinds of sports there.I signe
19、d up for a beginners course in volleyball and since then I have been playing this sport.Now I practice twice a week there.It is wonderful playing sports in this club and I have made lots of friends as well.2 ”The most basic aim of playing sports is that you can improve your health even if you are no
20、t very good at sports.Besides，you can get to know a circle of people at your age while playing sports.3 Since she joined the sports club，s I got used to the life here.And now I know lots of(5)_ here.For example,when I meet my friend on the street,I usually(6)_ him like this,“Hey,where are you going?
21、”In our country if someone asks this,people may get(7)_ but in this country people wont.Of course,there are some other interesting things here.Ill tell you about them next time.he has opened up herself and now she has become very active and enjoys meeting and talking with others.1Its polite for girl
22、s to kiss each other on the side of the face.s also become more confident.团圆圆一家在台湾可受欢迎了。每天，小朋友们排着长队，等着跟它们合影留念。从“排着长队”体现出每天喜欢它们的人不计其数，特别受选D.A.根据同类项合并法则,与不是同类项,不能合并,故本选项错误;B.根据算术平方根的定义,=3,故本选项错误;C.根据同底数幂的乘法aa2=a3,故本选项错误;D.根据积的乘方,(2a3)2=4a6,故本选项正确.欢迎。从“合影留念”体现出大家都想和大熊猫留住最美丽的瞬间以作纪念。Nothing can be accomplished without norms or standards.精品资料！感谢阅读下载！
