1、回顾旧知回顾旧知1.二维形式的柯西不等式的代数形式二维形式的柯西不等式的代数形式?若若a,b,c,d都是实数，都是实数，则则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当当且仅当ad=bc时，等时，等号成立号成立.bdacdcba 2222)1(bdacdcba 2222)2(23()()()(,abcdacbda b c d（）为 非 负 实 数）)adbc（)adbc（|)adbc（2、二维形式的柯西不等式的变式（推论）、二维形式的柯西不等式的变式（推论）:3.二维形式的柯西不等式的向量形式？二维形式的柯西不等式的向量形式？，当且仅当，当且仅当是零向量，或是零向量，或存在实数存在实
2、数k，使，使=k时，等号成立时，等号成立.2222112211222212121221124.()()()()().xyxyRxyxyxxyyx yxyxx 二二 维维 形形 式式 的的 三三 角角 不不 等等 式式 设设，那那 么么当当 且且 仅仅 当当，且且、异异 号号 或或 至至 少少 有有 一一 个个 为为 零零 时时，等等 号号 成成 立立.,|设设,为为平平面面上上的的两两个个向向量量 则则 类比二维类比二维从三维的角度思考问题，关于柯西不等式会从三维的角度思考问题，关于柯西不等式会有什么结论（结合图像）？有什么结论（结合图像）？思考思考0 xzy 123,aaa 123,bbb
3、0 xy,a b,c d 观察图，从平面向量的集合背景可以得到二维形式的柯西观察图，从平面向量的集合背景可以得到二维形式的柯西不等式不等式.类似地，从空间向量的集合背景也可以得到类似地，从空间向量的集合背景也可以得到 将空间向量的坐标代入，化简得将空间向量的坐标代入，化简得(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)(a1b1+a2b2+a3b3)2，当且仅当，当且仅当 ，共共线时，即线时，即 =.或存在一个数或存在一个数k,使得使得ai=kbi(i=1,2,3)时，等号成时，等号成立立.|0 0 探究探究 对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能
4、猜想出一般形式的柯西不等式吗？能猜想出一般形式的柯西不等式吗？(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)(a1b1+a2b2+a3b3)2(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2柯西不等式的一般形式为柯西不等式的一般形式为(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2（2）猜猜 想想分分 析析如果设如果设A=a12+a22+an2,B=a1b1+a2b2+anbn,C=b12+b22+bn2,不等式不等式(2)就是就是ACB2.这正好与二次函数这正好与二次函数 的判别式的判别式 .密切相关。所以我们可以构造二次函数，密切相关。所以我们可以构
5、造二次函数，通过讨论相应的判别式来证明通过讨论相应的判别式来证明.2()A2BCA0f xxx（）24B4A C证证 明明当当a1=a2=an=0或或b1=b2=bn=0时，时，(2)式显然成立式显然成立.设设a1,a2,an中至少有一个不为中至少有一个不为0，则，则a12+a22+an20.)()(2)()(222212211222221nnnnbbbxbababaxaaaxf 构构造造二二次次函函数数于是于是(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2,当当且仅当且仅当f(x)有唯一零点时，判别式有唯一零点时，判别式=0，以上不等式取，以上不等式取
6、等号等号.因为对于任意实数因为对于任意实数x，f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(anx+bn)20,此时，有唯一实数此时，有唯一实数x，使，使若若x=0，则，则b1=b2=bn=0,(2)式成立；若式成立；若x0，则，则有有 ，总之，当且仅，总之，当且仅当当bi=0(i=1,2,n)或或ai=kbi(i=1,2,n)时，等号成立时，等号成立.1 iiabx(+=01,2,).iia xbin定理（一般形式的柯西不等式）定理（一般形式的柯西不等式）设设a1,a2,an,b1,b2,bn都是实数，则都是实数，则(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b
7、2+anbn)2,当且当且仅当仅当bi=0(i=1,2,n)或存在一个数或存在一个数k，使得，使得ai=kbi(i=1,2,n）时，等号成立时，等号成立.例例1 1222221212,1.nnnaaaaaaaaan 已已 知知，.,为为 实实 数数，试试 证证：分析分析 用用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式符合柯西不等式的形式.根据柯西不等式，有根据柯西不等式，有(12+12+12)(a12+a22+an2)(1a1+1a2+1an)2,所以所以n(a12+a22+an2)(a1+a2+an)2即即证证 明明 222212121.nna
8、aaaaan 例例2已知已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明是不全相等的正数，证明a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.分析分析 上式两边都是上式两边都是a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明进行证明.证证 明明 222222222abcdbcdaabccdda 根根 据据 柯柯 西西 不不 等等 式式，有有 2222222222,a b c dabcdbcdaabcdabbccddaabcdabbccdda 因因 为为是是 不不 全全 相相 等等 的
9、的 正正 数数，所所 以以 等等 式式不不 成成 立立，所所 以以即即例例3分析分析 由由x+2y+3z=1以及以及 的形式，联系柯西不等式，可的形式，联系柯西不等式，可以通过构造（以通过构造（）作为一个因式而解决问题）作为一个因式而解决问题.已知已知x+2y+3z=1以及以及 x2+y2+z2 的最小值的最小值.222xyz222123 2222222123231,xyzxyz 根根 据据 柯柯 西西 不不 等等 式式，得得解：2222221,14123113.,14714xyzxyzxyzxyz 所所 以以当当 且且 仅仅 当当即即时时，取取 最最 小小 值值1.1.一般形式的柯西不等式一
10、般形式的柯西不等式:设设a1,a2,an,b1,b2,bn都是实数，则都是实数，则(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2,当且仅当当且仅当bi=0(i=1,2,n)或存或存在一个数在一个数k，使得，使得ai=kbi(i=1,2,n）时，等号成立）时，等号成立.2.一般形式的柯西不等式的应用一般形式的柯西不等式的应用.对于许多不等式问题，应用柯西不等式往往简明。掌握对于许多不等式问题，应用柯西不等式往往简明。掌握柯西不等式的结构特点，灵活应用柯西不等式的结构特点，灵活应用.人之为学有难易乎？学之，则难者亦易也；不学，则易人之为学有难易乎？学之，则难
11、者亦易也；不学，则易者亦难矣！者亦难矣！排序不等式，又称排序原理:设1a 2a3a na,1b 2b 3b nb 为两组实数,若123,ccc,nc 是123,b bb,nb 的任意一个排列,则和1122nnSa ca ca c称为数组(123,aaa,na)和(123,b bb,nb)的乱序和,其中按相反顺序相乘所得积的和11211nnnSa ba ba b 称为反序和.按相同顺序相乘所得积的和21122nnSa ba ba b称为顺序和.则1 12 21 12 21211n nn nnnnab ababacacacababab ,即反序和乱序和顺序和.等号当且仅当12naaa或12bb nb 时成立.对 应 关 系和备注（1,2,3）（25,30,45）1112233220Sa ba ba b顺序和（1,2,3）（25,45,30）2112332205Sa ba ba b乱序和（1,2,3）（30,25,45）3122133215Sa ba ba b乱序和（1,2,3）（30,45,25）4122331195Sa ba ba b乱序和（1,2,3）（45,25,30）5132132185Sa ba ba b乱序和（1,2,3）（45,30,25）6132231180Sa ba ba b反序和
