1、章末归纳总结章末归纳总结1空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广2ab0ab是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题4直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以来确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题5用空间向量判断空间中的
2、位置关系的常用方法(1)线线平行证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量是共线向量(2)线线垂直证明两条直线平行，只需证明两直线的方向向量垂直，即abab0.(3)线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量，利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量(4)线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：证明直线方向向量与平面法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题(5)面面平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题(6)面面垂直证明两个平
3、面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题6运用空间向量求空间角(1)求两异面直线所成角(2)求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角.即可求出直线与平面所成的角其关系是sin|cos|.(3)求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补7运用空间向量求空间距离
4、空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离(1)点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模(2)点与面的距离点面距离的求解步骤是：求出该平面的一个法向量；求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离一、空间向量的概念与计算空间向量有关概念的辨析题、空间向量中的所有概念都是严密、精练、准确的，在做辨析题时往往改变、缺失概念中的某些条件或者忽略概念规定的特殊情况，所以对基本概念的理解要做到全面、准确、深入若ab0，a，b是钝角；若a是直线l的方向向量，则a(R)也是
5、l的方向向量；非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面其中错误命题的个数是()A1B2C3D4答案D二、空间向量的线性运算二、空间向量的线性运算向量共线与向量共面的概念，共线向量定理与共面向量向量共线与向量共面的概念，共线向量定理与共面向量定理，是解决向量问题和用向量解决立体几何问题的基本定理，是解决向量问题和用向量解决立体几何问题的基本依据，讨论三点共线、直线平行、四点共面、向量共面、依据，讨论三点共线、直线平行、四点共面、向量共面、线面平行等等都需要运用这两个基本原理线面平行等等都需要运用这两个基本原理答案D三、利用空间向量解决平行与垂直问题利用向量可以
6、解决空间中的平行与垂直关系，是高考的重点题型，有些问题中的线面平行与垂直关系使用向量会变得很简捷，将几何证明与计算转化为纯代数运算，也使问题得以简化例4如下图，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E2E1B，BF2FA1.(1)求证：直线EFAC1；(2)若EF是两异面直线B1D1，A1B的公垂线，求证：该长方体为正方体化简，得a2b2c2，abc.所以该长方体为正方体四、利用空间向量求角度与距离问题利用向量求空间中的夹角及距离问题是高考的重点解题的关键是会找直线的方向向量及平面的法向量，并用它们表示空间中的角及距离，所有空间距离问题用向量求时，
7、有着相同的表现形式应加强理解与掌握，求角时，要弄清向量夹角与所求角的关系例5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AA1、AB的中点，求EF和平面ACC1A1所成角的大小解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，E、F是AA1、AB的中点，E(2,0,1)，F(2,1,0)例6如图所示，已知ABCD是正方形，过A作AP平面ABCD，且APABa，M，N分别为BP、AC的中点(1)求证MNCD；(2)求二面角MBNC的大小例7如图所示，在长方体OABCO1A1B1C1中，OA2，AB3，AA12，E是BC的中点(1)求直线AO1与B1E所成角的大小；(2)作O1DAC于D，求点O1到点D的距离解析如图所示，建立空间直角坐标系(1)由题设知，A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)
