1、2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编二、 四边形中的计算和证明综合题1.（2020安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AEADEC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AFAB（1）求证：BDEC；（2）若AB1，求AE的长；（3）如图2，连接AG，求证：EGDG=2AG【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，EAFDAB90，又AEAD，AFAB，AEFADB（SAS），AEFADB，GEB+GBEADB+ABD90，即EGB90，故BDEC，（2）解：四边形ABCD是矩形，AECD，AEFDCF，EAFCDF，AEFDCF，A
2、EDC=AFDF，即AEDFAFDC，设AEADa（a0），则有a（a1）1，化简得a2a10，解得a=1+52或1-52（舍去），AE=1+52（3）如图，在线段EG上取点P，使得EPDG，在AEP与ADG中，AEAD，AEPADG，EPDG，AEPADG（SAS），APAG，EAPDAG，PAGPAD+DAGPAD+EAPDAE90，PAG为等腰直角三角形，EGDGEGEPPG=2AG2.（2020黑龙江七台河）以RtABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AMBC于M，延长MA交EG于点N（1）如图，若BAC90，ABAC，易证：ENGN；（2
3、）如图，BAC90；如图，BAC90，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由【解答】解：（1）证明：BAC90，ABAC，ACB45，AMBC，MAC45，EANMAC45，同理NAG45，EANNAG，四边形ABDE和四边形ACFG为正方形，AEABACAG，ENGN（2）如图1，BAC90时，（1）中结论成立理由：过点E作EPAN交AN的延长线于P，过点G作GQAM于Q，四边形ABDE是正方形，ABAE，BAE90，EAP+BAM1809090，AMBC，ABM+BAM90，ABMEAP，在ABM和EAP中，ABM=EAPAMB=P=90A
4、B=AE，ABMEAP（AAS），EPAM，同理可得：GQAM，EPGQ，在EPN和GQN中，P=NQGENP=GNQEP=GQ，EPNGQN（AAS），ENNG如图2，BAC90时，（1）中结论成立理由：过点E作EPAN交AN的延长线于P，过点G作GQAM于Q，四边形ABDE是正方形，ABAE，BAE90，EAP+BAM1809090，AMBC，ABM+BAM90，ABMEAP，在ABM和EAP中，ABM=EAPAMB=P=90AB=AE，ABMEAP（AAS），EPAM，同理可得：GQAM，EPGQ，在EPN和GQN中，P=NQGENP=GNQEP=GQ，EPNGQN（AAS），ENNG3
5、.（2020黑龙江绥化）如图，在正方形ABCD中，AB4，点G在边BC上，连接AG，作DEAG于点E，BFAG于点F，连接BE、DF，设EDF，EBF，BGBC=k（1）求证：AEBF；（2）求证：tanktan；（3）若点G从点B沿BC边运动至点C停止，求点E，F所经过的路径与边AB围成的图形的面积【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，ABBCAD，BADABC90，DEAG，BFAG，AEDBFA90，ADE+DAE90，BAF+DAE90，ADEBAF，ABFDAE（AAS），AEBF；（2）在RtDEF和RtEFB中，tan=EFDE，tan=EFBF，tantan=EFDEBF
6、EF=BFDE由可知ADEBAG，AEDGBA90，AEDGBA，AEGB=DEAB，由可知，AEBF，BFGB=DEAB，BFDE=GBAB，BGBC=k，ABBC，BFDE=BGAB=BGBC=k，tantan=ktanktan（3）DEAG，BFAG，AEDBFA90，当点G从点B沿BC边运动至点C停止时，点E经过的路径是以AD为直径，圆心角为90的圆弧，同理可得点F经过的路径，两弧交于正方形的中心点O，如图ABAD4，所围成的图形的面积为SSAOB=144444.（2020湖南长沙）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F（1）求证：ABFF
7、CE；（2）若AB23，AD4，求EC的长；（3）若AEDE2EC，记BAF，FAE，求tan+tan的值【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，BCD90，由翻折可知，DAFE90，AFB+EFC90，EFC+CEF90，AFBFEC，ABFFCE（2）设ECx，由翻折可知，ADAF4，BF=AF2-AB2=16-12=2，CFBCBF2，ABFFCE，ABCF=BFEC，232=2x，x=233，EC=233（3）ABFFCE，AFEF=ABCF，tan+tan=BFAB+EFAF=BFAB+CFAB=BF+CFAB=BCAB，设ABCDa，BCADb，DEx，AEDE+2CEx+2（a
8、x）2ax，ADAFb，DEEFx，BCD90，BF=b2-a2，CF=x2-(a-x)2=2ax-a2，AD2+DE2AE2，b2+x2（2ax）2，a2ax=14b2，ABFFCE，ABCF=BFEC，ax2-(a-x)2=b2-a2a-x，a2ax=b2-a22ax-a2，14b2=b2-a2a2-12b2，整理得，16a424a2b2+9b40，（4a23b2）20，ba=233，tan+tan=BCAB=2335.（2020江苏连云港）（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EFBC，分别交AB、CD于点E、F若BE2，PF6，AEP的面积为S1，CFP的面积为S2
9、，则S1+S212；（2）如图2，点P为ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S2S1），求PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（3）如图3，点P为ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EFAD，HGAB，与各边分别相交于点E、F、G、H设四边形AEPH的面积为S1，四边形PGCF的面积为S2（其中S2S1），求PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（4）如图4，点A、B、C、D把O四等分请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD上），设PB、PC、BC围成的封闭图形的面积为S1，PA、PD
10、、AD围成的封闭图形的面积为S2，PBD的面积为S3，PAC的面积为S4，根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S1、S2、S3、S4的等式（写出一种情况即可）【解答】解：（1）如图1中，过点P作PMAD于M，交BC于N四边形ABCD是矩形，EFBC，四边形AEPM，四边形MPFD，四边形BNPE，四边形PNCF都是矩形，BEPNCF2，SPFC=12PFCF6，SAEPSAPM，SPEBSPBN，SPDMSPFD，SPCNSPCF，SABDSBCD，S矩形AEPMS矩形PNCF，S1S26，S1+S212，故答案为12（2）如图2中，连接PA，PC，在APB中，点E是AB的中点，可设SAPE
11、SPBEa，同理，SAPHSPDHb，SPDGSPGCc，SPFCSPBFd，S四边形AEPH+S四边形PFCGa+b+c+d，S四边形PEBF+S四边形PHDGa+b+c+d，S四边形AEPH+S四边形PFCGS四边形PEBF+S四边形PHDGS1+S2，SABD=12S平行四边形ABCDS1+S2，SPBDSABD（S1+SPBE+SPHD）S1+S2（S1+a+S1a）S2S1（3）如图3中，由题意四边形EBGP，四边形HPFD都是平行四边形，S四边形EBGP2SEBP，S四边形HPFD2SHPD，SABD=12S平行四边形ABCD=12（S1+S2+2SEBP+2SHPD）=12（S1
12、+S2）+SEBP+SHPD，SPBDSABD（S1+SEBP+SHPD）=12（S2S1）（4）如图41中，结论：S2S1S3+S4理由：设线段PB，线段PA，弧AB围成的封闭图形的面积为x，线段PC，线段PD，弧CD的封闭图形的面积为y由题意：S1+x+S4S1+y+S3，xyS3S4，S1+S2+x+y2（S1+x+S4），S2S1xy+2S4S3+S4同法可证：图42中，有结论：S1S2=S3+S4图43中和图44中，有结论：|S1S2|S3S4|6.（2020江苏苏州）问题1：如图，在四边形ABCD中，BC90，P是BC上一点，PAPD，APD90求证：AB+CDBC问题2：如图，在
13、四边形ABCD中，BC45，P是BC上一点，PAPD，APD90求AB+CDBC的值【解答】证明：（1）BAPD90，BAP+APB90，APB+DPC90，BAPDPC，又PAPD，BC90，BAPCPD（AAS），BPCD，ABPC，BCBP+PCAB+CD；（2）如图2，过点A作AEBC于E，过点D作DFBC于F，由（1）可知，EFAE+DF，BC45，AEBC，DFBC，BBAE45，CCDF45，BEAE，CFDF，AB=2AE，CD=2DF，BCBE+EF+CF2（AE+DF），AB+CDBC=2(AE+DF)2(AE+DF)=227.（2020江苏泰州）如图，正方形ABCD的边长
14、为6，M为AB的中点，MBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD、BC相交于点F、G，点P、Q分别在线段EF、BC上运动，且满足PMQ60，连接PQ（1）求证：MEPMBQ（2）当点Q在线段GC上时，试判断PF+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由（3）设QMB，点B关于QM的对称点为B，若点B落在MPQ的内部，试写出的范围，并说明理由【解答】证明：（1）正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，AABC90，ABBC6，AMBM3，MBE是等边三角形，MBMEBE，BMEPMQ60，BMQPME，又ABCMEP90，MBQMEP（ASA）；（2）PF+GQ的值
15、不变，理由如下：如图1，连接MG，过点F作FHBC于H，MEMB，MGMG，RtMBGRtMEG（HL），BGGE，BMGEMG30，BGMEGM，MB=3BG3，BGMEGM60，GE=3，FGH60，FHBC，CD90，四边形DCHF是矩形，FHCD6，sinFGH=FHGF=32=6FG，FG43，MBQMEP，BQPE，PEBQBG+GQ，FGEG+PE+FPEG+BG+GQ+PF23+GQ+PF，GQ+PF23；（3）如图2，当点B落在PQ上时，MBQMEP，MQMP，QMP60，MPQ是等边三角形，当点B落在PQ上时，点B关于QM的对称点为B，MBQMBQ，MBQMBQ90QME3
16、0点B与点E重合，点Q与点G重合，QMBQMB30，如图3，当点B落在MP上时，同理可求：QMBQMB60，当3060时，点B落在MPQ的内部8.（2020江苏无锡）如图，在矩形ABCD中，AB2，AD1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S（1）若DE=33，求S的值；（2）设DEx，求S关于x的函数表达式【解答】解：（1）当DE=33，AD1，tanAED=3，AE=233，AED60，ABCD，BAE60，四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，AECAEM，PECDE
17、M，AEPAED60，APE为等边三角形，S=34（233）2+12331=32；（2）过E作EFAB于F，由（1）可知，AEPAEDPEA，APPE，设APPEa，AFEDx，则PFax，EFAD1，在RtPEF中，（ax）2+1a2，解得：a=x2+12x，S=12x1+12x2+12x1=12x+x2+14x9.（2020辽宁营口）如图，在矩形ABCD中，ADkAB（k0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AFAE交射线DC于点F（1）如图1，若k1，则AF与AE之间的数量关系是AFAE；（2）如图2，若k1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的
18、式子表示）（3）若AD2AB4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF1时，求EG的长【解答】解：（1）AEAFADAB，四边形ABCD矩形，四边形ABCD是正方形，BAD90，AFAE，EAF90，EABFAD，EABFAD（AAS），AFAE；故答案为：AFAE（2）AFkAE证明：四边形ABCD是矩形，BADABCADF90，FAD+FAB90，AFAE，EAF90，EAB+FAB90，EABFAD，ABE+ABC180，ABE180ABC1809090，ABEADFABEADF，ABAD=AEAF，ADkAB，ABAD=1k，AEAF=1k，AFkAE（3）解：如图1，当点F在DA上时
19、，四边形ABCD是矩形，ABCD，ABCD，AD2AB4，AB2，CD2，CF1，DFCDCF211在RtADF中，ADF90，AF=AD2+DF2=42+12=17，DFAB，GDFGBA，GFDGAB，GDFGBA，GFGA=DFBA=12，AFGF+AG，AG=23AF=2317ABEADF，AEAF=ABAD=24=12，AE=12AF=1217=172在RtEAG中，EAG90，EG=AE2+AG2=(172)2+(2173)2=5176，如图2，当点F在DC的延长线上时，DFCD+CF2+13，在RtADF中，ADF90，AF=AD2+DF2=42+32=5DFAB，GABGFD，
20、GBAGDF，AGBFGD，AGFG=ABFD=23，GF+AGAF5，AG2，ABEADF，AEAF=ABAD=24=12，AE=12AF=125=52，在RtEAG中，EAG90，EG=AE2+AG2=(52)2+22=412综上所述，EG的长为5176或41210.（2020山东菏泽）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OAOC，OBOD+CD（1）过点A作AEDC交BD于点E，求证：AEBE；（2）如图2，将ABD沿AB翻折得到ABD求证：BDCD；若ADBC，求证：CD22ODBD【解答】（1）证明：AEDC，CDOAEO，EAODCO，又OAOC，AOECOD（AA
21、S），CDAE，ODOE，OBOE+BE，OBOD+CD，BECD，AEBE；（2）证明：如图1，过点A作AEDC交BD于点E，由（1）可知AOECOD，AEBE，ABEAEB，将ABD沿AB翻折得到ABD，ABDABD，ABDBAE，BDAE，又AECDBDCD证明：如图2，过点A作AEDC交BD于点E，延长AE交BC于点F，ADBC，BDAE，四边形ADBF为平行四边形DAFB，将ABD沿AB翻折得到ABDDADB，AFBADB，又AEDBEF，AEDBEF，AEDE=BEEF，AECD，CDDE=BEEF，EFCD，BEFBDC，BEEF=BDDC，CDDE=BDCD，CD2DEBD，A
22、OECOD，ODOE，DE2OD，CD22ODBD11.（2020山东济宁）如图，在菱形ABCD中，ABAC，点E，F，G分别在边BC，CD上，BECG，AF平分EAG，点H是线段AF上一动点（与点A不重合）（1）求证：AEHAGH；（2）当AB12，BE4时求DGH周长的最小值；若点O是AC的中点，是否存在直线OH将ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1：3若存在，请求出AHAF的值；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，ABBC，ABAC，ABBCAC，ABC是等边三角形，ABC60，BCD120，AC是菱形ABCD的对角线，ACD=1
23、2BCD60ABC，BECG，ABEACG（SAS），AEAG，AF平分EAG，EAFGAF，AHAH，AEHAGH（SAS）；（2）如图1，过点D作DMBC交BC的延长线于M，连接DE，AB12，BE4，CG4，CEDG1248，由（1）知，AEHAGH，EHHG，lDGHDH+GH+DGDH+HE+8，要是AEH的周长最小，则EH+DH最小，最小为DE，在RtDCM中，DCM18012060，CDAB12，CM6，DM=3CM63，在RtDME中，EMCE+CM14，根据勾股定理得，DE=EM2+DM2=142+(63)2=251，DGH周长的最小值为251+8；、当OH与线段AE相交时，
24、交点记作点N，如图2，连接CN，点O是AC的中点，SAONSCON=12SACN，三角形的面积与四边形的面积比为1：3，SAONSAEC=14，SCENSACN，ANEN，点O是AC的中点，ONCE，AHAF=12；、当OH与线段CE相交时，交点记作Q，如图3，连接AQ，FG，点O是AC的中点，SAOQSCOQ=12SACQ，三角形的面积与四边形的面积比为1：3，SCOQSACE=14，SAEQSACQ，CQEQ=12CE=12（124）4，点O是AC的中点，OQAE，设FQx，EFEQ+FQ4+x，CFCQFQ4x，由（1）知，AEAG，AF是EAG的角平分线，EAFGAF，AFAF，AEF
25、AGF（SAS），FGEF4+x，过点G作GPBC交BC的延长线于P，在RtCPG中，PCG60，CG4，CP=12CG2，PG=3CP23，PFCF+CP4x+26x，在RtFPG中，根据勾股定理得，PF2+PG2FG2，（6x）2+（23）2（4+x）2，x=85，FQ=85，EF4+85=285，OQAE，AHAF=EQEF=4285=57，即AHAF的值为12或57 12.（2020四川南充）如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON（1）求证：AMBN（2）请判定OMN的形状，并说明理
26、由（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AKx，OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且OMN的面积为110，请直接写出AK长【解答】证明：（1）四边形ABCD是正方形，ABBC，ABC90，ABM+CBM90，AMBM，CNBN，AMBBNC90，MAB+MBA90，MABCBM，ABMBCN（AAS），AMBN；（2）OMN是等腰直角三角形，理由如下：如图，连接OB，点O是正方形ABCD的中心，OAOB，OBAOAB45OBC，AOBO，MABCBM，MABOABCBMOBC，MAONBO，又AMBN，OAOB，AOMBON（SAS），M
27、ONO，AOMBON，AON+BON90，AON+AOM90，MON90，MON是等腰直角三角形；（3）在RtABK中，BK=AK2+AB2=x2+1，SABK=12AKAB=12BKAM，AM=AKABBK=xx2+1，BNAM=xx2+1，cosABK=BMAB=ABBK，BM=ABABBK=1x2+1，MNBMBN=1-xx2+1SOMN=14MN2=(1-x)24x2+4，y=x2-2x+14x2+4（0x1）；当点K在线段AD上时，则110=x2-2x+14x2+4，解得：x13（不合题意舍去），x2=13，当点K在线段AD的延长线时，同理可求y=x2-2x+14x2+4（x1），1
28、10=x2-2x+14x2+4，解得：x13，x2=13（不合题意舍去），综上所述：AK的值为3或13时，OMN的面积为11013.（2020浙江杭州）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F设CEEB=（0）（1）若AB2，1，求线段CF的长（2）连接EG，若EGAF，求证：点G为CD边的中点求的值【解答】解：（1）在正方形ABCD中，ADBC，DAGF，又AG平分DAE，DAGEAG，EAGF，EAEF，AB2，B90，点E为BC的中点，BEEC1，AE=AB2+BE2=5，EF=5，CFEFEC=5-1；（2）证明：E
29、AEF，EGAF，AGFG，在ADG和FCG中D=GCFAGD=FGCAG=FG，ADGFCG（AAS），DGCG，即点G为CD的中点；设CD2a，则CGa，由知，CFDA2a，EGAF，GDF90，EGC+CGF90，F+CGF90，ECGGCF90，EGCF，EGCGFC，ECGC=GCFC，GCa，FC2a，GCFC=12，ECGC=12，EC=12a，BEBCEC2a-12a=32a，=CEEB=12a32a=1314.（2020浙江金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB8（
30、1）求证：四边形AEFD为菱形（2）求四边形AEFD的面积（3）若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由【解答】（1）证明：如图1中，AEDF，ADEF，四边形AEFD是平行四边形，四边形ABCD是正方形，ACABOCOB，ACEABD90，E，D分别是OC，OB的中点，CEBD，CAEABD（SAS），AEAD，四边形AEFD是菱形（2）解：如图1中，连接DESADBSACE=128416，SEOD=12448，SAEDS正方形ABOC2SABDSEOD642168
31、24，S菱形AEFD2SAED48（3）解：如图1中，连接AF，设AF交DE于K，OEOD4，OKDE，KEKD，OKKEKD22，AO82，AK62，AK3DK，当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形：如图2中，设AG交PQ于H，过点H作HNx轴于N，交AC于M，设AMt菱形PAQG菱形ADFE，PH3AH，HNOQ，QHHP，ONNP，HN是PQO的中位线，ONPN8t，MAHPHN90AHM，PNHAMH90，HMAPNH，AMNH=MHPN=AHPH=13，HN3AM3t，MHMNNH83t，PN3MH，8t3（83t），t2，OP2ON2（8t）12，P（12，0
32、）如图3中，过点H作HIy轴于I，过点P作PNx轴交IH于N，延长BA交IN于M同法可证：AMHHNP，AMHN=MHPN=AHHP=13，设MHt，PN3MH3t，AMBMAB3t8，HI是OPQ的中位线，OP2IH，HIHN，8+t9t24，t4，OP2HI2（8+t）24，P（24，0）当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形：如图4中，QH3PH，过点H作HMOC于M，过D点P作PNMH于NMH是QAC的中位线，MH=12AC4，同法可得：HPNQHM，NPHM=HNMQ=PHQH=13，PN=13HM=43，OMPN=43，设HNt，则MQ3t，MQMC，3t8-4
33、3，t=209，OPMN4+t=569，点P的坐标为（569，0）如图5中，QH3PH，过点H作HMx轴于M交AC于I，过点Q作QNHM于NIH是ACQ的中位线，CQ2HI，NQCI4，同法可得：PMHHNQ，MHNQ=PMHN=PHHQ=13，则MH=13NQ=43，设PMt，则HN3t，HNHI，3t8+43，t=289，OPOMPMQNPM4t=89，P（89，0）如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形：过点H作HMy轴于于点M，交AB于I，过点P作PNHM于NHIx轴，AHHP，AIIB4，PNIB4，同法可得：PNHHMQ，PNHM=HNMQ=PHHQ=13，MH3PN12
34、，HIMHMI4，HI是ABP的中位线，BP2IH8，OPOB+BP16，P（16，0），综上所述，满足条件的点P的坐标为（12，0）或（24，0）或（569，0）或（89，0）或（16，0）15.（2020浙江宁波）【基础巩固】（1）如图1，在ABC中，D为AB上一点，ACDB求证：AC2ADAB【尝试应用】（2）如图2，在ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，BFEA若BF4，BE3，求AD的长【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是ABC内一点，EFAC，AC2EF，EDF=12BAD，AE2，DF5，求菱形ABCD的边长【解答】解：（1）证明：ACD
35、B，AA，ADCACB，ADAC=ACAB，AC2ADAB（2）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AC，又BFEA，BFEC，又FBECBF，BFEBCF，BFBC=BEBF，BF2BEBC，BC=BF2BE=423=163，AD=163（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，四边形ABCD是菱形，ABDC，BAC=12BAD，ACEF，四边形AEGC为平行四边形，ACEG，CGAE，EACG，EDF=12BAD，EDFBAC，EDFG，又DEFGED，EDFEGD，EDEG=EFDE，DE2EFEG，又EGAC2EF，DE22EF2，DE=2EF，又DGDF=DEEF，DG=2DF=52，DCDGCG52-2
