1、第2 2课时an与Sn的关系及裂项求和法1.an与Sn的关系因为Sn=a1+a2+a3+an,当n2,且nN+时,Sn-1=a1+a2+an-1,所以Sn=Sn-1+an,即an=Sn-Sn-1;而当n=1时,a1=S1,即S1为数列an的首项.因此,如果已知数列an的前n项和Sn的公式,那么这个数列是确定的,并且【做一做1】已知数列an的前n项和Sn=n2+2n,则an的通项公式为.答案:an=2n+1名师点拨利用Sn求an的方法已知数列an的前n项和求通项公式an,一般要使用公式an=Sn-Sn-1(n2),但必须注意它成立的条件是n2,除此之外还要注意以下几点:(1)求a1时不能使用an
2、=Sn-Sn-1,因为S0在数列前n项和中无意义,而应该是a1=S1;(2)由an=Sn-Sn-1求得的an,代入n=1时,若恰好a1=S1,则an=Sn-Sn-1就是其通项公式;(3)由an=Sn-Sn-1求得的an,代入n=1时,若a1S1,则数列的通项公式就用分段的形式来表示,即2.裂项求和法裂项法求和是数列求和的一种常用方法,它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂成两项),并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余各项都能前后相抵消,进而可求出数列的前n项和.【做一做2】思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)已知数列an的前n项和为
3、Sn=2n+2,则an的通项公式为an=2n+1.()(2)已知数列an的通项公式为an=18-3n,Sn是an的前n项和,Tn是|an|的前n项和,则一定有TnSn.()(3)数列-1,2,-3,4,-5,6,-7,8,(-1)nn,的前n项和为 .()答案:(1)(2)(3)探究一探究二探究三探究四思维辨析 【例1】(1)已知数列an的前n项和为Sn=2n2-8n+10,求通项公式an,并判断数列是否为等差数列;(2)已知数列an的前n项和公式 ,求其通项公式.分析:根据an与Sn的关系求an,要注意分类讨论.解:(1)当n2时,Sn-1=2(n-1)2-8(n-1)+10=2n2-12n
4、+20,an=Sn-Sn-1=2n2-8n+10-2n2+12n-20=4n-10.当n=1时,a1=S1=2-8+10=4,当n2时,an-an-1=4n-10-4(n-1)+10=4,数列an从第2项起构成等差数列,但an不是等差数列.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.已知Sn求an时,应分为以下三步:(1)当n2时,由an=Sn-Sn-1求出an;(2)当n=1时,由a1=S1求出a1,并判断a1的值是否适合(1)中求得的an;(3)写出an的表达式.2.在由Sn求an时,若忽视对n=1时情况的讨论,将可能导致错误.探究一探究二探究三探究四思维辨
5、析变式训练1已知数列an的前n项和为Sn(Sn0),探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析【例2】已知正项数列an的前n项和为Sn,且8Sn=(an+2)2.(1)求证:an为等差数列;(2)求an的通项公式.分析:(1)根据an=Sn-Sn-1消去Sn,得到an与an-1的关系后进行判断;(2)由a1=S1代入求出a1的值,结合(1)求得通项公式.探究一探究二探究三探究四思维辨析(1)证明:因为8Sn=(an+2)2,所以当n2时,8Sn-1=(an-1+2)2,所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0.又an为正项数列,所以an+an-10,从而an-an
6、-1-4=0,即an-an-1=4,故an是公差为4的等差数列.(2)解:当n=1时,得8S1=(a1+2)2,即8a1=(a1+2)2,解得a1=2,所以an的通项公式an=2+(n-1)4,即an=4n-2.探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟在给出数列的an与Sn的关系式时,可根据an=Sn-Sn-1(n2)将关系式中的Sn(或an)消去,从而求得an与an-1(或Sn与Sn-1)的关系,然后借助等差数列或其他特殊数列中的方法求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练2已知在各项均为正数的数列an中,a1=1,Sn是数列an的前n项和,对任意nN+,有2Sn=+pan-p(pR)
7、.(1)求常数p的值;(2)求数列an的通项公式.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析【例3】已知等差数列an满足a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令 (nN+),求数列bn的前n项和Tn.分析:(1)设出公差,根据已知条件构造方程组可求出首项和公差,进而求出an及Sn;(2)先由(1)求出bn的通项公式,再根据通项的特点选择求和的方法.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.通常情况下,当数列的通项公式是分式的形式,且分子是一个常数,分母是两个相邻的正整数之积时,可考虑用裂项法求和.2.
8、用裂项法求和时,首先要将通项公式进行变形,化为两项相减的形式,然后将数列的各项用改写后的通项公式形式表示,最后将正、负项抵消即得前n项和.探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练3探究一探究二探究三探究四思维辨析【例4】在数列an中,a1=8,a4=2,且满足an+2=2an+1-an(nN+).(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn=|a1|+|a2|+|an|,求Sn.分析:(1)根据等差数列的定义可知an是等差数列.(2)先找出数列an中的非负项,再分类讨论.探究一探究二探究三探究四思维辨析解:(1)由题意知,an+2-an+1=an+1-an,所以an为等差数列.设公差为d,由a1=
9、8,a4=2,得2=8+3d,解得d=-2,所以an=8-2(n-1)=10-2n.(2)由(1)知an=10-2n,令10-2n0,得n5,即数列an的前5项为非负数,后面为负数,所以当n5时,探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟对数列|an|的求和问题,首先要明确数列类型,然后要清楚a1+a2+a3+an与|a1|+|a2|+|an|的区别与联系,找出数列an中出现正负转换时的临界是解决问题的关键.探究一探究二探究三探究四思维辨析因错用裂项求和法而出错 探究一探究二探究三探究四思维辨析纠错心得1.在用裂项法求和时,要注意最后剩余的项不一定就是最前面的一项和最后面的一项.2.对于错解1,
10、显然通项公式的变形是错误的.抵消项时也出现了错误;错解2对通项公式变形虽然正确,但抵消项时出现了错误.探究一探究二探究三探究四思维辨析 变式训练 已知数列an是递增的等差数列,a1,a2是方程x2-3x+2=0的两根.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列 的前n项和Sn.解:(1)方程x2-3x+2=0的两根为1,2,由题意得a1=1,a2=2.设数列an的公差为d,则d=a2-a1=1,所以数列an的通项公式为an=n.123451.设数列an的前n项和Sn=n2,则a8的值为()A.15B.16C.49D.64解析:a8=S8-S7=82-72=15.答案:A123452.已知数列an
11、的前n项和Sn=2n-1,则其通项公式为()A.an=2nB.an=2n-1C.an=2n+1D.an=2n-1-1解析:当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,当n=1时,a1=S1=21-1=1适合上式,故an=2n-1(nN+).答案:B12345123454.已知数列an的通项公式为an=26-6n,则数列|an|的前10项和为.解析:令26-6n0,得n4,即数列an的前4项为非负数,后面为负数,所以当n4时,答案:158 123455.已知在等差数列an中,公差d0,又a2a3=15,a1+a4=8.(1)求数列an的通项公式;(2)记数列 ,数列bn的前n项和记为Sn,求Sn.解:(1)由等差数列的性质得a2+a3=a1+a4=8.又a2a3=15,a2,a3是方程x2-8x+15=0的两根,结合d0解得a2=3,a3=5,d=2,an=a2+(n-2)d=2n-1.
