1、 温馨提示：温馨提示： 此题库为此题库为 WordWord 版版, , 请按住请按住 Ctrl, Ctrl, 滑动鼠标滚轴滑动鼠标滚轴, , 调节合适的观调节合适的观 看比例看比例, , 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 考点考点 37 37 椭圆椭圆 一、选择题 1.(2019全国卷理科T10 同 2019全国卷文科T12)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B 两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为 ( ) A. +y2=1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 【命题意图】本题考查
2、椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推 理等数学素养. 【解析】选 B.如图,由已知可设| |=n,则| |=2 n,| |=| |=3n,由椭圆的定义有 2a=| |+| |=4 n,所以 | |=2 a-| |=2 n.在AF1B中,由余弦定理推论得 cosF1AB= - = . 在AF1F2中,由余弦定理得 4n2+4n2-22n2n =4,解得 n= . 所以 2a=4n=2 ,所以a= ,所以b2=a2-c2=3-1=2, 所以所求椭圆方程为 + =1,故选 B. 2.(2019北京高考理科T4)已知椭圆 + =1(ab0)的离心率
3、为 ,则 ( ) A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b 【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力. 【解析】选 B.离心率平方e2= = - = ,即 4(a 2-b2)=a2,即 3a2=4b2. 二、填空题 3.(2019全国卷理科T15同2019全国卷文科T15)设F1,F2为椭圆C: + =1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限. 若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为 . 【解析】已知椭圆C: + =1 可知,a=6,c=4,由 M为C上一点且在第一象限,故等腰MF1F2 中,MF1=F1F2=8,MF2=2a-MF1=4,
4、sinF1F2M= - = , yM=MF2sinF1F2M= , 代入C: + =1 可得 xM=3.故M的坐标为(3, ). 答案:(3, ) 4.(2019浙江高考T15)已知椭圆 + =1 的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方,若线段PF的中点在以原点O为圆 心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是 . 【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系,利用数形结合思想,是解答解析几何问 题的重要途径. 【解析】设线段PF的中点为M. 方法一:由题意可知|OF|=|OM|=c=2, 由中位线定理可得|PF1|=2|OM|=4, 设P(x,y),可得(x
5、-2)2+y2=16, 联立方程 + =1, 可解得x=- 或 x= (舍),点P在椭圆上且在x轴的上方, 求得P(- ),所以kPF= = . 方法二:焦半径公式应用 由题意可知|OF|=|OM|=c=2, 由中位线定理可得|PF1|=2|OM|=4, 即a-exP=4xP=- , 求得P(- ),所以kPF= = . 答案: 三、解答题 5.(2019全国卷文科T20)已知F1,F2是椭圆C: + =1(ab0)的两个焦点,P 为C上一点,O为坐标原点. (1)若POF2为等边三角形,求C的离心率. (2)如果存在点P,使得PF1PF2,且F1PF2的面积等于 16,求b的值和a的取值范围
6、. 【命题意图】考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的关系以及椭圆的有关运算. 【解析】(1)连接PF1,由POF2为等边三角形可知在F1PF2中,F1PF2=90,|PF2|=c,|PF1|= c,于是 2a=|PF1|+|PF2|=( +1)c,故C的离心率是e= = -1. (2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在当且仅当 |y|2c=16, - =-1,即 c|y|=16, x2+y2=c2, + =1, 由及a2=b2+c2得y2= ,又由知 y2= ,故b=4. 由得x2= ( - ),所以c2b2,从而a2=b2+c22b2=32,故a4 .当b=4,a4 时,存在满足条件的点P. 所以b=4,a的取值范围为4 ,+).
