1、文科数学试题 第 1 页 / 共 4 页 长春市长春市 2020 届高三质量监测（四）届高三质量监测（四） 文科数学 本试卷共 4 页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在考生信息条形码粘贴区。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂； 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不折叠，不弄破、
2、弄皱，不使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 设集合 2 |1Ax x?， |0Bx x?，则() R AB ? A. |1x x B. |1x x ? C. |1x x ? ?或01x ? D. |1x x?或01x? 2. 在等比数列 n a中， 3 3a ?， 6 6a ?，则 9 a ? A. 9 B. 12 C. 1 9 D. 1 12 3. 已知角?终边经过点( 1,2)P ?，则cos? A. 1 2 B. 1 2 ? C. 5 5 D. 5 5 ? 4. 在复平
3、面内，复数 1 z i? 所对应的点为(2, 1)?，i是虚数单位，则z ? A. 3 i? B. 3 i? C. 3 i? ? D. 3i? ? 5. 方程22 x x? 的根所在区间是 A. ( 1,0)? B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 6. 树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有 3 名男生，2 名女生，现从 中随机选出 3 人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的概率为 A. 3 5 B. 7 10 C. 4 5 D. 9 10 7. 已知向量(0,1)AB ? ? ? ，|7AC ? ? ， 1AB BC? ? ? ? ? ，则ABC面积为 A.
4、1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 7 2 文科数学试题 第 2 页 / 共 4 页 8. 下列函数既是奇函数又是增函数的是 A.cos(2 2 yx ? ?) B. 2 xx ee y ? ? ? C. 3 lnyx? D. 2 3 yx? 9. 为美化环境，某城市决定用鲜花装饰如图所示花柱，它的下面是一个直 径为 1m、高为 3m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米 大约需要鲜花150朵， 那么装饰一个这样的花柱大约需要鲜花朵数为 （? 取 3.1） A. 1235 B. 1435 C. 1635 D. 1835 10. 已知 5 log 2a ?， 0.5 log0.2
5、b ?，ln(ln2)c ?，则a，b，c的大小关系是 A. abc? B. acb? C. bac? D. cab? 11. 过抛物线 2 :2C xpy?（0p?）的焦点F作直线与该抛物线交于A,B两点，若 3 AFBF?，O 为坐标原点，则 | | AF OF ? A. 4 3 B. 3 4 C. 4 D. 5 4 12. 函数( )sin()f xx?的部分图象如图中实线所示，图中的圆C与( )f x的图象交 于,M N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是 函数( )f x的图象关于点 4 ( ,0) 3 成中心对称； 函数( )f x在 11 (,) 26 ?上单调递增； 圆C的
6、面积为 31 36 ?. A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知双曲线 22 22 1 xy ab ?（ 0,0ab?）的一条渐近线方 程为y x? ，则双曲线的离心率为_. 14. 执行如图所示的程序框图， 若输入 1,3t? ?， 则输出s的 取值范围是_. 15. 已知 1 cos() 43 ? ?，则sin2?_. 16. 已知正方体 1111 ABCDA BC D?的棱长为2，点MN，分别 是棱BC， 1 CC的中点，则异面直线AN与BC所成角的余 弦值为_；若动点P在正方形 11 BCC B（包括边 界）内运动，且 1 P
7、A /平面AMN，则线段 1 PA的长度范围 是_. （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 输入 开始 t 结束 否是 1?t ? 1t se ? ?3 logst? 输出s D1C1 B1 A1 N M C D AB P 文科数学试题 第 3 页 / 共 4 页 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为 必考题，每个试题考生都必须作答. 第 2223 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. （12 分）分） 已知数列? ? n a 是等比数列， 且公比q不等于 1， 1 2a ?， 324 32aaa?， 数列
8、n b满 足2 n b n a ?. （）求证：数列? ? n b 是等差数列； （）求数列 1 1 n n b b ? 的前n项和 n S. 18. （12 分）分） 如图，四棱锥PABCD?中，底面ABCD为 梯形，ABDC/，90BAD? ? ，点E为PB的 中点， 且224CDADAB?， 点F在CD上， 且 1 3 DFFC?. （）求证：EF/平面PAD； （）若平面PAD?平面ABCD， PAPD?且PAPD?，求三棱锥PCEF?的体积. 19. （12 分）分） 商务部会同海关总署、国家药监局于3月31日发布关于有序开展医疗物资出口的公 告. 如医疗物资出口中出现质量问题，将认
9、真调查，发现一起，查处一起，切实维护“中 国制造”的形象，更好地发挥医疗物资对支持全球疫情防控的重要作用. 为了监控某种医 疗物资的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个医疗物 资，并测量其尺寸（单位：cm）. 下面是检验员在一天内依次抽取的16个医疗物资的尺 寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 医疗物资尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.019.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 医疗物资尺寸 10.26 9.91 10.1310.029.22 10.0410.05 9.95 经计算得
10、 16 1 1 9.97 16 i i xx ? ? ? ， 1616 222 11 11 ()(16)0.212 1616 ii ii sxxxx ? ? ? ， 16 2 1 (8.5)18.439 i i ? ? ? ， 16 2 1 1591.134 i i x ? ? ? ， 16 1 ()(8.5)2.78 i i xx i ? ? ? ? ，其中 i x为 抽取的第i个医疗物资的尺寸，1,2,16i?. （1）求( , ) i x i(1,2,16)i?的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的医 疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若| 0.25r?，则可以认为医
11、疗物 资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）. （2）一天内抽检医疗物资中，如果出现了尺寸在(3 ,3 )xs xs?之外的医疗物资， 就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行 检查. 从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ A D B C E F P 文科数学试题 第 4 页 / 共 4 页 附：样本( ,) ii x y(1,2, )in?的相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy ? ? ? ? ? ? ? . 20. （12 分）分） 已知椭圆? 22 22 :10 x
12、y Cab ab ?的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为2:1. （）求椭圆方程； （）若不与坐标轴平行的直线l与椭圆相切于点P，O为坐标原点，求直线OP与 直线l的斜率之积. 21. （12 分）分） 已知函数 32 ( )34f xxax?，a?R. （）讨论( )f x的单调性； （）若函数( )f x有三个零点，证明：当0x ?时， 21 ( )4(1)(1) a f xae ? ?. （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的 第一题计分. 22. 选修选修 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程（10 分）分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1
13、 C的参数方程为 1 cos sin x y ? ? ? ? ? ? ? （?为参数） ，以坐 标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线 1 C上的动点，点B在 线段OA 的延长线上，且满足| | 8OAOB?，点B的轨迹为 2 C. （）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （）设点M的极坐标为 3 (2,) 2 ? ，求ABM面积的最小值. 23. 选修4-5 不等式选讲（10 分） 已知函数( ) |23|23|f xxx?. （）解不等式( )8f x； （）设x?R时，( )f x的最小值为M.若实数, ,a b c满足2a bcM? ?，求 222 abc?的最
14、小值. 文科数学答案 第 1 页（共 3 页） 长春市长春市 2020 届高三质量监测（四）届高三质量监测（四） 文科数学参考答案与评分细则文科数学参考答案与评分细则 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. B 2. B 3. D 4. A 5. B 6. D 7. C 8. B 9. C 10. D 11. A 12. C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，16 题第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分） 13. 2 14. 0,1 15. 7 9 16. 2 3 ， 3 2 , 5 2 三、解答题 【题号】17 【参考答案与评分细则】（）
15、由若 1 2a ?， 324 32aaa?可得 23 3 22 22qqq?， 解得2q ?或1q ?（舍） ，即2n n a ?. 已知数列 n b满足2 n b n a ?，则 2 log nn ba?， 1 121222 loglogloglog 21 n nnnn n a bbaa a ? ? ?， 即数列 n b为等差数列. （6 分） （）由（）可知， n bn?. 设 1 1111 (1)1 n n n c b bn nnn ? ? ? ， 即数列 1 1 n n b b ? 的前n项和为 1 1 11 n n S nn ? ? ? . （12 分） 【题号】18 【参考答案与评
16、分细则】 （）取PA的中点M，连结DM、EM. EFDM EFPAD DMPAD ? ? ? ? ? 平面 平面 / /. （6 分） （） 11 11 1 (24) 21 1 22 24 322 P CEFP BCFP ABCD VVV ? ? ? ?（12 分） 【题号】19 【参考答案与评分细则】 （）由样本数据得( , )(1,2,.,16) i x i i ?的相关系数为 16 1 1616 22 11 ()(8.5) 2.78 0.18 0.21216 18.439 ()(8.5) i i i ii xx i r xxi ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由于| 0.25r
17、?，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大 或变小 （6 分） （）由于9.97,0.212xs?，由样本数据可以看出抽取的第 13 个零件的尺寸在 (3 ,3 )xs xs?以外，因此需对当天的生产过程进行检查 （12 分） 文科数学答案 第 2 页（共 3 页） 【题号】20 【参考答案与评分细则】 （）已知椭圆中22c ?，且 2 2 2 a b ?， 又 222 abc?，可得椭圆的方程为 2 2 1 2 x y?. （4 分） （）由题意：可设l的方程为ykxm?（k存在且0k ?） ， 与椭圆C联立消去y可得 222 (12)4220kxkmxm?， 由直线
18、l与椭圆C相切可设切点为 00 (,)xy，由判别式0? ?可得 22 12mk? ?. 解得 0 2k x m ? ?， 0 1 y m ?， 因此，直线OP的斜率为 1 2 OP k k ? ?，直线l的斜率为k， 即直线OP与直线l的斜率之积为 1 2 ?.（12 分） 【题号】21 【参考答案与评分细则】 （） 2 ( )363 (2 )0fxxaxx xa?, 1 0x?, 2 2xa? 当0a ?时( )0fx?，( )f x时单调递增. 当0a ?时，? ?,0 , 2 ,xa? ?时单调递增，?0,2xa?时单调递减. 当0a ?时，? ?,2, 0,xa? ?时单调递增，?2
19、 ,0xa?时单调递减.（6 分） （）(0)4f?，由（1）知( )f x有 3 个零点需0a ?且(2 )0fa ?，即1a ? . 当0x ?时，只需证 321 min ( )(2 )4(1)4(1)(1) a f xfaaae ? ?. 即证 1 2 (1) 1 a a e a ? ? ?. 设 1 2 (1) ( ),1 x x e g xx x ? ? ?. 由 1 2 3 ( )(2) x e g xx x ? ?知，(1, 2)x?时单调递减，( 2,)x?时单调递增. 2 1 min ( 21)21 ( )( 2)1 22 e g xg ? ? ?，证毕. （6 分） 【题号
20、】22 【参考答案与评分细则】 （）曲线 1 C的参数方程为 1xcos ysin ? ? ? ? ? ? ? （?为参数） ，普通 方程为 22 (1)1xy?，化简可得 22 20xyx?，即曲线 1 C的极坐标方程为 1 2cos?，又 12 8? ?，可知 2 4 cos ? ? ?，即为曲线 2 C的极坐标方程. （5 分） 文科数学答案 第 3 页（共 3 页） （）由 21 114 | |2 ()cos(2cos )cos 22cos ABMBA SOMxx? ? ? ? ， 得 2 42cos ABM S? ，因此 ABM S的最小值为 2.（10 分） 【题号】23 【参考答案与评分细则】 （） 3333 2222 2682 xxx xx ? ? ? ? ? ? ? 或或 ， | 22xx? .（5 分） （）( )|(23)(23)| 6f xxx? ， 6M? 2222222 ()(112 )(2 )36abcabc?， 当且仅当22abc?时“?”成立， 222 6abc? ， 所以最小值为 6. （10 分）
