1、一元一次方程应用题归类（典型例题、练习）一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）（2）设出未知数：根据提问，巧设未知数（3列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系，列出方程（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值（5）检验写答：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案（注意单位统一及书写规范）：第一类：与数字、比例有关的问题：例1. 比例分配问题：比例分配问题的一般思路为：设其中一份为x ，利用已知的比，写出相应的代数式。常用等量关系：各部分之和=总量。甲
2、、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4：3；乙、丙之比为6：5，又知甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件例2. 数字问题：1.要搞清楚数的表示方法：一个三位数，一般可设百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1a9， 0b9， 0c9），则这个三位数表示为：100a+10b+c2.数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n-2表示；奇数用2n+1或2n1表示。（1）有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数
3、比原数的2倍少49，求原数。（2）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，且个位上的数字与十位上的数字的和比这个2位数的大6，求这个两位数。第二类：与日历、调配有关的问题：例3. 日历问题：探索日历问题中的条件和要求的结论，并找出等量关系，列出方程，解决实际问题。例：工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元例：某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时元，若每月用电量超过a千瓦则超过部分按基本电价的70%收费（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费元，求a（2）若该用户九
4、月份的平均电费为元，则九月份共用电多少千瓦应交电费是多少元 )例：某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。问这种鞋的标价是多少元优惠价是多少例：甲乙两件衣服的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装成本各是多少元 例：某商场按定价销售某种电器时，每台获利48元，按定价的9折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等，该电器每台进价、定价各是多少元例：甲、乙两种
5、商品的单价之和为100元，因为季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高2%，求甲、乙两种商品的原来单价、例：一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少2. 储蓄利率问题1顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.2储蓄问题中的量及其关系为：；利息本金利率期数 本息和本金+利息 利息税=利息税率（20%）例：某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和元，求银行半年期的年利率是多少（
6、不计利息税）第七类：方案设计问题1、某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是： 如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15
7、天完成你认为哪种方案获利最多为什么2、某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元 （1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案￥ （2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案 第八类：（一）和、差、倍、分问题读题分析法这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示相等关系的关
8、键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.1、倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现。2、多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现。增长量原有量增长率 现在量原有量增长量例1某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元例2旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有
9、汽油多少公斤第八类：（二）等积变形问题%等积变形是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：原料体积=成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变圆柱体的体积公式 V=底面积高Sh长方体的体积 V长宽高abc正方体(正六面体)的体积 V棱长3a3例3现有直径为米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为米，长为3米的圆柱形机轴多少根$练习：）圆柱形水桶的底面周长分米，高6分米盛满一桶水后，把水倒入一个长方体水缸中，水缸还空着%已知长方体水缸宽4分米，长是宽的倍，求水缸的高第八类：（三）杂题：（1）年龄问题：抓住“年领差”不变作为等量关系，从而列出方程。例4：兄弟二人今年
10、分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍例5：今年，小明一家三口的年龄之和是72岁，10年前，三人年龄的年龄之和是44岁，父亲比母亲大3岁求小明家今年每人的年龄（2）比赛积分问题：例6：某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了 道题。（3）古典数学：例7：有100个和尚100个馍，1个大和尚分3个馍，3个小和尚分1个馍问：大、小和尚各有多少人例8：有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只一元一次方程应用题反馈训练一.选择题1. (2
11、015四川巴中)若单项式2x2yab与xaby4是同类项，则a，b的值分别为()Aa3，b1 Ba3，b1Ca3，b1 Da3，b12（2016广西南宁3分）超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（）A10=90 B10=90 C90=10 Dx10=903（2016海南3分）若代数式x+2的值为1，则x等于（）/A1； B1； C3 ；D34.（2016湖北荆州3分）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（）A120元；
12、B100元 ；C80元 ；D60元5.（2016内蒙古包头3分）若2（a+3）的值与4互为相反数，则a的值为（）A1 ；B；C5； D二.填空题6. （2016浙江省绍兴市5分）书店举行购书优惠活动：一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；一次性购书200元一律打七折小丽在这次活动中，两次购书总共付款元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是 元7（2016黑龙江龙东3分）一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是 元8（2016湖北荆门3分）为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和
13、台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，则购置的笔记本电脑有台三、解答题9. （2016湖北武汉8分）解方程：5x23(x2) ）10. （2016江西8分）如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设
14、其长度为xcm（1）请直接写出第5节套管的长度；（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值11.（2016广西桂林8分）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元(12.（2016海南
15、）世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知汉语成语大词典和中华上下五千年两本书的标价总和为150元，汉语成语大词典按标价的50%出售，中华上下五千年按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元【参考答案：第一类：与数字、比例有关的问题：例1. 解：设乙每天生产6x件，则甲每天生产8x件，丙每天生产5x件，依题意有8x+5x=26x+12，解得x=12，8x=96，6x=72，5x=60答：甲每天生产96件，乙每天生产72件，丙每天生产60件例2（1）解：设这个三位数的百位数为x，则其十位数字为x+1，个位数字为2x则调后的百位数为2x，十位数字为x+1，个位数字为x
16、，由此可得：100x+10（x+1）+2x249=1002x+10（x+1）+x100x+10x+10+2x249=200x+10x+10+x，112x+10249=211x+10，224x+2049=211x+10， 13x=39， x=3；则十位数为3+1=4，个位数为32=6所以这个三位数为：346答：原数为346（2）解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+5），由题意，得：x+x+5=10x+（x+5）+6，解得：x=4则个位上的数字为：x+5=9（所以这个两位数为49答：这个两位数为49第二类：与日历、调配有关的问题：例，18，25.变式：(1)5a； (2)a=404, 不
17、能404是偶数；(3)a=73,能五个数为：61，71，73，75，85。例4.（1）24人；（2）甲380人，乙180人；（3）27人。第三类：配套问题：（1）12人生产螺栓，16人生产螺母；（2）25人生产大齿轮，60人生产小齿轮；（3）30间房屋，252名学生。第四类：行程问题：例：解：等量关系：步行时间乘公交车的时间小时 列出方程是：例：解：等量关系 速度15千米行的总路程速度9千米行的总路程 速度15千米行的时间15分钟速度9千米行的时间15分钟提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。方法一：设预定时间为x小/时，则列出方程是：15（x）9（x）方法二：设从
18、家里到学校有x千米，则列出方程是：$例：提醒：将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。等量关系：快车行的路程慢车行的路程两列火车的车长之和 设客车的速度为3x米/秒，货车的速度为2x米/秒，则 163x162x200280例：提醒：将火车车尾视为一个快者，则此题为以车长为提前量的追击问题。等量关系： 两种情形下火车的速度相等 两种情形下火车的车长相等：在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。解： 行人的速度是：时3600米3600秒1米/秒 骑自行车的人的速度是：时10800米3600秒3米/秒 方法一：设火车的速度是x米/秒，则 26(x3)22(
19、x1) 解得x4% 方法二：设火车的车长是x米，则 例：提醒：此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈即 步行者行的总路程汽车行的总路程602解：设步行者在出发后经过x小时与回头接他们的汽车相遇，则 5x60(x1)602例：解：方法一：设由A地到B地规定的时间是 x 小时，则12x x2 12 x12224(千米) 方法二：设由A、B两地的距离是 x 千米，则 （设路程，列时间等式） x24 答：A、B两地的距离是24千米。温馨提醒：当速度已知，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。例：解析：只要将车尾看作一个行人去分析即可，前者为此人通过300米的隧道再加上一个车长
20、，后者仅为此人通过一个车长。此题中告诉时间，只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式。解：方法一：设这列火车的长度是x米，根据题意，得 x300 答：这列火车长300米。方法二：设这列火车的速度是x米/秒，根据题意，得20x30010x x30 10x300 答：这列火车长300米。例：答案：例：解析： 快车驶过慢车某个窗口时：研究的是慢车窗口的人和快车车尾的人的相遇问题，此时行驶的路程和为快车车长！ 慢车驶过快车某个窗口时：研究的是快车窗口的人和慢车车尾的人的相遇问题，此时行驶的路程和为慢车车长！ 快车从后面追赶慢车时：研究的是快车车尾的人追赶慢车车头的人的追击问题，此时行驶的路程和
21、为两车车长之和！解： 两车的速度之和100520（米/秒） ）慢车经过快车某一窗口所用的时间15020（秒） 设至少是x秒，（快车车速为208）则 （208）x8x100150 x 答：至少秒快车从后面追赶上并全部超过慢车。例：解：设乙的速度是 x 千米/时，则 3x3 (2x2)2 x5 2x212答：甲、乙的速度分别是12千米/时、5千米/时。2.环行跑道与时钟问题：例：老师解析：6：00时分针指向12，时针指向6，此时二针相差180，$在6：007：00之间，经过x分钟当二针重合时，时针走了分针走了6x以下按追击问题可列出方程，不难求解。解：设经过x分钟二针重合，则6x180 解得例：解
22、： 设同时同地同向出发x分钟后二人相遇，则 240x200x400 x10 设背向跑，x分钟后相遇，则 240x200x400 x例：解： 设分针指向3时x分时两针重合。 答：在3时分时两针重合。 设分针指向3时x分时两针成平角。 (答：在3时分时两针成平角。设分针指向3时x分时两针成直角。 答：在3时分时两针成直角。例：解：方法一：设准确时间经过x分钟，则 x38060(603) 解得x400分6时40分 6：306：4013：10方法二：设准确时间经过x时，则例：解：设船在静水中的速度是x千米/时，则3(x3)2(x3) 解得x15 2(x3)2(153) 36（千米）答：两码头之间的距离
23、是36千米。例：解：设无风时的速度是x千米/时，则3(x24)(x24)例：解：设水流速度为x千米/时，则9(10x)6(10x) 解得x2 答：水流速度为2千米/时.例：解：设A与B的距离是x千米，(请你按分类画出示意图，来理解所列方程) 当C在A、B之间时， 解得x120 当C在BA的延长线上时， 解得x56答：A与B的距离是120千米或56千米。第五类：工程问题例：解：设还需要x天完成，依题意，得 解得x=5 例：解：设甲乙还要合作x小时才能完成任务，根据题意得：（x+1）+（x+4）=1，去分母得：4（x+1）+5（x+4）=60，去括号得：4x+4+5x+20=60，移项合并得：9x
24、=36，解得：x=4，则甲乙还要合作4小时才能完成任务例：解： ， X=780例：解：1 - 6()=X X=例：解：1 ， X=11例：解：1- ， X= ， 2小时12分第六类：商品利润问题（市场经济问题或利润赢亏问题）1.市场经济问题例：解：（1）设1个小餐厅可供名学生就餐，则1个大餐厅可供（1680-2y）名学生就餐，根据题意，得2（1680-2y）+y=2280解得：y=360（名）所以1680-2y=960（名）（2）因为，所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐例：解：设该工艺品每件的进价是元,标价是（45+x）元.依题意，得:8（45+x）=（45+x-35）1
25、2-12x 解得：x=155（元）所以45+x=200（元）$例：解：（1）由题意，得 +（84-a）70%= 解得a=60 （2）设九月份共用电x千瓦时， 60+（x-60）70%= 解得x=90 所以90=（元）答： 90千瓦时，交元例：利润率= 40%= X=105 105*80%=84元例：解：设甲服装成本价为x元，则乙服装的成本价为（50x）元，根据题意，可列： x(1+50%)90% - x+(500-x)(1+40%)90% - (500 - x)=157 x=300例：解：(48+X)90%*6 6X=(48+X-30)*9 9X X=162 162+48=210例：解：x(1
26、-10%)+(100-x)(1+5%)=100(1+2%) x=20例：解：设这种服装每件的进价是x元，则：X(1+40)=15 解得x=125！2. 储蓄利率问题例：解：设银行半年期的年利率是x，由题意得：250+250x=，解得：x=答：银行半年期的年利率是%第七类：方案设计问题1. 解：方案一：因为每天粗加工16吨，140吨可以在15天内加工完，总利润W1=4500140=630000(元)方案二：15天可以加工615=90吨，说明还有50吨需要在市场直接销售，总利润W2=750090+100050=725000(元)；方案三：现将x吨进行精加工，将（140-x）吨进行粗加工，解得x=6
27、0.总利润W3=750060+450080=810000(元)2. 解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机x台，则B种电视机y台 （1）当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程 1500x+2100（50-x）=90000 x=25 50-x=25当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，可得方程 1500x+2500（50-x）=90000 x=35 50-x=15 当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台可得方程（2100y+2500（50-y）=90000 4y=350，不合题意。故可选两种方案：一是
28、购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台（2）若选择（1），可获利15025+25015=8750（元），若选择（1），可获利15035+25015=9000（元）故为了获利最多，选择第二种方案第八类：（一）和、差、倍、分问题读题分析法例1. 解：设去年该单位为灾区捐款x元，则：2x+1000=25000，解得x=12000答：去年该单位为灾区捐款12000元例2. 设油箱里原有汽油x公斤,由题意得,x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x40%去分母整理得,9x+20=5x+6x， 2x=20， x=10。答：油箱里原有汽油10公斤.例3. 解
29、：根据题意列出算式得：30（2）23（2）2=（30）（3）=40则已知的圆柱形钢坯可锻炼造直径为米，长为3米的圆柱形机轴40根练习：解：圆柱底面半径：2=2（分米）水的体积：226=（立方分米）长方体的体积：（1%）=96（立方分米）长方体的高：964（4）=4（分米）答：长方体水缸的高是4分米例4. 解：设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x由题意，得2（9+x）=15+x，18+2x=15+x，2xx=1518，x=3答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍!例5. 解：7244=28（岁）；310=30（岁）；3028=2（岁）；102=8（岁）；由此可得孩子8年前出生，今年是8岁；今年父亲是：（728+4）2=34（岁）；今年母亲是：344=30（岁）答：今年父亲34岁，母亲30岁，小明8岁
