1、专题11 期末考试重难点题型汇编【举一反三】【人教版】 【考点1 三角形内角和定理的应用】【方法点拨】三角形内角和等于180.【例1】（2019春石景山区期末）如图，BD平分ABCABDADB（1）求证：ADBC；（2）若BDCD，BAD，求DCB的度数（用含的代数式表示）【变式1-1】（2018秋包河区期末）如图，ABC中，ACB90，AE平分BAC，ADBC交BC的延长线于点D（1）若B30，ACB100，求EAD的度数；（2）若B，ACB，试用含、的式子表示EAD，则EAD （直接写出结论即可）【变式1-2】（2019春福州期末）如图，在ABC中，ABC的平分线交AC于点D作BDEABD
2、交AB于点E（1）求证：EDBC；（2）点M为射线AC上一点（不与点A重合）连接BM，ABM的平分线交射线ED于点N若MBCNBC，BED105，求ENB的度数【变式1-3】（2018秋丰城市期末）已知将一块直角三角板DEF放置在ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C（1）DBC+DCB 度；（2）过点A作直线直线MNDE，若ACD20，试求CAM的大小【考点2 三角形外角性质的应用】【方法点拨】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.【例2】（2019春宝应县期中）如图，在RtABC中，ACB90，A34，ABC的外角CBD的平分线BE交AC的延长线于点E（1）求
3、CBE的度数；（2）过点D作DFBE，交AC的延长线于点F，求F的度数【变式2-1】（2018春岱岳区期中）如图，ABC中，A30，B62，CE平分ACB，CDAB于D，DFCE于F，求ACE和CDF的度数【变式2-2】（2018春商水县期末）如图，BADCBEACF，FDE64，DEF43，求ABC各内角的度数【变式2-3】（2019春南开区校级月考）如图，在ABC中，AD是高，DAC10，AE是BAC外角的平分线，BF平分ABC交AE于点F，若ABC46，求AFB的度数【考点3 全等三角形的判定与性质综合】【例3】（2019南岸区）如图，在ABC和ABD中，BACABD90，点E为AD边上
4、的一点，且ACAE，连接CE交AB于点G，过点A作AFAD交CE于点F（1）求证：AGEAFC；（2）若ABAC，求证：ADAF+BD【变式3-1】（2019福州模拟）（1）已知，如图，在ABC中，BAC90，ABAC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E，求证：DEBD+CE（2）如图，将（1）中的条件改为：在ABC中，ABAC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDAAECBAC，其中为任意钝角，请问结论DEBD+CE是否成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由【变式3-2】（2018秋天台县期末）如图，ACB90，ACBC，ADCE，BECE，垂足分别为D，
5、E，若ADa，DEb，（1）如图1，求BE的长，写出求解过程；（用含a，b的式子表示）（2）如图2，点D在ABC内部时，直接写出BE的长 （用含a，b的式子表示）【变式3-3】（2019春道外区期末）如图，四边形ABCD中，ABCBCD90，点E在BC边上，AED90（1）求证：BAECED；（2）若AB+CDDE，求证：AE+BECE；（3）在（2）的条件下，若CDE与ABE的面积的差为18，CD6，求BE的长【考点4 动点问题中的全等三角形应用】【例4】（2019春平川区期末）如图，已知ABC中，ABAC10cm，BC8cm，点D为AB的中点如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C
6、点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？【变式4-1】（2019春永新县期末）ABC中，ABAC，A40，D、E分别是AB，AC上的不动点且BD+CEBC，点P是BC上的一动点（1）当PCCE时（如图1），求DPE的度数；（2）若PCBD时（如图2），求DPE的度数还会与（1）的结果相同吗？若相同，请写出求解过程；若不相同，请说明理由【变式4-2】（2019春宝安区期中）如图，在四边形ABCD中，ADB
7、C10，ABCD，BD14，点E从D点出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒5个单位的速度沿CBC，作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒（1）试证明：ADBC；（2）在移动过程中，小明发现有DEG与BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和G点的移动距离【变式4-3】（2018秋十堰期末）在ABC中，ABAC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作ADE，使AEAD，DAEBAC，连接CE（1）如图，当点D在BC延长线上移动
8、时，若BAC25，则DCE （2）设BAC，DCE当点D在BC延长线上移动时，与之间有什么数量关系？请说明理由；当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，与之间有什么数量关系？请直接写出你的结论【考点5 “三线合一”性质的应用】【方法点拨】等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。【例5】（2019秋武昌区期中）如图，在ABC中，BAC90，ADBC，BE平分ABC，G为EF的中点，求证：AGEF【变式5-1】（2019秋青山区期中）在ABC中，BC边上的高AG平分BAC（1）如图1，求证：ABAC；（2）如图2，点D、E在ABC的边BC上，ADAE，BC10cm
9、，DE6cm，求BD的长【变式5-2】（2019衡阳校级期中）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CECD求证：BDDE【变式5-3】如图所示，ABC是等腰直角三角形，BAC90，ABAC（1）若D为BC的中点，过D作DMDN分别交AB、AC于M、N，求证：DMDN；（2）若DMDN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明【考点6 等边三角形的判定与性质】【方法点拨】等边三角形的性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对称轴；（2）等边三角形的每个角都等于60。等边三角形的判定：（1）三边相等的三角形是等边三角形。（2）
10、三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有两个角是60的三角形是等边三角形。（4）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。【例6】（2018秋松桃县期末）如图，点P，M，N分别在等边ABC的各边上，且MPAB于点P，MNBC于点M，PNAC于点N（1）求证：PMN是等边三角形；（2）若AB12cm，求CM的长【变式6-1】（2018秋邵阳县期末）如图，在等边ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点O，且ODAB，OEAC（1）试判定ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC10，求ODE的周长【变式6-2】（2019秋寿光市期末）如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线A
11、C的同侧作等边ABD和等边BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得BMN（1）求证：ABEDBC（2）试判断BMN的形状，并说明理由【变式6-3】（2019秋中江县期末）如图，ABC中，ABBCAC12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间【考点7 利用因式分
12、解与乘法公式求值】【例7】已知4x2+y24x+10y+260，求6xy的值【变式7-1】（2019秋崇明县期中）已知x+y4，x2+y214，求x3y2x2y2+xy3的值【变式7-2】（2019春杭州期末）已知ab7，ab12（1）求a2bab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值【变式7-3】（2019春邵东县期中）已知有理数m，n满足（m+n）29，（mn）21，求下列各式的值（1）mn；（2）m2+n2mn【考点8 因式分解与乘法公式探究题】【例8】（2018秋江汉区校级月考）阅读材料：若m22mn+2n28n+160，求m，n的值解：m22mn+2n28n+160，（m
13、22mn+n2）+（n28n+16）0（mn）2+（n4）20，（mn）20，（n4）20，（mn）20，（n4）20，n4，m4根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知：x2+2xy+2y2+2y+10，求2x+y的值；（2）已知：ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b212a16b+1000，求ABC的最大边c的值；（3）已知：a5b+2c20，4ab+8c2+20c+1250，直接写出a的值【变式8-1】（2019春上虞区期末）阅读下列材料，然后解答问题：问题：分解因式：x3+3x24解答：把x1代入多项式x3+3x24，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3+3x24中
14、有因式（x1），于是可设x3+3x24（x1）（x2+mx+n），分别求出m，n的值，再代入x3+3x24（x1）（x2+mx+n），就容易分解多项式x3+3x24这种分解因式的方法叫“试根法”（1）求上述式子中m，n的值；（2）请你用“试根法”分解因式：x3+x216x16【变式8-2】（2019春东台市期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）（1）图2中的阴影部分的面积为 ；（2）观察图2请你写出 （a+b）2、（ab）2、ab之间的等量关系是 ；（3）根据（2）中的结论，若x+y5，xy，则xy
15、 ；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式如图3，你有什么发现？ 【变式8-3】（2019春槐荫区期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形用A种纸片张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）；方法1 ；方法2 （2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）a2+3ab+2b2，请你将该示
16、意图画在答题卡上；（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知：a+b5，a2+b211，求ab的值；已知（x2018）2+（x2020）234，求（x2019）2的值【考点9 分式相关概念及性质的应用】【例9】（2019秋北湖区校级月考）当取何值时，分式（1）有意义；（2）分式的值为0【变式9-1】（2019秋龙口市期中）下列各式从左到右变形正确的是ABCD【变式9-2】（2019秋高唐县期末）已知，求分式的值（提示：分式的分子与分母同除以【变式9-3】已知实数满足，求下列各式的值：（1）的值；（2）；（3）的值；（4）的值【考点10 分式的化简求值】【例10】（2019春潜山市期末）
17、先化简，再求值：，其中【变式10-1】（2019春合肥期末）先化简，再求值：其中2m2且为整数，请你从中选取一个喜欢的数代入求值【变式10-2】（2019春卫辉市期末）先化简：，然后从3a3的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值【变式10-3】（2018秋长安区校级月考）（1）先化简：，并从0，2中选一个合适的数，作为的值代入求值（2）先化简后求值：，其中满足【考点11 分式方程的增根】【例11】（2019大城县一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式
18、方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？【变式11-1】（2018春安岳县期末）关于的方程：（1）当时，求这个方程的解；（2）若这个方程有增根，求的值【变式11-2】（2018春洛宁县期中）为何值时，关于的方程会产生增根？【变式11-3】（2018秋克东县期末）若关于的方程无解，求的值【考点12 分式方程的应用】【例12】（2019秋正定县期中）市到市的距离约为，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从市去市小刘比小张晚出发1小时，最后两车同时到达市，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍（1）求小轿车和大货车的速度各是多少（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离市还有多远【变式1
19、2-1】（2019春西湖区校级月考）第19届亚洲运动会将于2022年9月10日至25日在杭州举行，杭州奥体博览城将成为杭州2022年亚运会的主场馆某工厂承包了主场馆建设中某一零件的生产任务，需要在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安
20、排的工人人数【变式12-2】（2019秋南岗区校级月考）某商家预测某种粽子能够畅销，就用6000元购进了一批这种粽子，上市后销售非常好，商家又用14000元购进第二批这种粽子，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每袋进价多了5元（1）该商家两批共购进这种粽子多少袋？（2）由于储存不当，第二批购进的粽子中有10%腐坏，不能售卖该商家将两批粽子按同一价格全部销售完毕后获利不低于8000元，求每袋粽子的售价至少是多少元？【变式12-3】（2018秋綦江区期末）某开发公司生产的960件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的，公司需付甲工厂加工费用为每天80元，乙工厂加工费用为每天120元（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天15元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由
