1、中考数学人教版专题复习：角平分线定理考点考纲要求分值考向预测角平分定理1. 理解并掌握角平线定义、角平分线定理及逆定理；2. 应用定理解决问题。35分本类问题主要考查填空、选择题，内容以角平分线定理为主，难度不大，各省市题量也不多，但要注意在综合性问题中应用这一知识点。考点精讲1. 角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 2. 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。【重要提示】 三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一
2、点到三条边的距离相等(即内心)。3. 角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（利用全等三角形进行证明ASA）4. 角平分线定理的逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。【方法指导】1. 三角形的三条内角平分线交于一点，并且到三条边的距离相等。有时候做三角形面积问题时经常使用。2. 当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路。3. 有角平分线考虑向角两边作垂线。4. 三角形中有时候从内角平分线作垂线，有时候作外角平分线，注意区分。【随堂练习】如图，在ABC中，
3、C=90，AB=10，AD是ABC的一条角平分线。若CD=3，则ABD的面积为 。答案：解：作DEAB于E。AD平分BAC，DEAB，DCAC，DE=CD=3。ABD的面积为310=15。故答案是15。思路分析：要求ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DEAB于E。根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解。典例精析例题1 如图，AD是ABC中BAC的角平分线，DEAB于点E，SABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A. 3 B. 4 C. 6 D. 5思路分析：过点D作DFAC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据SABC=
4、SABD+SACD列出方程求解即可。答案：解：如图，过点D作DFAC于F，AD是ABC中BAC的角平分线，DEAB，DE=DF，由图可知，SABC=SABD+SACD，42+AC2=7，解得AC=3。故选A。技巧点拨：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键。例题2 如图，三角形ABC中，A的平分线交BC于点D，过点D作DEAC，DFAB，垂足分别为E、F，下面四个结论：AFE=AEF；AD垂直平分EF；EF一定平行BC。其中正确的是（）A. B. C. D. 思路分析：由三角形ABC中，A的平分线交BC于点D，过点D作DEAC，DFAB，根据角平分线的性质，可得
5、DE=DF，ADE=ADF，又由角平分线的性质，可得AF=AE，继而证得AFE=AEF；又由线段垂直平分线的判定，可得AD垂直平分EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得。答案：解： 三角形ABC中，A的平分线交BC于点D，DEAC，DFAB，ADE=ADF，DF=DE，AF=AE，AFE=AEF，故正确； DF=DE，AF=AE，点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，AD垂直平分EF，故正确； SBFD=BFDF，SCDE=CEDE，DF=DE，；故正确； EFD不一定等于BDF，EF不一定平行BC。故错误。故选A。技巧点拨：此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等
6、腰三角形的性质。此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用。例题3 如图，在RtABC中，C=90，AC=BC=1，AD平分BAC交BC于点D，DEAB于点E，则DBE的周长为（）A. 2 B. 1+ C. D. 无法计算思路分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明RtACD和RtAED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出DBE的周长=AB，再利用勾股定理列式求出AB，即可得解。答案：解：AD平分BAC，C=90，DEAB，CD=DE，在RtACD和RtAED中，ADAD，CDDE，RtACDRtAED（HL），AC=AE，DBE的周长=BD
7、+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，C=90，AC=BC=1，AB=，DBE的周长=。故选C。技巧点拨：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记性质并求出DBE的周长=AB是解题的关键。提分宝典相似三角形中的角平分线定理定理内容：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。如：在ABC中，AM平分BAC，则BM：CM=AB：AC。定理证明：（1）面积法 证明：过点M作MEAB于点E，MFAC于点F，过点A作ADBC于D，AM平分BAC，MEAB，MFAC，ME=MFSABM=AB
8、ME，SACM=ACMF，SABM：SACM=（ABME）：（ACMF）=AB：ACADBC，SABM=BMAD，SACM=MCADSABM：SACM=（BMAD）：（MCAD）=BM：MC，BM：MC= AB：AC（2）相似法 证明：过点C作CNAB交AM的延长线于N ，则ABMNCM，AB：NC=BM：CM；又可证明CAN=ANC，AC=CN，AB：AC=MB：MC。同学们掌握这个定理可以快速解决线段比的问题。角平分线定理练习题1. 已知，RtABC中，C=90，AD平分BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为（）A. 18 B. 16 C. 14 D. 1
9、22. 在ABC中，BAC=90，AB=3，AC=4，AD平分BAC交BC于D，则BD的长为（）A. B. C. D. 3. 如图，在ABC中，C=90，B=30，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数有（） AD是BAC的平分线； ADC=60； 点D在AB的中垂线上； SDAC：SABC=1：3。A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4. 如图，AD是ABC的角平分线，DFAB，垂足为F，DE=DG，ADG和AED的面积分别为50和39，则EDF的面积为（
10、）A. 11 B. 5.5 C. 7 D. 3.55. 如图，ABC的外角ACD的平分线CE与内角ABC平分线BE交于点E，若BAC=70，则CAE= 。. 6. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分BAC交BD于点E，则BE的长为 。7. 如图，RtABC中，C=90，AD平分CAB，DEAB于E，若AC=6，BC=8，CD=3。（1）求DE的长；（2）求ADB的面积。试题答案1. C 解析：BC=32，BD：DC=9：7CD=14；C=90，AD平分BAC，D到边AB的距离CD=14。故选C。2. A 解析：BAC=90，AB=3，AC=4，BC=5，B
11、C边上的高=345=，AD平分BAC，点D到AB、AC上的距离相等，设为h，则SABC=3h+4h=5，解得h=，SABD=3=BD，解得BD=。故选A。3. D 解析： 根据作图的过程可知，AD是BAC的平分线。故正确； 如图，在ABC中，C=90，B=30，CAB=60。又AD是BAC的平分线，1=2=CAB=30，3=90-2=60，即ADC=60。故正确； 1=B=30，AD=BD，点D在AB的中垂线上。故正确；如图，在直角ACD中，2=30，CD=AD， BC=CD+BD=AD+AD=AD，SDAC=ACCD=ACAD。SABC=ACBC=ACAD=ACAD，SDAC：SABC=AC
12、AD：ACAD=1：3。故正确。综上所述，正确的结论是：，共有4个。故选D。4. B 解析：作DM=DE交AC于M，作DNAC于点N，DE=DG，DM=DG，AD是ABC的角平分线，DFAB，DF=DN，在RtDEF和RtDMN中，DN=DF，DM=DE，RtDEFRtDMN（HL），ADG和AED的面积分别为50和39，SMDG=SADG-SADM=50-39=11，SDNM=SEDF= SMDG= 11=5.5。故选B。5. 55 解析：过点E作EFBD于点F，作EGAC于点G，作EHBA于点H，ABC的外角ACD的平分线CE与内角ABC平分线BE交于点E，EH=EF，EG=EF，EH=E
13、G，AE是CAH的平分线，BAC=70，CAH=110，CAE=CAH=55。故答案为55。6. 2-2 解析：过点E作EMAB于M，四边形ABCD是正方形，AOBD，AO=OB=OC=OD，则由勾股定理得：2AO2=22，AO=OB=，EMAB，BOAO，AE平分CAB，EM=EO，由勾股定理得：AM=AO=， 正方形ABCD，MBE=45=MEB，BM=ME=OE，在RtBME中，由勾股定理得：2ME2=BE2，即2（2-）2=BE2，BE=2-2，故答案为2-2。7. 解：（1）AD平分CAB，DEAB，C=90，CD=DE，CD=3，DE=3；（2）在RtABC中，由勾股定理得：AB=10，ADB的面积为SADB=ABDE=103=15。
