1、11.1 因式分解第十一章 因式分解导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学习目标1.解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.（重点）2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.（难点）导入新课导入新课复习引入问题1：21能被哪些数整除？1，3，7，21.问题2：你是怎样想到的？因为21=121=37.思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？可以.探究引入完成下列题目：x(x-2)=_(x+y)(x-y)=_(x+1)2=_x2-2xx2-y2x2+2x+1根据左空，解决下列问题：x2-2x=()()x2-y2=()()x2+2x+1=()2xx-2x
2、+yx-yx+1讲授新课讲授新课因式分解的概念一联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式.区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.问题2：右边一栏表示的正是多项式的因式分解，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？总结归纳像这样，把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做将多项式分解因式.其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：辩一辩 A.x(ab)=axbx B.x21+y2=(x1)(x+1)+y2 C.y21=(y+1)
3、(y1)D.ax+by+c=x(a+b)+c E.2a3b=a22ab F.(x+3)(x3)=x29提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多项式(2)右边是积的形式.(3)右边的因式全是整式.因式分解与整式乘法的关系二问题：因式分解与整式乘法的关系是什么？多项式 (整式)(整式)(整式)两者互为逆运算.因式分解整式乘法例 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x2）（x+3），求a，b的值.解：因为x2+ax+b=a（x2）（x+3）=ax2+ax-6a.所以a=1，b=6典例精析方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再
4、与多项式的各项系数对应比较即可.下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是（）Ax2y2 Bx2+y2Cx2+y2 Dx2y2B练一练当堂练习当堂练习2.下列从左到右的变形中，是因式分解的有_.24x2y=4x6xy （x+5）（x5）=x225 x2+2x3=（x+3）（x1）9x26x+1=3x（x2）+1 x2+1=x（x+）3xn+2+27xn=3xn（x2+9）1.下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（）A.a(a+b-1)=a2+ab-a B.a2-a-2=aa-1)-2C.-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b)D.C3.把多项式x2+4mx+5因式分解
5、得（x+5）（x+n），则m+n的值为解析：由题意可得 x2+4mx+5=（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，5n=5，4m=n+5 解得n=1，m=，m+n=1+=.525232324.若多项式x4+mx3+nx16含有因式(x2)和(x1)，求mn的值.解：因为x4+mx3+nx16的最高次数是4，所以可设x4+mx3+nx16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b 比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n 解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20.
6、所以mn=520=1005.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1）(x+9)，求a+b的值.解：分解因式甲看错了b，但a是正确的，其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，所以a=6，同理，乙看错了a，但b是正确的，分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10 x+9，所以b=9，因此a+b=15课堂小结课堂小结因式分解定义：把一个多项式分解成几个整式_的形式，叫做多项式的因式分解，也叫将多项式_.其中，每个整式叫做这个多项式的_.与多项式乘法运算的关系 的变形过程.前者是把一个
7、多项式化为几个整式的_.，后者是把几个整式的_化为一个_.乘积 分解因式 因式 相反 多项式 乘积 乘积 课后作业课后作业导入新课讲授新课当堂练习课堂小结11.2 提公因式法第十一章 因式分解学习目标1.能确定多项式的公因式.（重、难点）2.能熟练运用提公因式法把多项式因式分解.(重点）导入新课导入新课问题引入问题1：多项式ma+mb+mc有哪几项？问题2：每一项的因式都分别有哪些？问题3：这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因 式是什么？ma,mb,mc依次为m,a和m,b和m,c有，为m问题4：请说出多项式ab2-2a2b中各项的公共的因式.a,b,ab例 找 3x 2 6 xy 的公因
8、式.系数：最大公约数3字母：相同的字母x 所以公因式是3x.指数：相同字母的最低次幂1典例精析u正确找出多项式各项公因式的关键是：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 约数.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 字母最低次幂.要点归纳写出下列多项式的公因式.（1）x-x2；（2）abc+2a；（3）abc-b2+2ab；（4）a2+ax2；练一练xaba提公因式法分解因式二问题：ma+mb+mc=m()ab2-2a2b=ab()(提示，逆用乘法分配律）概念学习逆用乘法对加法的分配律，可以把公因式写在括号外边，作为积的一个
9、因式，这种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.a+b+cb-2a 思考：以下是三名同学对多项式2x2+4x分解因式的结果：（1）2x2+4x=2(x2+2x)；（2）2x2+4x=x(2x+4)；（3）2x2+4x=2x(x+2).第几位同学的结果是正确的？用提公因式法分解因式应注意哪些问题呢？做乘法运算来检验易得第3位同学的结果是正确的.例2：把下列多项式分解因式：(1)-3x2+6xy-3xz；(2)3a3b+9a2b2-6a2b.方法归纳：用提公因式法分解因式应注意：(1)如果多项式的第一项系数是负数,一般要先提出负因数，保证括号内首项为正.(2)公因式的系数是负号时，提公因式后各项
10、要变号.例3：把分解因式：2a(b+c)-5(b+c).解：2a(b+c)-5(b+c)=(b+c)2a+(b+c)5 =(b+c)(2a-5).方法归纳：公因式可以是数字，字母，单项式，公因式可以是数字，字母，单项式，还可以是多项式还可以是多项式.提公因式法步骤（分两步）：第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.运用提公因式法分解因式常常运用到整体思想，整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.要点归纳当堂练习当堂练习1.下列多项式：4a2b（ab）6ab2（ba）中，各项的公因式是（）A4ab
11、B2abCab（ab）D2ab（ab）D2.多项式8xmyn112x3myn的公因式是（）AxmynBxmyn1C4xmynD4xmyn1解析：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大 公约数，为4；（2）字母取各项都含有的相同字母，为xy；（3）相同字母的指数取次数最低的，x为m次，y为n-1次；多项式的公因式是4xmyn1D3.把多项式4a3+4a216a分解因式（）Aa（4a24a+16）Ba（4a2+4a16）C4（a3a2+4a）D4a（a2a+4）D4.若ab=3，a2b=5，则a2b2ab2的值是（）A15 B15 C2 D8解析：因为ab=3，a2b=5，所以a2b2ab2=a
12、b（a2b）=35=15A5.计算（3）m+2（3）m1，得（）A3m1 B（3）m1C（3）m1 D（3）m解析：（3）m+2（3）m1 =（3）m1（3+2）=（3）m1C系数：各项系数的_.课堂小结课堂小结提公因式法一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的_，简称多项式的公因式.确定公因式字母：各项_的字母相同字母的指数取次数_.定义：逆用乘法对加法的_律，可以把_写在括号外边，作为积的一个_，这种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.最大公约数 相同 最低的 分配公因式公因式因式课后作业课后作业导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 平方差公式 11.3 公式法第十一
13、章 因式分解学习目标1.能说出平方差公式的结构特征（重点）2.能较熟练地应用平方差公式分解因式（难点）导入新课导入新课复习引入问题1：上节课我们学习了提公因式法分解因式，如2x+xy-xz=x(2+y-z).如果一个多项式的各项不具备公因式，是否就不能因式分解了呢？当然不是，还要寻找其他方法.问题2：观察乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.判断一下，把这个式子从左边到右边反过来，是否是因式分解？是，式子反过来就是a2-b2=(a+b)(a-b).左边是一个多项式，右边是几个整式的乘积，所以是分解因式.问题：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a,b两数的平方差的形式.)(
14、baba-+=22ba-)(22bababa-+=-整式乘法因式分解因式分解平方差公式：讲授新课讲授新课用平方差公式分解因式一如果一个多项式可化为两个整式的平方差的形式，那么它就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与这两个整式的差的积.归纳总结(a+b)(a-b)=a2-b2是整式乘法中的平方差公式；a2-b2=(a+b)(a-b)是因式分解中的平方差公式.典例精析例1 把下列各式分解因式：(1)4x2-9y2；(2)(3m-1)2-9 (2)(3m-1)2-9=(3m-1)2-32 =(3m-1+3)(3m-1-3)=(3m+2)(3m-4).解：(1)4x2-9y2 =(2x)2-
15、(3y)2 =(2x+3y)(2x-3y).方法归纳：平方差公式中的a、b，是形式上的两个“数”，它们可以表示单项式，也可以表示多项式.例2 分解因式：x4-y4解：x4-y4 =(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y).方法归纳：分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.例3 把下列各式分解因式：(1)a3-16a；(2)2ab3-2ab.解：(1)a3-16a =a(a2-16)=a(a+4)(a-4)(2)2ab3-2ab =2ab(b2-1)=2ab(b+1)(b-1).方法归纳：当多项式有公因式时，应先提出公因式，再看能否利用平方差公式进行因式分解.例
16、4 已知 a-b=1,求a2-b2-2b的值.解：因为 a-b=1 所以a2-b2-2b =(a+b)(a-b)-2b =(a+b)1-2b =a+b-2b =a-b =1当堂练习当堂练习1.将下列多项式分解因式：a2-25=_ 9a2-b2=_(a+b)2-9a2=_ -a4+16=_(a+5)(a5)(3a+b)(3a-b)(4a+b)(b-2a)(4+a2)(2+a)(2-a)2.因式分解的结果是（x+yz）（xy+z）的多项式是（）Ax2（y+z）2 B（xy）2z2C（xy）2+z2 Dx2（yz）2A3.已知：a2-b2=21,a-b=3，求代数式(a-3b)2的值.解：因为 a-
17、b=3，所以(a+b)(a-b)=21，所以 a+b=7 由 a-b=3和a+b=7解得 a=5,b=2 所以(a-3b)2 =(5-32)2=1.课堂小结课堂小结平方差公式分解多项式平方差公式：a2-b2=()()多项式的特征每一项都是整式的_.注意事项有公因式时，应先提出_.进行到每一个多项式都不能再分解为止.公因式 a+ba-b可化为_个整式.两项符号_.两 相反 平方 课后作业课后作业导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 完全平方公式 11.3 公式法第十一章 因式分解学习目标学习目标1.准确判断多项式是否符合完全平方公式的特点.（难点）2.能灵活运用完全平方公式进行因式分解.(重
18、点）导入新课导入新课情境引入问题1：整式乘法与因式分解的过程是互逆的，如果把学过的乘法公式反过来，则可进行某些多项式的因式分解，上节课我们已经学习了平方差公式因式分解.想一想，我们还学习了什么乘法公式？完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2问题2：将完全平方公式倒过来写，是不是因式分解？是，完全平方公式倒过来写即为：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2式子左边是多项式，右边是整式的乘积，所以它是因式分解.问题3：将那么什么样的多项式才可以用这个公式因式分解呢？请大家找出这个多项式的特点.讲授新课讲授新课用完全平方公式分解因
19、式一式的左边特点：(1)可化为三项式.(2)其中两项同号，且这两项能写成 两整式的平方和形式.(3)另一项是这两整式的乘积的2倍.式的左边特点：这两个整式的和或差的平方.整式乘法因式分解因式分解(a b)2 =a2 2ab +b2 a2 2ab +b2 =(a b)2 典例精析例1 下把下列各式分解因式：(1)t2+22t+121；(2)m2+n2-mn.14(2)m2+n2-mn=m2-2m n+(n)2 =(m-n)2.解：(1)t2+22t+121 =t2+211t+112 =(t+11)2.14121212 例2 把下列各式分解因式：(1)ax2+2a2x+a3；(2)-x2-y2+2
20、xy；解：(1)ax2+2a2x+a3 =a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2.先提出公因式a (2)-x2-y2+2xy =-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2.先提出公因式-1解：(3)(x+y)2-4(x+y)+4 =(x+y)2-2(x+y)2+22 =(x+y-2)2.(4)(3m-1)2+(3m-1)+=(3m-1)2+2(3m-1)+()2 =(3m-)214121212(3)(x+y)2-4(x+y)+4；(4)(3m-1)2+(3m-1)+.14把(x+y)看成一个整体把(3m-1)看成一个整体方法归纳：当多项式有公因式时，应先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分
21、解；完全平方公式中的a、b，既可以是单项式，也可以是多项式，把多项式看成一个整体即可.例3 把下列完全平方公式分解因式：1002210099+99 解：原式=（10099）=1.本题利用完全平方公式分解因式的方法，大大减少计算量，结果准确.当堂练习当堂练习1.把下列多项式因式分解.（1）x212x+36，（2）4a2-4a+1.（2）原式=（2a）22a1+（1）=（2a 1）2.解：（1）原式原式 =x22x6+（6）2 =（x6）22.多项式4a+ma+9是完全平方式，那么m的值是（）A.6 B.12 C.12 D.12D解析：4a+ma+9=(2a)2+ma+32 因为多项式为完全平方式
22、 所以m=233=12(1)(1).yxyx2(20142013)1.22(2014)2 2014 2013(2013)解：原式222014201440262013.3.计算：4.分解因式：2221.yyx22(1)yx解：原式 5.已知x24xy210y290，求x2y22xy1的值解：因为x24xy210y290，所以x24x4y210y250，即(x2)2(y5)20.因为(x2)20，(y5)20，所以x20，y50，所以x2，y5，所以x2y22xy1(xy1)2 112121.课堂小结课堂小结完全平方公式分解多项式完全平方公式：a2+2ab+b2=()2 a2-2ab+b2=()2多项式的特征另一项是这两整式的_的_倍.注意事项有公因式时，应先提出_.公因式 a+ba-b可化为_个整式.有两项符号_,能写成两个整式的_的形式.三 相同 平方和 乘积 2 运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫做公式法.课后作业课后作业
