1、2021届福建省普通高中学业水平合格性考试（会考 ）适应性练习（四）数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【分析】求出集合，再利用集合的交运算即可求解.【详解】，所以.故选：A2我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A134石B169石C338石D1365石【答案】B【详解】设夹谷石，则，所以，所以这批米内夹谷约为石，故选B.【解析】用样本的数据特征估计总体.3在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11（ ）A58B88C143D176【答案
2、】B【解析】试题分析：等差数列前n项和公式，【解析】数列前n项和公式4从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B【解析】古典概型及其概率的计算5在同一直角坐标系中，函数， （，且）的图象可能是（ ）ABCD【答案】D【分析】利用函数过定点，排除AC，利用单调性排除B，从而可得答案.【详解】因为函数过定点，故排除AC选项；对于B，由图可知函数单调递增，可得，函数单调递增，可得，而与不能同时成立，所以B不合题意，排除B选项.故选：D.【点睛】方法
3、点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6已知向量满足，则（ ）A4B3C2D0【答案】B【分析】直接利用平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】因为， 所以，故选：B.7某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）年月日年月日 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ）A升B升C升D升【答
4、案】B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升. 而这段时间内行驶的里程数千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B.【解析】平均变化率.8在中， 将三角形绕AC旋转一周得到圆锥，记其体积为；将三角形绕BC旋转一周， 得到圆锥，记其体积为，则（ ）ABCD【答案】B【分析】根据圆锥的定义，可得两个圆锥的底面半径与高，分别求出两个圆锥的体积，进而可得答案.【详解】因为， 所以是直角三角形，两条直角边分别是，由圆锥的定义可得：将三角形绕AC旋转一周得到的圆锥的底面半径为2，高为1，其体积为；将三角形绕BC旋转一周得到的圆锥的底面半径为1，
5、高为2，其体积为；，即，故选：B.9已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：圆的圆心为点，又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率由点斜式得直线，化简得，故选D【解析】1、两直线的位置关系；2、直线与圆的位置关系.10已知是球的球面上两点，为该球面上的动点若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【分析】当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，利用三棱锥体积的最大值为36，求出半径，即可求出球的表面积【详解】解：如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选：【
6、点睛】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大是关键，属于中档题11在长为12cm的线段AB上任取一点C现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为ABCD【答案】C【解析】试题分析：设AC=x，则BC=12-x（0x12）矩形的面积S=x（12-x）20x2-12x+2002x10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率【解析】几何概型12“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三
7、个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为ABCD【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.13过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】先设直线点
8、斜式，再根据圆心到直线距离小大于半径得斜率范围，最后根据斜率与倾斜角关系得结果.【详解】由题意得直线斜率存在，设为k，则直线：，由直线与圆有公共点得，从而倾斜角取值范围是，选D.【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力.14已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为若，则（ ）ABCD【答案】C【分析】先根据原函数的奇偶性及周期性确定的值，然后得到的解析式，再根据确定，最后求解的值.【详解】因为函数是奇函数，且其最小正周期为，所以，则，得又，所以，故，所以，.故选：C.【点睛】本题考查型函数的图
9、象及性质，难度一般.解答时先要根据题目条件确定出、及的值，然后解答所给问题.15如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度BC等于（ ）ABCD【答案】C【详解】，所以.故选C.二、填空题16 设，使不等式成立的的取值范围为_.【答案】【分析】通过因式分解，解不等式【详解】，即，即，故的取值范围是【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集容易出现的错误有：未将二次项系数化正，对应错标准形式；解方程出错；结果未按要求写成集合17已知数列
10、中， （），则数列的前9项和等于_【答案】27【分析】先判断数列是以1为首项，以为公差的等差数列，再利用等差数列求和公式求解即可.【详解】因为（）所以（），又因为，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，则数列的前9项和，故答案为：27.18若实数、满足约束条件，则的最大值是_.【答案】10【分析】画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线到可行域边界处，由此求得目标函数的最大值为.故答案为【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的思想方法，属于基础题.19若x，y为正数，且，则的最大值为_.【答案】【分
11、析】利用基本不等式由求解.【详解】由，当且仅当，即时，取等号，解得，即的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20对于函数（），给出下列判断：当时，函数为奇函数；函数的图象关于点对称；当，时，函数的最小值为1其中正确的判断是_【答案】【分析】利用奇偶性的定义判断是否正确；利用函数图象的平移变换判断是否正确；再分析函数的单调性判断是否正确.【详解】对于，当时，则，所以为奇函数，故正确；对于，由可知函数为奇函数，图象关于原点对称，而看作是由的图象向上或向下平移个单位而得到，故图象关于对称，正确；对于，当时，因为函数在上递减，所以，最大值为，故错
12、.故答案为：.三、解答题21在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,SABC=3,求A和a.【答案】，【解析】试题分析：先由数量积公式及三角形面积公式得,由此求A,再利用余弦定理求a.试题解析：因为，所以，又，所以，因此，又，所以，又，所以.由余弦定理，得，所以.【解析】解三角形【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法注意体会其中蕴
13、涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想22某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费，超出立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当时，估计该市居民该月的人均水费【答案】（）3；（）10.5元.【解析】试题分析：（1）根据水量的频率分布直方图知月用水量不超过立方米的居民占，所以至少定为；（2）直接求每个数据用该组区间的右端
14、点值与各组频率的乘积之和即可.试题解析：（1）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间内的频率依次为所以该月用水量不超过立方米的居民占，用水量不超过立方米的居民占依题意，至少定为（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：（元）【解析】1、频率分布直方图的应用；2、根据频率分布直方图求平均值.23已知函数是奇函数（1）求a的值；（2）判断函数的单调性并用定义证明【答案】（1）；（2）函数是区间上的增函数证明见解析.【分析
15、】（1）由是定义在上的奇函数，可得，解得，再验证奇偶性即可；（2）任取，作差、分解因式可得，判断即可得答案.【详解】（1）由题意可得，是定义在上的奇函数，所以，解得此时， 故是奇函数，符合题意；（2）函数是区间上的增函数，证明如下：设，是区间上的任意两个数，且，则因为，所以，则有，即，即证得函数是区间上的增函数【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.24如图已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，点是棱的中点，点在棱上，
16、且，平面.（1）求实数的值； （2）求三棱锥的体积.【答案】（1）（2） 【解析】【试题分析】（1）运用空间三角形的相似建立等式求解；（2）先确定三棱锥的高，再运用三棱锥的体积公式求解：（）连接，设，则平面平面，/平面，/， ， （），又 ， 平面， 所以25已知点，动点Q满足 （1）求动点Q的轨迹方程C（2）若曲线C与y轴的交点为A，B（A在B上方），且过点的直线l交曲线C于M，N两点若M，N都不与A，B重合，是否存在定直线m，使得直线AN与BM的交点G恒在直线m上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）设动点，可得，再化简即可得结果；（2）
17、根据圆的对称性，点G落在与y轴垂直的直线上，利用特殊位置猜想点G落在定直线，再证明任意直线AN与BM的交点G恒在直线即可.【详解】（1）设动点整理得：经检验得点Q的轨迹方程C为（2）根据圆的对称性，点G落在与y轴垂直的直线上令，则直线即，与圆C： 联立得：，则直线所以直线与的交点，猜想点G落在定直线证明如下：设，由得：，直线，直线BM：，消去x得要证：点G落在定直线上，只需证：即证：，即证：，即证：即证：，显然成立所以直线AN与BM的交点G在一条定直线上【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有:直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；逆代法，将代入.
