1、2020-2021中考专题复习：二次函数的图象及其性质一、选择题1. 二次函数y2x2，y2x2，yx2的共同性质是()A其图象开口都向上B其图象的对称轴都是y轴C其图象都有最高点Dy随x的增大而增大 2. 在平面直角坐标系中，二次函数ya(xh)2 的图象可能是() 3. 要将抛物线yx22x3平移后得到抛物线yx2，下列平移方法正确的是()A. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位B. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位C. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 4. 已知二次函数yx2xm1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是()Am5 Bm2
2、 Cm5 Dm2 5. (2020绥化)将抛物线y2(x3)22向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是( )Ay2(x6)2 By2(x6)24 Cy2x2 Dy2x246. 已知抛物线yax2bxc(ba0)与x轴最多有一个交点现有以下四个结论：该抛物线的对称轴在y轴左侧；关于x的方程ax2bxc20无实数根；abc0；的最小值为3.其中，正确结论的个数为()A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，二次函数yax2bxc的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OAOC.有下列结论：abc0；acb10；OAOB.其中正确的结论有()A4个
3、 B3个 C2个 D1个8. 如图，将函数y(x2)21的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A，B.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数解析式是()Ay(x2)22 By(x2)27Cy(x2)25 Dy(x2)24 二、填空题9. 如果二次函数ya(xh)2k的图象的顶点坐标为(1，3)，那么它的对称轴为直线x_，k的值为_ 10. 已知二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是. 11. (2019荆州)二次函数的最大值是_12. (2019株洲)若二次函数的图象开口向下，则_0
4、(填“=”或“”或“0;a-b+c0;当-1x0，正确的是(填写序号). 16. 已知函数yax2c的图象与函数y3x22的图象关于x轴对称，则a_，c_ 三、解答题17. 画出二次函数y(x1)2的图象，根据图象回答下列问题：(1)求当2x1时，y的取值范围；(2)求当0x3时，y的取值范围 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC90，A(1，0)，B(0，2)，抛物线yx2bx2过点C.求抛物线的解析式19. 已知抛物线yx2bxc经过点(2，3)和(4，5)(1)求抛物线的函数解析式及顶点坐标；(2)将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的函数解析式；(
5、3)在(2)的条件下，当2x2时，直线ym与图象G有一个公共点，求m的取值范围20. 如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由 21. 正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点
6、(1)建立适当的平面直角坐标系，直接写出O，P，A三点坐标；求抛物线L的解析式；(2)求OAE与OCE面积之和的最大值 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc经过点A(2，0)，B(8，0)(1)求抛物线的解析式；(2)点C是抛物线与y轴的交点，连接BC、AC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PDBC，垂足为点D.是否存在点P，使线段PD的长度最大，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；当PDC与COA相似时，求点P的坐标 2020-2021中考专题复习：二次函数的图象及其性质-答案一、选择题1. 【答案】B 2. 【答案】D 3. 【答案】D【解析】yx22x
7、3(x1)22，该抛物线的顶点坐标是(1，2)，抛物线yx2的顶点坐标是(0，0)，则平移的方法可以是：将抛物线yx22x3向右移1个单位，再向下平移2个单位得抛物线yx2. 4. 【答案】A解析 抛物线yx2xm1与x轴有交点，b24ac0，即(1)241(m1)0，解得m5. 5. 【答案】【答案】C【解析】原抛物线的顶点是(3，2)，平移后的顶点是(0，0)，因此平移后所得抛物线的解析式是y2x2故选C6. 【答案】D【解析】序号逐项分析正误ba0，对称轴0，即对称轴在y轴左侧抛物线yax2bxc与x轴最多有一个交点，且抛物线开口向上，yax2bxc0，方程ax2bxc20即ax2bxc
8、2无实数根由得yax2bxc0，当x1时，abc0当x2时，y4a2bc0，abc3b3a，abc3(ba)，ba，37. 【答案】B解析 抛物线开口向下，a0.抛物线的对称轴在y轴的右侧，b0.抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，abc0，故正确抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，而a0，0，故错误C(0，c)，OAOC，A(c，0)把(c，0)代入yax2bxc，得ac2bcc0，acb10，故正确设A(x1，0)，B(x2，0)，二次函数yax2bxc的图象与x轴交于A，B两点，x1和x2是方程ax2bxc0的两根，x1x2.又x10，OAOB，故正确故选B.8. 【答案】D解析 如图
9、，连接AB，AB，则S阴影S四边形ABBA.由平移可知，AABB，AABB，所以四边形ABBA是平行四边形分别延长AA，BB交x轴于点M，N，因为A(1，m)，B(4，n)，所以MN413.因为S阴影AAMN，所以93AA，解得AA3，即原抛物线沿y轴向上平移了3个单位长度，所以新图象的函数解析式为y(x2)24. 二、填空题9. 【答案】13 10. 【答案】k0，即(-4)2-41k0.解得k4. 11. 【答案】7【解析】，即二次函数的最大值是7，故答案为：712. 【答案】【解析】二次函数的图象开口向下，故答案为：13. 【答案】yx22解析 二次函数yx21的图象向上平移3个单位长度
10、，平移后的纵坐标增加3，即yx213x22. 14. 【答案】1015. 【答案】解析根据图象可得:a0，对称轴:直线x=-b2a=1，b=-2a.a0，故正确;把x=-1代入y=ax2+bx+c，得y=a-b+c.由抛物线的对称轴是直线x=1，且过点(3，0)，可得当x=-1时，y=0，a-b+c=0，故错误;当x=1时，y=a+b+c0.b=-2a，-b2+b+c0，即b+2c0，故正确;由图象可以直接看出正确.故答案为:. 16. 【答案】32 三、解答题17. 【答案】解：画出二次函数y(x1)2的图象如图所示：(1)当2x1时，y的取值范围是4y9.(2)当0x3时，y的取值范围是0
11、y4. 18. 【答案】解：如图，过点C作CDx轴于点D，则DACDCA90.又OBAOAB90，OABDAC90，OABDCA，OBADAC.又ABCA，AOBCDA，OACD1，ADOB2，ODOAAD3，C(3，1)点C(3，1)在抛物线yx2bx2上，1323b2，b，抛物线的解析式为yx2x2.19. 【答案】解：(1)根据题意得解得抛物线的函数解析式为yx22x3.yx22x3(x1)24，抛物线的顶点坐标为(1，4)(2)如图，根据题意，得yx22x3，yx22x3.(3)yx22x3(x1)24，即图象G的顶点坐标为(1，4)若0x2，当直线ym过图象G的顶点(1，4)时，直线
12、ym与图象G有一个公共点，此时y4，m4.若2x0，直线ym与图象G有一个公共点，当ym过图象G上的点(0，3)时，y3，m3；当ym过图象上G的点(2，5)时，y5，m5，5m3.综上可知在2x2范围内，当直线ym与图象G有一个公共点时，m4或5m3.20. 【答案】(1)如图2，当E在OA上时，由可知，点E的坐标为(2b,0)，OE2b此时SSODE如图3，当E在AB上时，把y1代入可知，点D的坐标为(2b2,1)，CD2b2，BD52b把x3代入可知，点E的坐标为，AE，BE此时SS矩形OABCSOAE SBDE SOCD (2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线D
13、E对称，因此DMDN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形作DHOA，垂足为H由于CD2b2，OE2b，所以EH2设菱形DMEN的边长为m在RtDEH中，DH1，NH2m，DNm，所以12(2m)2m2解得所以重叠部分菱形DMEN的面积为 图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为，如图7所示 图5 图6 图7 21. 【答案】(1)【思路分析】建立坐标系时应使正方形内抛物线上点的坐标是正数，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，即可表示出O、P、A三点的坐标；用
14、待定系数法即可求得抛物线的解析式解：如解图，以OA所在的直线为横轴，水平向右为正方向，以OC所在直线为纵轴，垂直向上为正方向，建立平面直角坐标系O(0，0)，P(2，2)，A(4，0)；(3分) 设抛物线L的解析式为yax2bxc，将点O，P，A的坐标分别代入yax2bxc，得，解得，抛物线L的解析式为yx22x.(6分)(2)【思路分析】用点E的横坐标表示OAE与OCE的面积之和，根据二次函数的性质即可确定最大值解：设点E的横坐标为m.点E在正方形内的抛物线上，点E的纵坐标为m22m, SOAESOCE4(m22m)4mm26m(m3)29.(10分)当m3时，OAE与OCE的面积之和的值最
15、大，最大值是9.(12分) 22. 【答案】(1)将A(2，0)，B(8，0)代入yx2bxc得，解得，抛物线的解析式为yx2x4；(2)由(1)知C(0，4)，又B(8，0)，易知直线BC的解析式为yx4.如解图，过点P作PGx轴于点G，PG交CB于点E，解图OB=8，OC=4，BC=.在RtPDE中，PDPEsinPEDPEsinOCBPE=PE，当线段PE最长时，PD的长度最大设P(t，t2t4)，则E(t，t4)，即PGt2t4，EGt4，PEPGEGt22t(t4)24(0t8)，当t4时，PE有最大值4，此时点P坐标为(4，6)，即当P点坐标为(4，6)时，PD的长度最大；由A(2
16、，0)，B(8，0)，C(0，4)，易知ACB90，COABOC，当RtPDC与RtCOA相似时，就有RtPDC与RtBOC相似，相似三角形对应角相等，PCDCBO或PCDBCO.(i)如解图，若PCDCBO(RtPDCRtCOB)，此时有CPOB，解图C(0，4)，yP4，x2x44，解得x6或x0(舍去)，即RtPDCRtCOB时，P(6，4)；(ii)若PCDBCO(RtPDCRtBOC)，如解图，过点P作x轴的垂线，与x轴交于点G，与直线BC交于F，解图PFOC，PFCBCO，PCDPFC，PFPC，设P(n，n2n4)，依题意，易知n0，由(1)可知PFn22n，过点P作y轴的垂线，垂足为N，在RtPNC中，PC2PN2NC2n2(n2n4)42n4n3n2，PFPC，PF2PC2，解得n3，即RtPDCRtBOC时，P(3，)；综上所述，当RtPDC与RtCOA相似时，点P的坐标为(6，4)或(3，)
