1、课时作业梯级练四十数 列 求 和一、选择题(每小题5分，共25分)1数列an的通项公式是an，若前n项和为10，则项数n为()A120 B99 C11 D121【解析】选A.an，所以a1a2an(1)()()110.即11，所以n1121，n120.2(2021濮阳模拟)设数列的前n项和为Sn，且a12，anan12n(nN*)，则S2 020()ABCD【解析】选C.由题意知，S2 020a1a2a2 020(a1a2)(a3a4)(a2 019a2 020)212322 019.3已知数列满足an1an1，且a11，a23，则数列的前6项的和为()A115 B118 C120 D128【
2、解析】选C.由a2a1113，得2，可得an12an1，可化为an112，所以an12n，所以an2n1，则数列前6项的和为(22226)66120.4数列的前n项和为Sn2n1，则()A2 B4 C8 D16【解析】选B.当n1时，S11，即a11；当n2时，SnSn1(2n1)(2n11)2n1，则ann2n1.a11满足ann2n1，所以，对任意的nN*，ann2n1.设Sa2a3a112232211210，则2S2221021011211，得，S1121122112112210211，因此4.5已知数列an满足a11，an1an2n(nN*)，Sn是数列an的前n项和，则S2 020(
3、)A22 0201B321 0103C321 0101D322 0202【解析】选B.依题意得anan12n，an1an22n1，于是有2，即2，数列a1，a3，a5，a2n1，是以a11为首项，2为公比的等比数列；数列a2，a4，a6，a2n，是以a22为首项，2为公比的等比数列，于是有S2 020(a1a3a5a2 019)(a2a4a6a2 020)321 0103.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2018全国卷)记Sn为数列的前n项和,若Sn=2an+1,则S6=.【解析】依题意,作差得an+1=2an,所以数列an是公比为2的等比数列,又因为a1=S1=2a1+1,所以a1=
4、-1,所以an=-2n-1,所以S6=-63.答案:-637.(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,a10,a2=3a1,则=.【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a10,d0),所以=4.答案:48.(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=,=a6,则S5=.【解析】设等比数列的公比为q,由已知a1=,=a6,所以=q5,又q0,所以q=3,所以S5=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列an满足:a1=1,a2=2,2an=an-1+an+1(n2,nN*),数列bn满足b1=2,anbn+1
5、=2an+1bn.(1)求数列an的通项an,并求证:数列为等比数列;(2)求数列bn的通项公式及其前n项和Sn.【解析】(1)因为2an=an-1+an+1(n2,nN*),所以an是等差数列,又因为a1=1,a2=2,所以an=1+(n-1)1=n.因为an=n,所以nbn+1=2(n+1)bn,所以=2,所以是以=2为首项,q=2为公比的等比数列.(2)由(1)可知,所以=22n-1,bn=n2n,Sn=121+222+323+n2n,2Sn=122+223+324+n2n+1,-得:-Sn=21+22+23+2n-n2n+1,化简得:Sn=(n-1)2n+1+2.10已知数列an的各项
6、均为正数，且a2nan(2n1)0，nN*.(1)求数列an的通项公式(2)若bn2nan，求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)由a2nan(2n1)0得an(2n1)(an1)0，所以an2n1或an1，又数列an的各项均为正数，负值应舍去，所以an2n1，nN*.(2)因为bn2nan2n(2n1)，所以Tn232252372n(2n1)，2Tn2232352n(2n1)2n1(2n1)，由得Tn62(22232n)2n1(2n1)622n1(2n1)22n1(12n).所以Tn(2n1)2n12.1已知等比数列an的首项为，公比为，其前n项和为Sn，则Sn的最大值为()A B C D
7、【解析】选D.因为等比数列an的首项为，公比为，所以Sn1，当n取偶数时，Sn11；当n取奇数时，Sn11.所以Sn的最大值为.2求1的值为()A2B1CD2【解析】选D.因为2，所以1222.3已知数列an的前n项和为Sn，通项公式ann(1)n1，则S17()A10 B9 C8 D7【解析】选B.S171234561516171(23)(45)(1415)(1617)11119.【一题多解】解决本题还可以采用以下方法：选B.S17123456151617(1317)(2416)81729.【加练备选拔高】已知数列的前n项和Sn=n2,bn=(-1)nan,则数列的前n项和Tn满足()A.T
8、n=(-1)nnB.Tn=nC.Tn=-nD.Tn=【解析】选A.因为Sn=n2,所以当n=1时,a1=S1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-=2n-1,又当n=1时,a1=1符合上式,所以an=2n-1,所以bn=(-1)nan=(-1)n,所以Tn1(1)13(1)25(1)3(1)n(2n1)；所以Tn1(1)23(1)35(1)4(1)n1(2n1)； 得，2Tn12(1)2(1)3(1)4(1)n(2n1)(1)n112(2n1)(1)n12(1)nn.所以数列的前n项和为Tn(1)nn.4求和321422523(n2)2n.【解析】设Sn321422523(n2)2n，S
9、n322423524(n2)2(n1)，则Sn32122232n(n2)2(n1)1(n2)2n12(n2)2n1，Sn4，Sn4.5已知等差数列an的公差为d，且方程a1x2dx30的两个根分别为1，3.(1)求数列an的通项公式(2)若bn2an2an，求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)由题知，解得故数列an的通项公式为ana1(n1)d1(n1)22n1.(2)由(1)知bn2an2an22n12(2n1)4n2，则Sn(442434n)(26104n2)2n2.1已知函数f(x)ax21的图象在点A(1，f(1)处的切线l与直线8xy20平行，若的前n项和为Sn，则S2 020的值为()A BC D【解析】选D.因为f(x)2ax，所以f(1)2a8，得a4，所以f(x)4x21，故，所以S2 020.2设数列，a11，且an，an1为方程x2nxcn0(nN*)的两个实数根，数列的通项bn，前n项和为Tn，则T2 019()A BC D【解析】选B.由题意可得anan1n，anan1cn，当n2，nN*时，由可得an1an11.因为a11，易解得an所以c2n1a2n1a2n2n(n1)，故bn，所以Tn(1)()()，所以T2 019.
