1、XX年九年级数学上4.4解直角三角形的应用教案新版湘教版4解直角三角形的应用第1课时俯角和仰角问题教学目标【知识与技能】比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题【过程与方法】通过学习进一步掌握解直角三角形的方法【情感态度】培养学生把实际问题转化为数学问题的能力【教学重点】应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题【教学难点】选用恰当的直角三角形，分析解题思路教学过程一、情景导入，初步认知海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25的c处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续
2、向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用二、思考探究，获取新知某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地海拔为3500的山峰顶点B处的水平距离你能帮他想出一个可行的办法吗？分析：如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AcBD，垂足为点c.先测量出海拔AE，再测出仰角BAc，然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离Ac.【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角如图，在离上海东方明珠塔底部1
3、000的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25，仪器距地面高为1.7.求上海东方明珠塔的高度解：在RtABc中，BAc25，Ac1000，因此tan25BcAcBc1000Bc1000tan25466.3，上海东方明珠塔的高度为466.31.7468米【教学说明】利用实际问题承载数学问题，提高了学生的学习兴趣教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题三、运用新知，深化理解如图，某飞机于空中A处探测到目标c，此时飞行高度Ac1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角1631，求飞机A到控制点B的距离分析：利用正弦可求解：在RtABc中sinBAcABABAcsinB1XX.284
4、34221答：飞机A到控制点B的距离约为4221米热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120.这栋高楼有多高?分析：在RtABD中，30，AD120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出cD，进而求出Bc.解：如图，30，60，AD120.tanBDAD，tancDAD，BDADtan120tan3012033403，cDADtan120tan6012031203.BDBDcD40312031603227.1答：这栋高楼约高277.1.如图，在离树Bc12米的A处，用测角仪测得树顶的仰角是30，测角仪AD
5、高为1.5米，求树高Bc.分析：本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点D作DEBc于E，把求cB的问题转化求BE的长，从而可以在BDE中利用三角函数解：过点D作DEBc于E，则四边形DEcA是矩形，DEAc12米cEAD1.5米在直角BED中，BDE30，tan30BEDE，BEDEtan3043米BcBEcE米广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30、45，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离cD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？分析：由于气球的高度为PAABFD，而AB1米，FD0.5米，故可设PAh米，根据题
6、意，列出关于h的方程可求解解：设APh米，PFB45，BFPB米，EABFcDh15米，在RtPEA中，PAAEtan30，htan30，气球的高度约为PAABFD8.210.59.7米【教学说明】巩固所学知识要求学生学会把实际问题转化成数学问题；根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结教师作以补充课后作业布置作业：教材“习题4.4”中第2、4、5题教学反思本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的
7、数学问题应选用适当的数学知识加以解决第2课时坡度和方位角问题教学目标【知识与技能】了解测量中坡度、坡角的概念；掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题【过程与方法】通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题【情感态度】进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力【教学重点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题【教学难点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题教学过程一、情景导入，初步认知如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大？显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明A1A.从图形可以看出
8、，B1c1A1c1BcAc，即tanA1tanA.【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣二、思考探究，获取新知坡度的概念，坡度与坡角的关系如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度，记作i，即iAcBc，坡度通常用l的形式，例如上图中的12的形式坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是itanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡如图，一山坡的坡度为i12，小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点c，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？如图，一艘船以40/h的速度向正东航行，在A处测得灯
9、塔c在北偏东60方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔c在北偏东30方向上，已知在灯塔c的四周30内有暗礁问这艘船继续向东航行是否安全？【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题学生独立完成三、运用新知，深化理解如图，在山坡上种树，要求株距是5.5，测得斜坡的倾斜角是24，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形解：已知：在RtABc中，c90，Ac5.5，A24，求AB.在RtABc中，cosAAcAB，ABAccosA5.50.91356.0答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约
10、是6.0米同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6，坝高23，斜坡AB的坡度i13，斜坡cD的坡度i12.5，求斜坡AB的坡面角，坝底宽AD和斜坡AB的长解：作BEAD，cFAD，在RtABE和RtcDF中，BEAE13，cFFD12.5AE3BE32369FD2.5cF2.52357.5ADAEEFFD69657.5132.5因为斜坡AB的坡度itan130.3333，所以1826.BEABsin，ABBEsin230.316272.7答：斜坡AB的坡角约为1826，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米庞亮和李强相
11、约周六去登山，庞亮从北坡山脚c处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发如图，已知小山北坡的坡度i13，山坡长为240米，南坡的坡角是45.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？解：过点A作ADBc于点D，在RtADc中，由i13得tanc1333，c30.AD12Ac12240120在RtABD中，B45，AB2AD120202120210122答：李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A.某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，Bc表示平台，cD表示滑道若点E，F均在线段AD上，四边形BcEF是矩形，且sinBAF23，BF3米，Bc1米，c
12、D6米求：D的度数；线段AE的长解：四边形BcEF是矩形，BFEcEF90，cEBF，BcFE，BFAcED90，cEBF，BF3米，cE3米，cD6米，cED90，D30.sinBAF23，BFAB23，BF3米，AB92米，AF232352米，AE3522米日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位
13、于海检船的南偏西36.9方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离分析：过点P作PcAB，构造直角三角形，设Pcx海里，用含有x的式子表示Ac，Bc的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答解：过点P作PcAB，垂足为c，设Pcx海里在RtAPc中，tanAPcAc，AcPctan67.55x12在RtPcB中，tanBPcBc，Bcxtan36.94x3从上午9时到下午2时要经过五个小时，AcBcAB215，5x124x3215，解得x60.sinBPcPB，PBPcsinB60sin36.96053100海检船所在B处与城市P的距离为100海里【教学说明】通过练习，巩固本节课
14、所学内容四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结教师作以补充课后作业布置作业：教材“习题4.1”中第1、6、7题教学反思通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决复习与提升教学目标【知识与技能】了解锐角三角函数的概念，熟记30、45、60的正弦、余弦和正切的函数值能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题【过程与方法】通过锐角三角
15、函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想【情感态度】通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用【教学重点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题【教学难点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题教学过程一、知识结构【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系二、释疑解惑，加深理解正弦的概念：在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比叫作角的正弦记作sin，即：sin角的对边斜边.余弦的概念：在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜边的比叫作角的余弦记作cos.即cos角的邻边斜边.正切的概念：在直角三角形中，我们把锐角的对边与邻
16、边的比叫作角的正切记作tan，即：tan角的对边角的邻边特殊角的三角函数值：三角函数sincostan01232226032三角函数的概念：我们把锐角的正弦、余弦、正切统称为角的锐角三角函数解直角三角形的概念：在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形仰角、俯角的概念：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角坡度的概念：坡面的铅垂线高度与水平前进的距离的比叫作坡度；记作i，坡度通常用l的形式；坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡【教学说明】引导学生回忆本章所学的有关概念，知识点加深学生
17、的印象三、运用新知，深化理解已知，如图，D是ABc中Bc边的中点，BAD90，tanB23，求sinDAc.解：过D作DEAB交Ac于E，则ADEBAD90，由tanB23，得ADAB23，设AD2，AB3，D是ABc中Bc边的中点，DE32在RtADE中，AE52，sinDAcDEAE325235.计算：tan230cos230sin245tan45解：原式2221133412712如图所示，菱形ABcD的周长为20c，DEAB，垂足为E，sinA35，则下列结论正确的个数为DE3c；BE1c；菱形的面积为15c2；BD210c.A1个B2个c3个D4个分析：由菱形的周长为20c知菱形边长是
18、5c.在RtADE中，AD5c，sinA35，DEADsinA5353AEAD2DE24BEABAE541菱形的面积为ABDE5315在RtDEB中，BDDE2BE2321210综上所述正确【答案】c如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离分析：由题意知，在ABP中A60，B45，APB75联想到两个三角板拼成的三角形因此很自然作PcAB交AB于c.解：过点P作PcAB，垂足为c，则APc30，BPc45，AP80，在RtAPc中，cosAPcPcPA.P
19、cPAcosAPc403，在RtPcB中，cosBPcPcPB，PBPccosBPc403cos45406当轮船位于灯塔P南偏东45方向时，轮船与灯塔P的距离是406海里【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认知水平，从而促进数学观点的形成和发展四、复习训练，巩固提高如图，ABc是等边三角形，P是ABc的平分线BD上一点，PEAB于点E，线段BP的垂直平分线交Bc于点F，垂足为点Q.若BF2，则PE的长为A2B23c33D3分析：ABc是等边三角形，点P是ABc的平分线上一点，EBPQBF30，BF2，FQBP，BQBFcos302323.FQ是BP的垂直
20、平分线，BP2BQ23.在RtBEP中，EBP30，PE12BP3.【答案】c如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下c点测得山顶A的仰角为45，然后沿坡角为30的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30，求山AB的高度解：过D作DEBc于E，作DFAB于F，设ABx，在RtDEc中，DcE30，cD100，DE20，cE503.在RtABc中，AcB45，Bcx.则AFABBFABDEx50，DFBEBccEx503.在RtAFD中，ADF30，tan30AFFD，x50x50333.x50236.6.答：山AB的高度约为236.6米如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度
21、，在c处测得ADG30，在E处测得AFG60，cE8米，仪器高度cD1.5米，求这棵树AB的高度解：根据题意得：四边形DcEF、DcBG是矩形，GBEFcD1.5米，DFcE8米设AGx米，GFy米，在RtAFG中，tanAFGtan60AGFGxy3，在RtADG中，tanADGtan30AGDGxy833，二者联立，解得x43，y4.AG43米，FG4米ABAGGB431.58.4这棵树AB的高度约为8.4米五、师生互动，课堂小结师生共同总结，对于本章的知识你掌握了多少？还存在哪些疑惑？同学之间可以相互交流课后作业布置作业：教材“复习题4”中第1、3、6、8、12、14题教学反思根据学生掌握的情况，对掌握不够好的知识点、题型多加练习、讲解力争更多的学生学好本章内容
