1、29.1 点与圆的位置关系第二十九章 直线与圆的位置关系导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.2.用图形表示点和圆的位置关系.（重点）3.用数量表示点和圆的位置关系.（重点）学习目标导入新课导入新课 你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？情境引入想一想问题1 足球运动员踢出的足球在球场上滚动，在足球穿越中圈区（中间圆形区域）的过程中，可将足球看成一个点，这个点与圆具有怎样的位置关系？讲授新课讲授新课用图形表示点与圆的位置关系一问题2：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？.o o.C.B.A.点与圆的位置关系有三种：点
2、在圆内，点在圆上，点在圆外.M,N及点A,B,C,D的位置如图所示，下列说法：(1)点A既在M外也在N外；(2)点B既在M上也在N上；(3)点C既在M内也在N内；(4)点D既在M内也在N内.其中，说法正确的有 （）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个DNMCBC练一练：A问题：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？点P在 O内 点P在 O上 点P在 O外 d d drpdprd Prd r r=r反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？二 用数量关系表示点和圆的位置关系二符号“”读作“等价于”,它表示从左端可以推出右端，
3、从右端也可以推出左端.1.O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与 O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 .练一练：圆内圆上圆外2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=，则点P在（）A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外3oD要点归纳点和圆的位置关系rPdPrd PrdRrP点点P在在 O内内 dr 点点P在在圆环圆环内内 rdR 数形结合：数形结合：位置关系位置关系数量关系数量关系例1 如图，在ABC中，C=90，AB=5cm，BC=4cm，以点A为圆心、3cm为半径画圆，并判断：（1）点C与 A的位置
4、关系;（2）点B与 A的位置关系;（3）AB的中点D与 A的位置关系.BADC解：已知 A的半径r=3 cm.(1)因为 ，所以点C在 A上.(2)因为AB=5 cm3 cm=r,所以点B在 A外.（3）因为 ，所以点D在 A内.2222543(cm)ACABBCr12.5cm 3cm2DAABr典例精析变式1：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.（1）以A为圆心，4为半径作 A，则点B、C、D与 A的位置关系如何？解：AD=4=r，故D点在 A上 AB=3r，故C点在 A外（2）若以A点为圆心作 A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求 A的半径r的取值范围？
5、（直接写出答案）3r rd=rd r位置关系数量化点P在圆环内 rdR RrP课堂小结课堂小结d29.2 直线与圆的位置关系导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第二十九章 直线与圆的位置关系学习目标1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.2.能根据圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系，判断出直线与圆的位置关系.(重点）点和圆的位置关系有几种？dr用数量关系如何来判断呢？点在圆内rOP点在圆上rOP点在圆外rOP(令令OP=d)导入新课导入新课知识准备导入新课导入新课观赏视频问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位
6、置关系吗？讲授新课讲授新课用定义判断直线与圆的位置关系一问题2 请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？l02直线与圆的位置关系 图形 公共点个数 公共点名称 直线名称2个交点1个切点切线0个相离相切相交位置关系公共点个数填一填：直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.AlO要点归纳1.直线与圆最多有两个公共点.2.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.3.若A是 O上一点，则直线AB与 O相切.4.若C为 O外一点
7、，则过点C的直线与 O相交或相离.5.直线a 和 O有公共点，则直线a与 O相交.判一判：问题1 同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？相关知识：点到直线的距离是指从直线外一点（A)到直线(l)的垂线段(OA)的长度.lAO用数量关系判断直线与圆的位置关系二问题2 怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？Od合作探究直线和圆相交d rrdrdrd数形结合：数形结合：位置关系位置关系数量关系数量关系（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）ooo公共点公共点个数个数要点归纳1.已知圆的半
8、径为6cm，设直线和圆心的距离为d：（3）若d=8cm,则直线与圆_,直线与圆有_个公共点.（2）若d=6cm,则直线与圆_,直线与圆有_个公共点.（1）若d=4cm,则直线与圆,直线与圆有_个公共点.(3)若AB和 O相交,则 .2.已知 O的半径为5cm,圆心O与直线AB的距离为d,根据条件 填写d的范围:(1)若AB和 O相离,则 ;(2)若AB和 O相切,则 ;相交相切相离d 5cmd=5cm0cmd r,因此 C和AB相离.BCA43Dd记住：斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边.（2）当r=2.4cm时,有d=r.因此 C和AB相切.BCA43Dd（3）当r=3cm时，有dr，因此
9、，C和AB相交.BCA43DdABCAD453 变式题变式题:1.RtABC,C=90AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与直线AB没有公共点？当0cmr2.4cm或r4cm时,C与线段AB没有公共点.2.RtABC,C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？ABCAD453当r=2.4cm或3cmr4cm时,C与线段AB有一个公共点.当2.4cmr3cm 时,C与线段AB有两公共点.例2 如图，RtABC的斜边AB=10cm,A=30.(1)以点C为圆心，当半
10、径为多少时，AB与C相切？(2)以点C为圆心，半径r分别为4cm,5cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？ACB解：(1)过点C作边AB上的高CD.DA=30，AB=10cm,15cm.2BCAB在RtBCD中，有5sin3cm.2CDBCB当半径为 时，AB与C相切.53cm2当堂练习当堂练习.O.O.O.O.O1.看图判断直线l与O的位置关系？(1)(2)(3)(4)(5)相离 相交 相切 相交?注意：直线是可以无限延伸的 相交2直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（）A.r 5 C.r=5 D.r 53.O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5
11、，则直线l与O .4.O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与O的位置关系是（）A.相交或相切 B.相交或相离 C.相切或相离 D.上三种情况都有可能B相离A解析：过点A作AQMN于Q，连接AN，设半径为r，由垂径定理有MQNQ，所以AQ2，ANr，NQ4r，利用勾股定理可以求出NQ1.5，所以N点坐标为(1，2)故选A.5.如图，在平面直角坐标系中，A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交 A于M、N两点若点M的坐标是(4，2)，则点N的坐标为()A(1，2)B(1，2)C(1.5，2)D(1.5，2)A拓展提升：已知O的半径r=7cm,直线l1/l2,且l1与O相切,圆心
12、O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.ol1l2ABCl2解：（1）l2与l1在圆的同一侧：m=9-7=2 cm（2）l2与l1在圆的两侧：m=9+7=16 cm课堂小结课堂小结直线与圆的位置关系定义性质判定相离相切相交公共点的个数d与r的数量关系定 义 法性 质 法特别提醒：在图中没有d要先做出该垂线段相 离:0 个相 切：1 个相 交：2 个相 离:d r相 切:d=r相 交:d r：相 离d=r:相 切d r：相 交29.3 切线的性质与判定导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第二十九章 直线与圆的位置关系学习目标1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.2.理解并掌握
13、圆的切线的判定定理及性质定理.（重点）3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.（难点）导入新课导入新课情境引入转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？都是沿切线方向飞出的.生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.思考：如图，如果直线l是 O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？AlO直线l是 O 的切线，A是切点，直线l OA.切线的性质定理一 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径 应用格式讲授新课讲授新课 小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于
14、CD,垂足为M,（2）则OMOA,即圆心到直线CD的距离小于 O的半径,因此,CD与 O相交.这与已知条件“直线与 O相切”相矛盾.CDBOA（3）所以AB与CD垂直.M证法1：反证法.性质定理的证明反证法的证明视频CDOA证法2：构造法.作出小 O的同心圆大 O，CD切小 O于点A,且A点为CD的中点，连接OA,根据垂径定理，则CD OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径1.如图：在 O中，OA、OB为半径，直线MN与 O相切于点B，若ABN=30，则AOB=.2.如图AB为 O的直径，D为AB延长线上一点，DC与 O相切于点C，DAC=30，若 O的半径长1cm，则CD=cm.603练一练
15、利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.方法总结例1 如图，PA为 O的切线，A为切点直线PO与 O交于B、C两点，P30，连接AO、AB、AC.(1)求证：ACBAPO；(2)若AP ，求 O的半径3解析：(1)根据已知条件我们易得CAB=PAO=90，由P=30可得出AOP=60，则C=30=P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得ACBAPO；OABPC(2)由已知条件可得AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.(1)求证：ACBAPO；OABPC在ACB和APO中，BACOAP，ABAO，ABO
16、AOB，ACBAPO.(1)证明：PA为 O的切线，A为切点，又P30，AOB60，又OAOB，AOB为等边三角形ABAO，ABO60.又BC为 O的直径，BAC90.OAP90.(2)若AP ，求 O的半径OABPC3AO1，CBOP2，OB1，即 O的半径为1.(2)解：在RtAOP中，P30，AP ，3ABC问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？观察：（1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？切线的判定定理二O经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA O的半径 OA于A O的切线ABC 切线的判定定理应
17、用格式O要点归纳判一判：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？O.lAO.lABAOl(1)(2)(3)(1)不是，因为没有垂直.(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.注意判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd要点归纳例2 如图,ABC=45，直线AB是O上的直径，点A,且
18、AB=AC.求证：AC是O的切线.解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.证明：AB=AC，ABC45，ACBABC45.BAC=180-ABC-ACB=90.AB是O的直径，AC是O的切线.AOCB例3 已知：直线AB经过 O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是 O的切线.分析：由于AB过 O上的点C，所以连接OC，只要证明ABOC即可.证明：连接OC(如图).OAOB,CACB,OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.ABOC.OC是 O的半径,AB是 O的切线.例4 如图,ABC 中，AB AC，O 是BC的中点，O 与AB 相切于E.求证：AC 是
19、 O 的切线BOCEA分析：根据切线的判定定理，要证明AC是 O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是 O的半径就可以了，而OE是 O的半径，因此只需要证明OF=OE.F证明：证明：连接OE，OA,过O 作OF AC.O 与AB 相切于E ，OE AB.又ABC 中，AB AC，O 是BC 的中点AO 平分BAC，FBOCEAOE OF.OE 是 O 半径，OF OE，OF AC.AC 是 O 的切线又又OE AB，OFAC.如图，已知直线AB经过 O上的点C，并且OAOB，CACB求证：直线AB是 O的切线.CBAO如图，OAOB=5，AB8,O的直径为6.求证：直线AB是 O的切线
20、.CBAO对比思考作垂直连接方法归纳 (1)有交点，连半径,证垂直;(2)无交点，作垂直,证半径.证切线时辅助线的添加方法例1例2有切线时常用辅助线添加方法 (1)见切点，连半径，得垂直.切线的其他重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.要点归纳当堂练习当堂练习 1.判断下列命题是否正确.经过半径外端的直线是圆的切线.（）垂直于半径的直线是圆的切线.（）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（）过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（）3.如图，在O的内接四边形ABCD中，AB是直径
21、，BCD=120，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则ADP的度数为（）A40 B35 C30 D452.如图所示，A是O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与O的位置关系是 .APO第2题PO第3题DABC相切C4.如图,O切PB于点B,PB=4,PA=2,则 O的半径多少？OPBA解：连接OB，则OBP=90.设 O的半径为r,则OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.在RtOBP中，OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.解得 r=3，即 O的半径为3.证明：连接OP.AB=AC,B=C.OB=OP，B=OPB，OBP=C.OPAC.PEAC，PEOP.PE
22、为 O的切线.5.如图,ABC中，AB=AC，以AB为直径的 O交边BC于P，PEAC于E.求证:PE是 O的切线.6.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的 O与BC相切于点M.求证：CD与 O相切证明：连接OM，过点O作ONCD于点N，O与BC相切于点M，OMBC.又ONCD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，OMON，CD与 O相切MN7.已知：ABC内接于O，过点A作直线EF.（1）如图1，AB为直径，要使EF为O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：_ ；_.（2）如图2，AB是非直径的弦，CAE=B，求证：EF是O的切线.BAEFCAE=BA
23、FEOAFEOBCBC图1图2证明：连接AO并延长交O于D,连接CD,则AD为O的直径.D+DAC=90,D与B同对 ,D=B,又 CAE=B,D=CAE,DAC+EAC=90,EF是O的切线.ACAFEOBC图2D切 线 的性质有1个公共点d=r性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径有切线时常用辅助线添加方法：见切线，连切点，得垂直.课堂小结课堂小结切 线 的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.证切线时常用辅助线添加方法：有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径.29.4 切线长定理*导入新课讲授新课当堂
24、练习课堂小结第二十九章 直线与圆的位置关系1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（重点）2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.（难点）学习目标导入新课导入新课情境引入同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？讲授新课讲授新课切线长定理及应用一互动探究问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？POBAO.PA B P1.切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点
25、到圆的切线长AO切线是直线，不能度量.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量2.切线长与切线的区别在哪里？知识要点问题2 PA为O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B OB是O的一条半径吗？PB是O的切线吗？（利用图形轴对称性解释）PA、PB有何关系？APO和BPO有何关系？O.PABPO切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等.PA、PB分别切O于A、BPA=PBOPA=OPB几何语言:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.注意知识要点O.P已知，如图PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，APO=BPO.
26、证明：PA切O于点A，OAPA.同理可得OBPB.OA=OB，OP=OP，RtOAPRtOBP，PA=PB，APO=BPO.推理验证AB想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB.证明：PA，PB是 O的切线,点A，B是切点 PA=PB，OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 OP垂直平分AB.O.PABM想一想：若延长PO交 O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.证明：PA，PB是 O的切线,点A，B是切点，PA=PB，OPA=OPB.PC=PC.PCA PCB，AC=BC.CA=CBO.PABC
27、典例精析例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与 O分别相切与点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.ABCDO证明：AB、BC、CD、DA与 O分别相切与点E、F、G、H，EFGH AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.AB+CD=AD+BC.例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，
28、由切线性质知OPA为直角三角形，从而在RtOPA中由勾股定理易求得半径O在RtOPA中，PA5，POA30，OQ解：过O作OQAB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.AP、AQ为 O的切线，AO为PAQ的平分线，即PAOQAO.又BAC60，PAOQAOBAC180，PAOQAO60.=5 3cm.OP即铁环的半径为5 3cm.1.PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；OAPA，OB PB，AB OP.（3）写出图中所有的全等三角形；AOP BOP，AOC BOC，ACP BCP.（4）写出图中所有的等腰三角形.ABP A
29、OB（2）写出图中与OAC相等的角；OAC=OBC=APC=BPC.P练一练P 2.PA、PB是O的两条切线，A,B是切点，OA=3.（1）若AP=4,则OP=;（2）若BPA=60,则OP=.56 3.如图，PA、PB是O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，P=40.则 DOE=.PDE的周长是 ；14OPABCED70解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.PA、PB是O的两条切线，点A、B是切点，PA=PB=7.PAO=PBO=90.AOB=360-PAO-PBO-P=140.又DC、DA是O的两条切线，点C、A是
30、切点，DC=DA.同理可得CE=CB.OPABCEDD，E是切线PA，PB上的点，DOC=DOA=AOC.12DOE=DOC+COE=(AOC+COB)=70.12COE=BOE=AOC.12SPDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.切线长问题辅助线添加方法：（1）分别连接圆心和切点；（2）连接两切点；（3）连接圆心和圆外一点.方法归纳 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？三角形的内切圆及作法二互动探究问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？OOOO最大的圆与三角形三边都
31、相切三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？(1)如果半径为r的I与ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？(2)在ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.为什么呢？已知：ABC.求作：和ABC的各边都相切的圆.ABCOMND作法：1.作B和C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作ODBC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.O就是所求的圆.做一做1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切
32、圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.BACI I是ABC的内切圆，点I是ABC的内心，ABC是I的外切三角形.知识要点三角形的内心的性质三BACI问题1 如图，I是ABC的内切圆，那么线段OA，OB,OC有什么特点？互动探究线段OA，OB,OC 分别是A，B，C的平分线.BACI问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？EFGIE=IF=IG知识要点u三角形内心的性质三角形内心的性质三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.BACIEFG IA，IB
33、，IC是ABC的角平分线，IE=IF=IG.例3 如图，ABC中，B=43，C=61，点I是ABC的内心，求 BIC的度数.解：连接IB，IC.ABCI点I是ABC的内心，IB，IC分别是 B，C的平分线，在IBC中，180()BICIBCICB 1180()2BC 1180(4361)2128.例4 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱.圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.该木模可以抽象为几何如下几何图形.CABrOD解：如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.圆O是ABC的内切圆,
34、AO、BO是BAC、ABC的角平分线 ABC是等边三角形,OAB=OBA=30oODAB，AB=3cm，AD=BD=AB=1.5(cm)12OD=AD tan30o=(cm)32答:圆柱底面圆的半径为 cm.32例5 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？BACEDFO解:设AF=xcm，则AE=xcm.CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由 BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14，AF=4(cm
35、)，BD=9(cm)，CE=5(cm).方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.解得 x=4.ACEDFO比一比名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB3.内心在三角形内部ABOABCO1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.解：如图，由题意可知BC=6cm,ABC=60，ODBC，OB平分ABC.OBD=30，BD=3cm,OBD为直角三角形.
36、tan303cm.ODBD2 3cm.cos30BDBD 内切圆半径外接圆半径练一练变式：求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.sinOBD sin30 rR ODOB.12ABCODEFABCDEFO2.设ABC的面积为S，周长为L，ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？111222SAB OFAC OEBC ODggg11().22ABACBC rLrABCOcDEr3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为_（以含a、b、c的代数式表示r）.2abcr解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.F
37、则AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以.2abcr2.如图，已知点O是ABC 的内心，且ABC=60,ACB=80,则BOC=.1.如图，PA、PB是O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,APB=40 ,则APO=,PB=.P第1题第2题当堂练习当堂练习20 4110 （3）若BIC=100，则A=度.（2）若A=80，则BIC=度.130203.如图，在ABC中，点I是内心，（1）若ABC=50，ACB=70，BIC=_.ABCI（4）试探索：A与BIC之间存在怎样的数量关系？120190.2BI
38、CA4.如图所示，已知在ABC中，B90，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DEOC.方法一：证明：连接OD，AC切O点D，ODAC，ODC=B=90.在RtOCD和RtOCB中，ODOB，OCOC RtODCRtOBC（HL），DOC=BOC.OD=OE，ODE=OED，DOB=ODE+OED，BOC=OED，DEOC方法二：证明：连接BD，AC切O于点D，AC切O于点B，DC=BC，OC平分DCB.OCBD.BE为O的直径，DEBD.DEOC5.如图，ABC中，I是内心，A的平分线和ABC的外接圆相交于点D.求证：DIDB.证明：连接BI.I是
39、ABC的内心，BAD=CAD，ABI=CBI，CBD=CAD，BAD=CBD，BID=BAD+ABI，IBD=CBI+CBD，BID=IBD，BD=ID切线长切 线 长定理作 用图形的轴对称性原 理提供了证线段和角相等的新方法辅助线 分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点.三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.有关概念内心概念及性质应 用课堂小结课堂小结29.5 正多边形与圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第二十九章 直线与圆的位置关系1.了解正多边形和圆的有关概念.2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.(重点)3.会应用正多
40、边形和圆的有关知识解决实际问题.（难点）学习目标问题：观看大屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?导入新课导入新课观察与思考问题1 什么叫做正多边形？各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？不是，因为矩形不符合各边相等；不是，因为菱形不符合各角相等；注意正多边形各边相等各角相等缺一不可讲授新课讲授新课正多边形的回顾一问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.什
41、么叫做正多边形？问题1问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？归纳问题1 怎样把一个圆进行四等分？问题2 依次连接各等分点，得到一个什么图形？ABCDO正多边形与圆的关系二问题引导问题3 3 刚才把一个圆进行四等分，依次连接各等分点，得到一个正四边形；你可以从哪方面证明？ABCDOBCCD CDDA即即 BCDCDA 直径所对圆周角等于90 等弧所对圆周角相等 A E把 O 进行5等分,依次连接各等分点得到五边形ABCDE.(1)填空:AOEDCBBCEACDBCABBCCDBCBCCDDE33(2)这个五边形ABCDE是正五边形吗？简单说说理由.像
42、上面这样，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆，这个正多边形也称为这个圆的内接正多边形.归纳探究归纳问题1OCDABM半径R圆心角弦心距r弦a圆心中心角ABCDEFO半径R边心距r中心类比学习圆内接正多边形外接圆的圆心正多边形的中心外接圆的半径正多边形的半径每 一 条 边 所对 的 圆 心 角正多边形的中心角边心距正多边形的边心距正多边形的有关概念及性质三问题1中心角ABCDEFO半径R边心距r中心 正多边 形边数内角中心角外角346n60 120 120 90 90 90 120 60 60(2)180nn360n360n正多边形的外角=中心
43、角练一练完成下面的表格：如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：它的中心角等于 度；OC BC (填、或）；OBC是 三角形；圆内接正六边形的面积是 OBC面积的 倍.圆内接正n边形面积公式:_.CDOBEFAP60=等边61=2S正多边形周长 边心距正多边形的有关计算四探究归纳例1：如图所示，正五边形ABCDE内接于 O，则ADE的度数是 （）A60 B45 C 36 D 30 ABCDEO典例精析C 例2：有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1 m2).CDOEFAP抽象成典例精析利用勾股定理,可得边心距22422 3.r 亭子地基的面积在R
44、tOMB中中,OB4,4,MB4222BC，4mOABCDEFM r解：过点O作OMBC于M.21124 2 341.6(m).22Sl r 2.作边心距，构造直角三角形.1.连半径，得中心角；OABCDEFRM r圆内接正多边形的辅助线方法归纳O边心距r边长一半半径RCM中心角一半正多边形边数半径边长 边心距周长面积34162 331.填表212 33 3228422126 32.若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是 .3当堂练习当堂练习3.下列说法正确的是（）A.各边都相等的多边形是正多边形B.一个圆有且只有一个内接正多边形C.圆内接正四边形的边长等于半径D.圆内接正
45、n边形的中心角度数为 o360nD5.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要_cm.也就是要找这个正方形外接圆的直径4 24.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 _度.（不取近似值）41287ABCDEFP6.如图，正六边形ABCDEF的边长为 ，点P为六边形内任一点则点P到各边距离之和是多少？2 3点P到各边距离之和=3BD=36=18解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CGBD于G.GHKP到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.六边形ABCDEF是正六边形ABDE，AFCD，BCEF，BC=CD，BCD=ABC=CDE=120，CBD=BDC=30，BDHK，且BD=HK.CGBD，BD=2BG=2BCcosCBD=6.拓广探索如图,M,N分别是 O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.(1)(1)求图中MON=_;图中MON=;图中MON=;(2)(2)试探究MON的度数与正n边形的边数n的关系.ABCDEABCD.ABCMNMNMNOOO90 72 360MONn120 图图图圆内接正多边形正多边形的回顾正多边形的有关概念及性质正多边形的内角和=中心角=(2)180nn360n正多边形的有 关 计 算添加辅助线的方法：连半径，作边心距课堂小结课堂小结
