1、导入新课讲授新课当堂练习课堂小结24.5 三角形的内切圆第24章 圆学习目标1.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.2.掌握三角形内心的性质并能加以应用.(重点)3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思 想.(难点)导入新课导入新课 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？情境引入讲授新课讲授新课三角形内切圆的相关概念一 若要使裁下的圆形最大，则它与三角形三边应有怎样的位置关系？观察与思考最大的圆与三角形三边都相切 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的
2、外切三角形.BACI I是ABC的内切圆，点I是ABC的内心，ABC是I的外切三角形.知识要点三角形内切圆的作法及内心的性质二观察与思考问题1 如图，若 O与ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？圆心O在ABC的平分线上.NCOMABCOAB问题2 如图 如果 O与 ABC的内角ABC 的两边相切，且与内角ACB的两边也相切，那么此 O的圆心在什么位置？圆心O在ABC与ACB的两个角的角平分线的交点上.线段OA，OB，OC 分别是A，B，C的平分线.FED线段线段OD，OE，OF的长度相等，等于三角形内切圆的半径.作法：1.作B，C的平分线BE，CF，设它们交于点O.2.过点O作ODB
3、C于点D.3.以点O为圆心、OD为半径作O.则O即为所作.问题3 现在你知道如何画ABC的内切圆了吗？COABFED三角形内心的性质：三角形内心的性质：三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.知识要点COABFED例1 如图，ABC中，B=43，C=61，点 I 是ABC的内心，求 BIC的度数.解：连接IB，IC.ABCI点 I 是ABC的内心，IB，IC 分别是 B，C的平分线.在IBC中，180()BICIBCICB 1180()2BC 1180(4361)2128.典例精析例2 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱.圆柱的下底面圆是
4、直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.该木模可以抽象为几何如下几何图形.CABrOD解：如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.圆O是ABC的内切圆,AO、BO是BAC、ABC的角平分线 ABC是等边三角形,OAB=OBA=30oODAB，AB=3cm，AD=BD=AB=1.5(cm)12OD=AD tan30o=(cm)32答:圆柱底面圆的半径为 cm.32例3 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.想一想：图中你能找出哪些相等的线段
5、？理由是什么？BACEDFO解:设AF=xcm，则AE=xcm.CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由 BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14，AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.解得 x=4.ACEDFO比一比名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、A
6、CB3.内心在三角形内部ABOABCO1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.解：如图，由题意可知BC=6cm,ABC=60，ODBC，OB平分ABC.OBD=30，BD=3cm,OBD为直角三角形.tan303cm.ODBD2 3cm.cos30BDBD 内切圆半径外接圆半径练一练变式：求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.sinOBD sin30 rR ODOB.12ABCODEFABCDEFO2.设ABC的面积为S，周长为L，ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？111222SAB OFAC OEBC ODggg11().22AB
7、ACBC rLrABCOcDEr3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为_（以含a、b、c的代数式表示r）.2abcr解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.F则AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以.2abcr（3）若BIC=100，则A=度.当堂练习当堂练习（2）若A=80，则BIC=度.130201.如图，在ABC中，点I是内心，（1）若ABC=50，ACB=70，BIC=_.ABCI（4）试探索：A与BIC之间存在怎样的数量关系？120190.
8、2BICA2.九章算术是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步”该问题的答案是_步6解析：先由勾股定理得出斜边的长，再根据公式 求出该直角三角形内切圆的半径，即可得起至今的长度.2abcr3.如图，O与ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（）A点O是ABC的内心 B点O是ABC的外心 CABC是正三角形 DABC是等腰三角形 解析：过O作OMAB于M，ONBC于N，OQAC于Q，连接OK、OD、OF，根据垂径定理和已知求出DM=KQ=F
9、N，根据勾股定理求出OM=ON=OQ，即点O是ABC的内心.故选4.如图，ABC中，I是内心，A的平分线和ABC的外接圆相交于点D.求证：DIDB.证明：连接BI.I是ABC的内心，BAD=CAD，ABI=CBI，CBD=CAD，BAD=CBD，BID=BAD+ABI，IBD=CBI+CBD，BID=IBD，BD=ID拓展提升：直角三角形的两直角边分别是3cm，4cm，试问：（1）它的外接圆半径是 cm；内切圆半径是 cm？（2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围.ABCEDFO51解：如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D，连接OB、OD，则四边形BODC为正方形.ABODCOBBC3，半径r的取值范围为0r3.课堂小结课堂小结三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.有关概念内心概念及性质应用
