1、导入新课讲授新课当堂练习课堂小结24.5 三角形的内切圆第24章 圆学习目标1.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.2.掌握三角形内心的性质并能加以应用.(重点)3.学会利用方程思想解决几何问题,体验数形结合思 想.(难点)导入新课导入新课 小明在一家木料厂上班,工作之余想对厂里的三角形废料进行加工:裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢?情境引入讲授新课讲授新课三角形内切圆的相关概念一 若要使裁下的圆形最大,则它与三角形三边应有怎样的位置关系?观察与思考最大的圆与三角形三边都相切 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的
2、外切三角形.BACI I是ABC的内切圆,点I是ABC的内心,ABC是I的外切三角形.知识要点三角形内切圆的作法及内心的性质二观察与思考问题1 如图,若 O与ABC的两边相切,那么圆心O的位置有什么特点?圆心O在ABC的平分线上.NCOMABCOAB问题2 如图 如果 O与 ABC的内角ABC 的两边相切,且与内角ACB的两边也相切,那么此 O的圆心在什么位置?圆心O在ABC与ACB的两个角的角平分线的交点上.线段OA,OB,OC 分别是A,B,C的平分线.FED线段线段OD,OE,OF的长度相等,等于三角形内切圆的半径.作法:1.作B,C的平分线BE,CF,设它们交于点O.2.过点O作ODB
3、C于点D.3.以点O为圆心、OD为半径作O.则O即为所作.问题3 现在你知道如何画ABC的内切圆了吗?COABFED三角形内心的性质:三角形内心的性质:三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.知识要点COABFED例1 如图,ABC中,B=43,C=61,点 I 是ABC的内心,求 BIC的度数.解:连接IB,IC.ABCI点 I 是ABC的内心,IB,IC 分别是 B,C的平分线.在IBC中,180()BICIBCICB 1180()2BC 1180(4361)2128.典例精析例2 如图,一个木模的上部是圆柱,下部是底面为等边三角形的直三棱柱.圆柱的下底面圆是
4、直三棱柱上底面等边三角形的内切圆,已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm,求圆柱底面圆的半径.该木模可以抽象为几何如下几何图形.CABrOD解:如图,设圆O切AB于点D,连接OA、OB、OD.圆O是ABC的内切圆,AO、BO是BAC、ABC的角平分线 ABC是等边三角形,OAB=OBA=30oODAB,AB=3cm,AD=BD=AB=1.5(cm)12OD=AD tan30o=(cm)32答:圆柱底面圆的半径为 cm.32例3 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=13cm,BC=14cm,CA=9cm,求AF、BD、CE的长.想一想:图中你能找出哪些相等的线段
5、?理由是什么?BACEDFO解:设AF=xcm,则AE=xcm.CE=CD=AC-AE=9-x(cm),BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由 BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14,AF=4(cm),BD=9(cm),CE=5(cm).方法小结:关键是熟练运用切线长定理,将相等线段转化集中到某条边上,从而建立方程.解得 x=4.ACEDFO比一比名称确定方法图形性质外心:三角形外接圆的圆心内心:三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等;2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、A
6、CB3.内心在三角形内部ABOABCO1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.解:如图,由题意可知BC=6cm,ABC=60,ODBC,OB平分ABC.OBD=30,BD=3cm,OBD为直角三角形.tan303cm.ODBD2 3cm.cos30BDBD 内切圆半径外接圆半径练一练变式:求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.sinOBD sin30 rR ODOB.12ABCODEFABCDEFO2.设ABC的面积为S,周长为L,ABC内切圆的半径为r,则S,L与r之间存在怎样的数量关系?111222SAB OFAC OEBC ODggg11().22AB
7、ACBC rLrABCOcDEr3.如图,直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c,则其内切圆的半径r为_(以含a、b、c的代数式表示r).2abcr解析:过点O分别作AC,BC,AB的垂线,垂足分别为D,E,F.F则AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因为AF=AD,BF=BE,AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以.2abcr(3)若BIC=100,则A=度.当堂练习当堂练习(2)若A=80,则BIC=度.130201.如图,在ABC中,点I是内心,(1)若ABC=50,ACB=70,BIC=_.ABCI(4)试探索:A与BIC之间存在怎样的数量关系?120190.
8、2BICA2.九章算术是东方数学思想之源,该书中记载:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆径几何”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形内切圆的直径是多少步”该问题的答案是_步6解析:先由勾股定理得出斜边的长,再根据公式 求出该直角三角形内切圆的半径,即可得起至今的长度.2abcr3.如图,O与ABC的三条边所得的弦长相等,则下列说法正确的是()A点O是ABC的内心 B点O是ABC的外心 CABC是正三角形 DABC是等腰三角形 解析:过O作OMAB于M,ONBC于N,OQAC于Q,连接OK、OD、OF,根据垂径定理和已知求出DM=KQ=F
9、N,根据勾股定理求出OM=ON=OQ,即点O是ABC的内心.故选4.如图,ABC中,I是内心,A的平分线和ABC的外接圆相交于点D.求证:DIDB.证明:连接BI.I是ABC的内心,BAD=CAD,ABI=CBI,CBD=CAD,BAD=CBD,BID=BAD+ABI,IBD=CBI+CBD,BID=IBD,BD=ID拓展提升:直角三角形的两直角边分别是3cm,4cm,试问:(1)它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm?(2)若移动点O的位置,使O保持与ABC的边AC、BC都相切,求O的半径r的取值范围.ABCEDFO51解:如图所示,设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形.ABODCOBBC3,半径r的取值范围为0r3.课堂小结课堂小结三角形内切圆运用切线长定理,将相等线段转化集中到某条边上,从而建立方程.有关概念内心概念及性质应用