1、21.1 二次函数第21章 二次函数与反比例函数九年级数学上（HK）教学课件【学习目标学习目标】1 1引导学生理解二次函数的概念，掌握二次函数一般形式2 2通过对实际问题的探索，熟练地掌握列二次函数关系式和求自变量的取值范围【学习重点学习重点】能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围【学习难点】熟练地列出二次函数关系式 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？情境引入情境引入思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗?1.1.什么叫函数?一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x x与y y，并且对于x x的每一个
2、确定的值，y y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x x是自变量，y y是x x的函数.3 3.一元二次方程的一般形式是什么？一般地，形如y y=kxkx+b b（k,bk,b是常数，k k00）的函数叫做一次函数.当b b=0=0 时，一次函数y y=kxkx就叫做正比例函数.2 2.什么是一次函数？正比例函数？axax2 2+bxbx+c c=0 (=0 (a a00)问题1 1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x x，表面积为 y y，则 y y 关于x x 的关系式为 .y=6x2 此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应
3、值，即y是x的函数.二次函数的定义探究归纳探究归纳问题2 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有20Sxx220Sxx 此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.问题3 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？最多为多少？设增加x 人，这
4、时，则共有 个装配工,每人每天可少装配10 x 个玩具，因此，每人每天只装配 个玩具.所以，增加人数后，每天装配玩具总数y可表示为y=_.(15+x)(1901010 x)整理为：y=1010 x2+40 x+2850(1901010 x)(15+x)此式表示了每天装配玩具总数y与增加x人之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.y=6x2 220Sxx y=1010 x2+40 x+2850问题1-3中函数关系式有什么共同点?函数都是用自变量的二次整式表示的想一想想一想二次函数的定义：形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的函数叫做二次函数.其中x是自
5、变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.温馨提示：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a 0;（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.总结归纳总结归纳 例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）y=ax2+bx+c s=3-2t y=x2 y=x+x+25 y=(x+3)-x21yx=不一定是，缺少a0的条件.不是，右边是分式.不是，x的最高次数是3.y=6x+9典例精析典例精析 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c
6、(a0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx,y=ax2+c等.方法归纳方法归纳 想一想:二次函数的一般式y=ax2bxc（a0）与一元二次方程ax2bxc0（a0）有什么联系和区别？联系联系：(1)等式一边都是ax2bxc且a 0；(2)方程ax2bxc=0可以看成是函数y=ax2bxc中y=0时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.例2 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是二次函数？解：（1）由题）由题可知,解得=2 2;m（2）由题）由题可知,解得m=3.第（2）问易忽略二次项系数a0这一限制条件，从而得出m=3或
7、-3的错误答案，需要引起同学们的重视.273.mymx271,30,mm272,30,mm 1.已知:，k取什么值时，y是x的二次函数？kxky)2(解：当 =2且k+20，即k=-2时,y是x的二次函数.取值范围是什么？那么是二次函数若函数m，xmxmy4)2()9(.222解：092mm3k变式训练变式训练取值范围是什么？那么是二次函数若函数m，xmxmymm4)3()1(.3122012122mmm3mm的 取 值 范 围 是【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.例3 3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能
8、生产95件，每件利润6元每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1x10)，求出y关于x的函数关系式；解：第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，第x档次，提高了(x1)档，利润增加了2(x1)元y62(x1)955(x1)，即y10 x2180 x400(其中x是正整数，且1x10)；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次解：由题意可得 10 x2180 x4001120，整理得 x218x720，解得 x16，x212(舍去)
9、所以，该产品的质量档次为第6档【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型思考：1.已知二次函数y10 x2180 x400,自变量x的取值范围是什么？2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y10 x2180 x400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.例4 一个二次函数 .234(1)21kkykxx（1）求k的值.（2）当x=0.5时，y的值是多少？解：（1）由题意，得2342,10,kkk 解得=2;k将x=0.5代入函数关系式 .（2）当k=2时，221yxx2
10、0.52 0.5 10.25y 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.归纳总结归纳总结2.函数 y=(m-n)x2+mx+n 是二次函数的条件是()A.m,n是常数,且m0 B.m,n是常数,且n0C.m,n是常数,且mn D.m,n为任何实数C1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_,一次项系数为_，常数项为 .3下列函数是二次函数的是()Ay2x1 BCy3x21 D2yx211yxC-3x2-1612当堂练习4.已知函数已知函数 y=3x2m-15 当当m=
11、时，时，y是关于是关于x的一次函数；的一次函数；当当m=时，时，y是关于是关于x的反比例函数；的反比例函数；当当m=时，时，y是关于是关于x的二次函数的二次函数.1 0325.若函数 是二次函数，求：232(4)aayaxa（1）求a的值.(2)求函数关系式.（3）当x=-2时，y的值是多少？解：（1）由题意，得2322,40,aaa解得=1;a（2）当a=-1时，函数关系式为 .22(14)151yxx （3）将x=-2代入函数关系式中，有 25(2)121.y 6.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当
12、x=3时矩形的面积.解：(1)y(8x)xx28x (0 x8)；(2)当x3时，y328315 cm2.二次函数定 义y=ax2+bx+c(a 0，a,b,c是常数）一般形式右边是整式；自变量的指数是2；二次项系数a 0.特殊形式y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a 0，a,b,c是常数）.课堂小结课堂小结21.2 二次函数的图象和性质1.二次函数y=ax的图象和性质【学习目标学习目标】1能够利用描点法作出yax2的图象，并能根据图象认识和理解yax2的图象和性质2经历画二次函数yax2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验【学习重点学习重点】会画yax2的图象，
13、理解其性质【学习难点学习难点】结合图象理解抛物线开口方向，对称轴，顶点坐标及基本性质情境引情境引入入x-3-2-10123y=x2 2例1 画出二次函数y=x2的图象.94101941.列表：在y y=x x2 2 中自变量x x可以是任意实数，列表表示几组对应值：典例精析典例精析24-2-4o369xy2.2.描点：根据表中x x,y y的数值在坐标平面中描点（x,yx,y）3 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y y=x x2 2 的图象-33o369当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：xy 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线
14、关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.练一练：画出函数y y=-=-x x2 2的图象.y24-2-40-3-6-9xx-3-2-10123y=-x2-9-4-10-1-4-9 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.xoy=x21.yx2是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最低点y议一议议一议说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.oxyy=-x2 1.y-x2是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最高点1.
15、顶点都在原点;3.当a0时，开口向上；当a0时，开口向下二次函数y=ax2 的图象性质：2.图像关于y轴对称;知识要点知识要点 观察下列图象，抛物线y y=axax2 2与y y=-=-axax2 2（a a0)的关系是什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2合作交流合作交流问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)2yx2yax对于抛物线 y=ax 2（a0）当x0时，y随x取值的增大而增大；当x0时，y随x取值的增大而减小.要点总结要点总结(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)
16、2yx 2yax 问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？对于抛物线 y=ax 2（a0）当x0时，y随x取值的增大而减小；当x0时，a越大，开口越小.练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象221,22yx yxx 4 3 2101234x 21.510.500.511.52 -8 -4.5-2 -0.50 -8 -4.5 -2-0.5-8-4.520.5084.520.522yx 212yx22246448212yx 22yx 2yx 当a0a14.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：23xy 23xy231xy 231xy开口方向对称轴顶点向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（0,0
17、）（0,0）（0,0）（0,0）O 5.若抛物线y=ax2（a 0），），过点（-1，2）.（1）则a的值是 ；（2）对称轴是 ，开口 .（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值.抛物线在x轴的 方（除顶点外）.(4)若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1x2 6.已知二次函数y=x2，若xm时，y最小值为0，求实数m的取值范围解：二次函数y=x2，当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，当xm时，y最小值=0，m0二次函数y=ax2的图象及性质画法描 点 法以对称轴为中心 对 称 取 点图象抛 物 线轴 对 称 图 形性质重点关注4 个 方 面开口方向及大小对称轴顶 点
18、 坐 标增减性课堂小结课堂小结21.2 二次函数的图象和性质学练优九年级数学上（HK）教学课件2.二次函数y=ax+bx+c的图象和性质第1课时 二次函数y=ax+k的图象和性质【学习目标学习目标】1会用描点法画出二次函数yax2k的图象2能通过函数yax2k的图象和解析式，正确说出其开口方向，对称轴以及顶点坐标等图象性质3知道二次函数yax2k与函数yax2的关系，体会数形结合的思想方法【学习重点学习重点】1二次函数yax2k的图象和性质；2函数yax2k与yax2的相互关系【学习难点学习难点】正确理解二次函数yax2k的性质，抛物线yax2k与yax2的关系这个函数的图象是如何画出来的？x
19、y21840yx 情境引入情境引入二次函数二次函数y y=axax2 2+k k的图象和性质的图象和性质(a a0)0)做一做：画出二次函数 y=2x,y=2x2+1，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.x 1.5 1 0.500.511.5y=2x2+1y=2x24.520.500.524.5y=2x2-13.51-0.51-0.5-13.55.51.531.513 5.5讲授新课讲授新课 22246448y=2x2+1y=2x2y=2x2-1观察上述图象，说说它有哪些特征.解：先列表：x 3210123在同一直角坐标系中，画出二次函
20、数 与 的图象212yx2112yx212yx2112yx921122120122923321323112探究归纳探究归纳xy-4-3-2-1o1234123456212yx2112yx描点、连线，画出这两个函数的图象 抛物线 ，的开口方向、对称轴和顶点各是什么？212yx2112yx212yx2112yx二次函数开口方向顶点坐标 对称轴向上向上（0,0）（0,1）y轴y轴想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a0)的性质是什么？y-2-2422-4231xy23121xy23122xyx0二次函数二次函数y y=axax2 2+k k的图象和性质的图象和性质(a a0)0)做一做在同一坐
21、标系内画出下列二次函数的图象：根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是 .(2)三条抛物线的开口方向_;(3)对称轴都是_(4)从上而下顶点坐标分别是 _抛物线向下直线x=0(0,0)(0，2)(0,-2)(5)顶点都是最_点，函数都有最_值，从上而下最大值分别为_、_(6)函数的增减性都相同：_高大大y=0y=-2y=2对称轴左侧y随x增大而增大对称轴右侧y随x增大而减小y=ax2+ka0a0开口方向向上向下对称轴y轴y轴顶点坐标（0,k）（0,k）最值当x=0时，y最小值=k当x=0时，y最大值=k增减性当x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大.当x0时，y随x的增大而减
22、小；x0时，y随x的增大而增大.要点总结要点总结例1：已知二次函数yax2+c,当x取x1，x2（x1x2）时，函数值相等，则当xx1+x2时，其函数值为_.解析：由二次函数yax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x20.把x0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.c【方法总结】二次函数yax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数典例精析典例精析解析式y=2x2y=2x2+1y=2x2-1+1-1点的坐标函数对应值表4.5-1.53.55.5-1213xy=2x2-1y=2x2y=2x2+1x2x22x2-1(x,)(x,)
23、(x,)2x2-12x22x2+1从数的角度探究从数的角度探究2x2+142224648102y=2x21y=2x21 可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.下y=2x2+1上从形的角度探究从形的角度探究二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：当k 0 时,向上平移k个单位长度得到.当k 20=01(0,1)(-1,0),(1,0)开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.6.在同一直角坐标系中，一次函数yaxk和二次函数yax2k的图象大致为()方法总结：熟
24、记一次函数ykxb在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键D7.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x0时y随x的增大而增大，则m=_.8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=_.9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_.2-28二次函数y=ax2+k（a0)的图象和性质图象性质与y=ax2的关系1.开口方向由a的符号决定；2.k决定顶点位置；3.对称轴是y轴.增减性结合开口方向和对称轴才能确定.平移规律：k正向上；k负向下.课
25、堂小结21.2 二次函数的图象和性质2.二次函数y=ax+bx+c的图象和性质第2课时 二次函数y=a(x+h)的图象和性质情境引入【学习目标学习目标】使学生能利用描点法画出二次函数ya(xh)2的图象让学生经历二次函数ya(xh)2性质探究的过程，理解函数ya(xh)2的性质，理解二次函数ya(xh)2的图象与二次函数yax2的图象的关系【学习重点学习重点】掌握二次函数ya(xh)2的图象和性质【学习难点学习难点】二次函数ya(xh)2的图象和性质的运用复习引入复习引入a,c的符号a0,c0a0,c0a0a0,c0图象开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值向上向下y轴（直线x=0）y轴（直线
26、x=0）（0,c）（0,c）当x0时，y随x增大而增大.当x0时，y随x增大而减小.x=0时，y最小值=cx=0时，y最大值=c问题1 说说二次函数y=ax2+c(a0)的图象的特征.问题2 二次函数 y=ax2+k(a0)与 y=ax2(a 0)的图象有何关系？答：二次函数y=ax2+k(a 0)的图象可以由y=ax2(a 0)的图象平移得到：当k 0 时，向上平移c个单位长度得到.当k 0,开口向上a0,开口向上；当a0a0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(h,k)(h,k)x=hx=h当xh时，y随着x的增大而增大.当xh时，y随着x的增大而减小.x=h时,y最小最小=kx=h时
27、,y最大最大=k抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.复习引入复习引入顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴最值最值y=-2x2y=-2x2-5y=-2(x+2)2y=-2(x+2)2-4y=(x-4)2+3y=-x2+2xy=3x2+x-6(0,0)y轴0(0,-5)y轴-5(-2,0)直线x=-20(-2,-4)直线x=-2-4(4,3)直线x=43?我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？216212yxx问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？216212yxx探究归纳探究归纳216212yxx配方可得22
28、21(126642)2xx21(1242)2xx2221(126)6422xx21(6)62x21(6)3.2x想一想：配方的方法及步骤是什么？配 方216212xxy你知道是怎样配方的吗？(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.3)6(212xy问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？21(6)32yx答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？21(6)32yx212yx答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向
29、右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.问题4 如何画二次函数 的图象？216212yxx9 98 87 76 65 54 43 3x先利用图形的对称性列表21(6)32yx7.553.533.557.5510 xy510然后描点画图，得到图象如右图.O问题5 结合二次函数 的图象，说出其性质.216212yxx510 xy510 x=6当x6时，y随x的增大而增大.O例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质.21522yxx x-2-101234y-6.5-4-2.5-2-2.5-4-6.5解:函数 通过配方可得 ，先列表：21522yxx 21(1)22yx 典例精析典例精析2
30、xy-204-2-4-4-6-8然后描点、连线，得到图象如下图.由图象可知，这个函数具有如下性质：当x1时，函数值y随x的增大而增大；当x1时，函数值y随x的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.2287yxx22(44)87xx 22(4)7xx22(2)1.x 因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).解：练一练练一练将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k 我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？y=ax+bx
31、+c cababxabxa2222222222bbbaxxcaaacababxa4222二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即2224().24bacbyaxbxca xaa因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：对称轴是：直线24(,).24bacbaa.2bxa 归纳总结归纳总结(1)(2)xyOxyO如果a0,当x 时，y随x的增大而增大.如果a0,当x 时，y随x的增大而减小.2bxa 2bxa 2ba2ba2ba2ba例2 已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减小
32、，则实数b的取值范围是（）Ab1 Bb1 Cb1 Db1解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x1时，y的值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴 ，即b1，故选择D.2(1)bxb D顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴最值最值y=-x2+2xy=-2x2-1y=9x2+6x-5(1,3)x=1最大值1(0,-1)y轴最大值-1最小值-6(,-6)13直线x=13问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：xyOy=k1x+b1xyOy=k2x+b2
33、y=k3x+b3k1 _ 0b1 _ 0k2 _ 0b2 _ 0k3 _ 0b3 _ 0合作探究合作探究xyO222bxa 112bxa 问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：2yaxbxca1 _ 0b1_ 0c1_ 0a2_ 0b2_ 0c2_ 0开口向上，a0对称轴在y轴左侧，x0对称轴在y轴右侧，x01102bxa 2202bxa x=0时，y=c.xyO442bxa 332bxa a3_ 0b3_ 0c3_ 0a4_ 0b4_ 0c4_ 0开口向下，a0对称轴是y轴，x=0对称轴在y轴右侧，x011=02bxa 2202bxa x=0时，y=c.二次函数y=a
34、x2+bx+c的图象与a、b、c的关系字母符号图象的特征a0开口_a0开口_b=0对称轴为_轴a、b同号对称轴在y轴的_侧a、b异号对称轴在y轴的_侧c=0经过原点c0与y轴交于_半轴c0与y轴交于_半轴向上向下y左右正负例3 已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，下列结论：abc0；2ab0；4a2bc0；(ac)2b2.其中正确的个数是 ()A1B2C3D4D由图象上横坐标为 x2的点在第三象限可得4a2bc0，故正确；由图象上x1的点在第四象限得abc0，由图象上x1的点在第二象限得出 abc0，则(abc)(abc)0，即(ac)2b20，可得(ac)2b2，故正确【解析】由图象开
35、口向下可得a0，由对称轴在y轴左侧可得b0，由图象与y轴交于正半轴可得 c0，则abc0，故正确；由对称轴x1可得2ab0，故正确；1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11A.y轴 B.直线x=C.直线x=2 D.直线x=则该二次函数图象的对称轴为()D5232当堂练习当堂练习Oyx1232.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x=1和x=3时，函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=2时，x的值只能取0；其中正确的是 .直线x=1（2）3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a
36、0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：b-2a=0；4a-2b+cy2.其中正确的是（）23A B C DxyO2x=-1B4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：22(1)21213;(2)580319;1(3)22;2(4)12.yxxyxxyxxyxx 直线x=33,5直线x=88,1直线x=1.2559,48直线x=0.519,2424(,)24bacbaa2bxa y=ax2+bx+c（a 0)(一般式一般式)(顶点式顶点式)224()24bacbya xaa课堂小结课堂小结21.2 二次函数的图象和性质3.二次函数表达式的确定【学习目标】1 1会用待定系数法求
37、二次函数的表达式2 2经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识【学习重点】用待定系数法求二次函数的解析式【学习难点】由条件灵活选择解析式类型1.一次函数y=kx+b(k0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）复习引入复习引入问题1（1）二次函数y=ax2+bx+c(a0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格
38、的一部分：x-3-2-1012y010-3-8-15探究归纳探究归纳解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.9a-3b+c=0，a-b+c=0，c=-3，解得a=-1，b=-4，c=-3.所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写解析式）这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：设函数表达式为y y=axax2 2+bxbx+c c；代入后
39、得到一个三元一次方程组；解方程组得到a a,b b,c c的值；把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.总结归纳总结归纳例1 一个二次函数的图象经过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0,1)，可得c=1.又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得4a+2b+1=4，9a+3b+1=10，解这个方程组，得3,2a3.2b所求的二次函数的表达式是2331.22yxx练一练练一练:已知关于已知关于x的二次函数的二次函数,当当x=0时时,y=1;当当x=2时时,y=0;当当x=时时,y=0,求这
40、个二次函数的解求这个二次函数的解析式析式.解：设所求的二次函数为y=ax+bx+c,由题意得：21.02141,024,1cbacbac解得.1,23,1cba所求的二次函数为.1232xxy 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1，再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8，解得 a=-1.所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：设函数表
41、达式是y=a(x-h)2+k；先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；将另一点的坐标代入原方程求出a值；a用数值换掉，写出函数表达式.要点归纳要点归纳例2 一个二次函数的图象经点(0,1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.解：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点(0,1)，可得 0=a(0-8)2+9.解得 9.64a 所求的二次函数的解析式是29(8)9.64yx 解：（-3，0）（）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x
42、2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即即y=-x2-4x-3.选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的表达式.xyO1 2-1-2-3-4-1-2-3-4-512这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；将方程的解代入原方程求出a值；a用数值换掉，写出函数表达式.想一想确定二
43、次函数的这三点应满足什么条件？任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.例3：已知二次函数yax2 c的图象经过点(2,3)和(1,3)，求这个二次函数的表达式 解:该图象经过点（2,3）和(1,3)，3=4a+c，3=a+c，所求二次函数表达式为 y=2x25.a=2，c=5.解得关于y轴对称已知二次函数yax2 bx的图象经过点(2，8)和(1，5)，求这个二次函数的表达式 解:该图象经过点（-2,8）和（-1,5），图象经过原点8=4a-2b，5=a-b，解得a=-1,b=-6.y=-x2-6x.练一练练一练BC解：如图所示；例4：抛物线 与直线 交于B,C
44、两点.（1）在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线；84212xxy121xy解：由（2）记抛物线的顶点A，求ABC的面积；xyOA2-1-2-3-1216486BC,421842122xxxy得点A的坐标为（4,0）解方程组,8421,1212xxyxy得B（2,2）,C（7,4.5）xyOAB1-1-2-3-1216486BC过B,C两点作x轴垂线，垂直为B1,C2C11111ACCABBCCBBABCSSSS梯形1111111121 2121CCACBBABCBCCBB5.4321 222155.42215.7练一练 如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a 0)0)
45、在同一平面直角坐标系的图象可能是（）xOyAOxyBxOyCxOyDA1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .234yx=y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.xyO1 2-1-2-3-4321-1345当堂练习当堂练习2.过点（2，4），），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是 .顶点坐标是（1，6）y=-2(x-1)2+63.已知二次函数的图象经过点(1，5)，(0，4)和(1，1)求这个二次函数的表达式解：设这个二次函数的表达式为yax2bxc依题意得 这个二次函数的表达式为y2x23x4.a
46、bc1，c4，a-bc-5，解得b3，c4，a2，4.已知抛物线与x轴相交于点A(1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式解：因为点A(1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为ya(x1)(x1)又因为抛物线过点M(0，1)，所以1a(01)(01)，解得a1，所以所求抛物线的表达式为y(x1)(x1)，即yx21.5.如图，抛物线yx2bxc过点A(4，3)，与y轴交于点B，对称轴是x3，请解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；解：(1)把点A(4，3)代入yx2bxc得164bc3，c4b19.对称轴是x3，3，b6，c5，抛物线的表达式是yx
47、26x5；2b(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD8，求BCD的面积(2)CDx轴，点C与点D关于x3对称点C在对称轴左侧，且CD8，点C的横坐标为7，点C的纵坐标为(7)26(7)512.点B的坐标为(0，5)，BCD中CD边上的高为1257，BCD的面积 8728.12已知三点坐标已知顶点坐标或对称轴或最值已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x-h)2+k用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)(x1,x2为交点的横坐标）待定系数法求二次函数解析式课堂小结21.3 二次函数与一元二次方程学练优九年级
48、数学上（HK）教学课件第1课时 二次函数与一元二次方程【学习目标学习目标】理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想【学习重点学习重点】二次函数与一元二次方程的关系的探索过程【学习难点学习难点】准确理解二次函数与一元二次方程的关系问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：问题引入问题引入二次函数与一元二次方程的
49、关系（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？Oht1513h=20t-5t2讲授新课讲授新课当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.解：解方程 15=20t-5t2,t2-4t+3=0,t1=1,t2=3.你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？Oht204解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.当球飞行2秒时，它的高度为20米.h=20t-5t2（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？Oht你能结合
50、图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?20.5解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4 4.1 0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac 0要点总结要点总结例1：已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0)(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值(1)证明：m0，(m2)24m2m24m48m(m2)2.(m2)20，0，此抛物线与x轴总有两个交点；(2)解：令y0，则(x1)(mx2)0，所以 x10或mx20，解得 x11，x2 .
