1、第4章 因式分解4.1 因式分解235=30 这是这是整数乘法整数乘法运算，运算，30=235是什么运算呢？是什么运算呢？（因数分解因数分解）23530整数乘法整数乘法因数分解因数分解a2+a=a(a+1)=(a+1)2a(a+1)(a+1)2=a2+a=a2+2a+1整式的乘法整式的乘法多项式多项式多项式多项式整式的乘法整式的乘法a2+2a+1a2-b2=(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2观察下列两种代数式变形的例子观察下列两种代数式变形的例子，它们，它们之间有之间有什么关系？什么关系？一般地，把一般地，把一个多项式一个多项式化成化成几个整式的几个整式的积积的形式，叫做的形
2、式，叫做因式分解因式分解，也叫，也叫分解因式分解因式。一般地，把一般地，把一个多项式一个多项式化成化成几个整式的几个整式的积积的形式，叫做的形式，叫做因式分解因式分解，也叫，也叫分解因式分解因式。注意：因式分解是注意：因式分解是整式整式范围内的概念范围内的概念.4(2)(2)xxx211()xx xx 不是因式分解，为什么？不是因式分解，为什么？例例1.1.检验下列因式分解是否正确：检验下列因式分解是否正确：(1)x2yxy2=xy(xy)(2)2x21=(2x+1)(2x1)(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2)正确正确正确正确不正确不正确2(1)aaa a（1）2(3)(3)9aaa（
3、2）22441(21)xxx（3）231(3)1xxx x（4）211()xx xx（5）321836a bca b ac（6）下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？多项式 几个整式的积 4.2 4.2 提取公因式提取公因式一般地，把一般地，把一个多项式一个多项式化成化成几个整式几个整式的的积积的形式，叫做的形式，叫做因式分解因式分解，也叫，也叫分解因分解因式式。回忆一下回忆一下探索发现探索发现我们知道我们知道m(a+b)=ma+mbm(a+b)=ma+mb得得ma+mb=m(a+bma+mb=m(a+b).).应用应用这一这一事实，怎样把事实，怎样把2a
4、b+4abc2ab+4abc分解因式分解因式？一般地，一个多项式中一般地，一个多项式中每一项每一项都含有的都含有的相相同的因式同的因式,叫做这个多项式各项的叫做这个多项式各项的公因式公因式.如果一个多项式的如果一个多项式的各项各项含有含有公因式公因式，那，那么可把该公因式么可把该公因式提取提取出来进行因式分解，这种出来进行因式分解，这种分解因式的方法，叫做分解因式的方法，叫做提取公因式法提取公因式法.注意注意：提取公因式后，多项式余下的：提取公因式后，多项式余下的各项各项 不再不再含有公因式含有公因式.教你两招教你两招那么我们如何确定应提取的公因式呢？那么我们如何确定应提取的公因式呢？2.2.
5、字母字母:提取各项相同字母最低次幂提取各项相同字母最低次幂.1.1.系数系数:提取各项系数最大的公因数提取各项系数最大的公因数(系数是整数时系数是整数时););秘籍秘籍:以多项式以多项式 为例为例yzxyax32631.3x1.3x2 2-3y _-3y _2.2a+3ab _2.2a+3ab _3.12st-18t _3.12st-18t _4.2xy+4yxz-10yz 4.2xy+4yxz-10yz _ _5.3ax5.3ax3 3y y +6x+6x4 4yz yz _公因式公因式3x3y3 a找一找：找一找：多项式中的公因式可以是单项式，也可以是多项式。多项式中的公因式可以是单项式，
6、也可以是多项式。6.8(a 3)b(a 3)；（a-3a-3）2y2y6t6t 例例1 1 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：（1 1）2x2x3 3+6x +6x （2 2）3pq3pq3 3+15p+15p3 3q q （3 3）4x+8ax+2x 4x+8ax+2x （4 4）3ab+6abx3ab+6abx9aby9aby提取公因式法的一般步骤提取公因式法的一般步骤:确定应提取的公因式确定应提取的公因式用公因式去除多项式用公因式去除多项式,所得的商为另一个因式所得的商为另一个因式 把多项式写成这两个因式积的形式把多项式写成这两个因式积的形式 当当首项的系数为首项的系数为负负时时,
7、通常应提取通常应提取负因数负因数,此此时剩下的各项都要时剩下的各项都要改变符号改变符号.多项式多项式 2(2(a+ba+b)2 2 (a+ba+b)该该怎么提取公因式？怎么提取公因式？例例2 2 把把2(a2(ab)b)2 2a+ba+b分解因式分解因式 解：解：2(a 2(a b)b)2 2a+ba+b=2(a=2(a b)b)2 2(a a b b)添加括号添加括号=(a(a b)b)2(a 2(a b)b)1 1提取公因式提取公因式(a(a b)b)=(a(a b)b)(2a(2a 2b 2b 1)1)回顾去括号法则，完成下列填空：回顾去括号法则，完成下列填空：（1 1）1-x=+(1-
8、x=+(););（2 2）-x+1=-x+1=()（3 3）x-y x-y=+(=+(););（4 4）-x-y=-x-y=()你能概括出添括号法则吗？你能概括出添括号法则吗？1-xx-1x-yx+y括号前面是括号前面是“+”号，括到括号里的各项都号，括到括号里的各项都不变号不变号；括号前面是括号前面是“-”号，括到括号里的各项都号，括到括号里的各项都变号变号。热身训练热身训练1.1.提取公因式法口决提取公因式法口决系数系数:提取最大的公因数提取最大的公因数;字母字母:提取相同字母最低次幂。提取相同字母最低次幂。课堂小结课堂小结2 2、提取公因式法分解因式、提取公因式法分解因式3 3、添括号法
9、则、添括号法则 确定应提取的公因式确定应提取的公因式 用用公因式去除多项式公因式去除多项式,所得的商为另一个因式所得的商为另一个因式 把多项式写成这两个因式积的形式把多项式写成这两个因式积的形式括号前面是括号前面是“+”+”号，括到括号里的各项都不变号；号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是括号前面是“”号，括到括号里的是各项都变号号，括到括号里的是各项都变号.4.3 用乘法公式分解因式用乘法公式分解因式 xyyxyx6421225432243xyyxxy 122a11aa221 aa2-b2 (a+b)(a-b)=两个数的两个数的平方差平方差，等于这等于这两个数的两个数的和和与与这这两个数
10、的两个数的差差的的积积。做一做：做一做：下列多项式符合平方差公式分解因式吗？下列多项式符合平方差公式分解因式吗？x 2(1)1 xy22(2)0.04 4xy22(4)xy22(5)4xy22(3)22)(4)6(yx可以用平方差公式分解的多项式特征：可以用平方差公式分解的多项式特征：1 1、两项、两项2 2、两项符号相反、两项符号相反3 3、两项可写成数或式的平方形式、两项可写成数或式的平方形式观察上面可以用平方差公式分解因式的多项式可以用平方差公式分解因式的多项式有什么特征有什么特征?例例1 1：用平方差公式分解因式：用平方差公式分解因式 x 2(1)1 xy22(2)0.04 4xy22
11、(3)22)(4)6(yx练习：把下列各式分解因式：练习：把下列各式分解因式：116)1(2a2224)2(lnm42161259)3(yx（4）121-4a2b222)()(zyzx (2)（2n+1）2-(2n-1)2(3)(2x-y)2-4(x+y)2(5)8a3-2a(6)4x3y-9xy3(4)a4-81我能行！我能行！（1）回顾反思1.今天我们学习了一种新的分解因式的方法是什么？2.你能写一个多项式可以用平方差公式分解因式吗？3.你认为用平方差分解因式要注意哪些方面？知识拓展知识拓展 英国数学家狄摩根在青年时代英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人曾有人问他问他:“:“今年多大年龄？今
12、年多大年龄？”狄摩根想了想狄摩根想了想说：说：“今年，我的年龄和我弟弟年龄的今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是平方差是141141，你能算出我的年龄和我弟，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为假设狄摩根的年龄为x x岁，岁，他弟弟的年龄为他弟弟的年龄为 y y岁，你能算出他们的岁，你能算出他们的年龄吗？年龄吗？aa4)1(322)32()2(yyx229124baba222)(2bababaaabb222 22)(2)(4121)2(2xx96)1(2xx241)3(mm 241)6(a144)4(2yyxyxy1294)5(22aabb222 22)()(10)1(aa2)(12)()2(ay25a 5a y22ay 122)()(41)3(a3612)1(2aa229124)2(baba2244)3(baab2244)4(yxyx22363)1(ayaxyax9)2(6)2()2(2yxyx8118)3(24xx提取公因式法提取公因式法多项式多项式整式积的形式整式积的形式提取公因式法、公式法提取公因式法、公式法2220082008401820090134622bababa22ykxyx
