1、 1.3.2 1.3.2 球的体积与表面积球的体积与表面积O O343VRS4 R2 1.1.柱体、锥体、台体的体积公式分柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？圆柱、圆锥、圆台的表面积别是什么？圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是什么？公式分别是什么？复习 回顾 1、球的体积公式球的体积公式334RV半径是半径是R的球的体积是的球的体积是从球的结构特征可知，球的大小是其半径所确定的。OABCRR 半径是半径是 的球的表面积：的球的表面积：R24SR 球的表面积是大球的表面积是大圆面积的圆面积的4倍倍R2、球的表面积球的表面积 例例1.1.如图如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径圆柱的底面直径与
2、高都等于球的直径.求证：求证：(1)(1)球的体积等于圆柱体积的，球的体积等于圆柱体积的，(2)(2)球的表面积等于圆柱的侧面积。球的表面积等于圆柱的侧面积。分析：由题可得：球内切于圆柱作圆柱的轴截面（如图）证明证明:(1):(1)设球的半径为设球的半径为R,R,则圆柱的底面半径为则圆柱的底面半径为R,R,高为高为2R2R。.34,3VR球2322.VRRR圆柱23VV球圆柱24SR球（2），2224SRRR圆柱侧SS球圆柱侧324.4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:81:8，则其表面积之比是，则其表面积之比是_.2422:14:11.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍,
3、则半径变为原来的则半径变为原来的_倍倍.2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.课堂练习课堂练习5.5.将半径为将半径为1 1和和2 2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是这个大铅球的表面积是_.3312 例例2、若正方体的棱长为、若正方体的棱长为a，求：，求：正方体的内切球的体积正方体的内切球的体积正方体的内切球直径=正方体棱长3314()=326aaV aR 2 正方体的外接球的体积A1AC1CO对角面对角
4、面ABCDD1C1B1A1O球的内接正方体的对角线等于球直径。球的内接正方体的对角线等于球直径。332433()=322aaV 23Ra 2a 与正方体所有棱都相切的球的体积与正方体所有棱都相切的球的体积22Ra.32)22(34333aav正方体的内切球正方体的内切球直径直径正方体的外接球正方体的外接球直径直径与正方体所有棱相切的球与正方体所有棱相切的球直径直径探究探究 若正方体的棱长为若正方体的棱长为a，则，则aa3a2 1、甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为丙球外接于该正方体，则
5、三球表面面积之比为()A.1:2:3 B.C.D.1:2:31:8:27331:4:9A球的外切正方体的棱长等于球直径：球的外切正方体的棱长等于球直径：224=2乙SR 正方体的面对角线等于球的直径正方体的面对角线等于球的直径球内切于正方体的棱时球内切于正方体的棱时22Ra球的内接正方体的体对角线等于球直径：球的内接正方体的体对角线等于球直径：234=3SR 丙丙23Ra2Ra224=甲SR 解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为a 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。球，所以它的体对角线正好为球的直径。结论
6、（结论（1）长方体的外接球的球心是体对角线的交点，半长方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半径是体对角线的一半222abc（2）设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则对角线长为333233422222164216)3(23)2(RVRSRR且对角线长球的直径等于长方体的长方体内接于球解：2、球的内接长方体的长、宽、高分别为球的内接长方体的长、宽、高分别为 3、2 ,求此球体的表面积和体积求此球体的表面积和体积 一个球与它的外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体一个球与它的外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比为（积之比为（）(A)25 (B)12 (A)25
7、(B)12 (C)23 (D)49(C)23 (D)49O OBA1OAB1OR 用一个平面用一个平面去截一个球去截一个球O，截面是圆面，截面是圆面222dRrrdRO 球的截面的性质球的截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面球心和截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离为球心到截面的距离为d，球的半径为，球的半径为R，则，则截面问题截面问题例例3.一球的球面面积为一球的球面面积为256cm2，过此球的一，过此球的一条半径的中点，作垂直于这条半径的截面，条半径的中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆的面积求截面圆的面积.1.1.用与球心距离为用与球心距离为1 1的平面去截球，所得的截面面
8、积为的平面去截球，所得的截面面积为,则球的体积为则球的体积为()()【解析解析】选选C.C.设球的半径为设球的半径为R R，则截面圆的半径为，则截面圆的半径为 所以截面圆的面积所以截面圆的面积球的体积球的体积 故选故选C.C.88 232A.8 2C.D.333 B B .2R1,222S(R1)(R1)348 2V=R=332R2R2 C 2.2.已知过球面上已知过球面上A A,B B,C C 三点的截面和三点的截面和球心的距离球心的距离为球半径的一半，且为球半径的一半，且ABAB=BCBC=CACA=2,=2,求球的表面积求球的表面积.C B A O O解解:设截面圆心为设截面圆心为OO,
9、连结连结OAOA,设球半径为设球半径为R.R.则则:232 32323O A Rt O OA在中，222OAO AO O2222 31()34RR43R26449SR 例例4 4、在球内有相距在球内有相距1cm1cm的两个平行截面，截面面的两个平行截面，截面面积分别是积分别是5cm5cm2 2和和8cm8cm2 2，球心不在截面之间，球心不在截面之间，求球的表面积求球的表面积.思路点拨：由截面面积可求出截面圆的半径，两思路点拨：由截面面积可求出截面圆的半径，两截面相距截面相距1cm1cm，可求出球的半径，可先画出图形，可求出球的半径，可先画出图形，再把问题平面化再把问题平面化.OB1C2C1A2A1B2B1A2A2B1B1C2CO 1212CCrr令上下两个截面圆的圆心分别为、，半径分别为、222211225588rrrr由得，由得22211112222222,5,8Rt OC AOCRrRRt OC AOCRrR在中在中22122,581OCOCRR 22258 18=1RRR 即，两边平方得22=9=4=36RSR球解得，1A2A2B1B1C2C
