1、江苏省 2021 届高三数学一轮复习教案 立体几何中的角，距离问题 1 1. .空间中的各种角：空间中的各种角： 1)1) 等角定理及其推论等角定理及其推论 定理：若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等. 推论： 若两条相交直线和另两条相交直线分别平行， 则这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 2)2) 异面直线所成的角异面直线所成的角 定义：a、b 是两条异面直线，经过空间任意一点 O，分别引直线 aa,bb,则 a和 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角. 取值范围：090. 求解方法：i）根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角； ii）
2、解含有的三角形，求出角的大小. 3)3) 直线和平面所成的角直线和平面所成的角斜线和射影所成的锐角斜线和射影所成的锐角 取值范围 090 求解方法： i）作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角. ii）解含的三角形，求出其大小. 4)4) 二面角及二面角的平面角二面角及二面角的平面角 半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面. 二面角 由一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的 棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成. 若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角. 二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的
3、平面角的取值范围是 0180 二面角的平面角 i）以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成 的角叫做二面角的平面角. ii）二面角的平面角具有下列性质： a.二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面 b.从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线， 垂足必在平面角的 另一边(或其反向延长线)上. c.二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直 找(或作)二面角的平面角的主要方法. (i)定义法 (ii)垂面法 (iii)三垂线法 ()根据特殊图形的性质 求二面角大小的常见方法 先找(或作)出二面角的平面角 ，再通过解三角形求得 的值. 2
4、.2. 空间的各种距离空间的各种距离 1)1) 点到平面的距离点到平面的距离 (1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距 离. (2)求点面距离常用的方法： a.直接利用定义求 找到(或作出)表示距离的线段； 抓住线段(所求距离)所在三角形解之. b.体积法其步骤是：在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥； 求出此三棱锥的体积 V 和所取三点构成三角形的面积 S；由 V= 3 1 Sh，求出 h 即为所 求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便 于计算. 2)2) 直线和平面的距离、平行平面的距离直线和平面的距离
5、、平行平面的距离 将线面、面面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之. 3 3. .几何中的各类心几何中的各类心 内心：到四个面的距离相等 外心：到四个顶点的距离相等 垂心：四个顶点到底面的高的交点 重心：顶点与底面重心的连线的交点 二、二、 课前练习课前练习 1. 正四棱锥 棱长均相等，E点为VB的中点，则异面直线VA与CE所成角的余弦 值为( ) A. 3 6 B. 3 3 C. 3 4 D. 3 2 2. 在四面体ABCD中， 为等边三角形， = 2，二面角 的大小为， 则的取值范围是( ) A. (0, 6 B. (0, 4 C. (0, 3 D. (0, 2 3. 如图，
6、在三棱锥 中， = = = = 3， = = 2，点,分别为 ,的中点，则异面直线,所成的角的余弦值是( ) A. 1 4 B. 3 4 C. 5 8 D. 7 8 4. 在正三棱柱 111中， = 23，1= 2，E，F分别为1，11的中点， 平面过点1，且平面 /平面11，平面 平面111= ，则异面直线EF与l 所成角的余弦值为_ 5. 如图，在菱形ABCD中， = 60，线段AD，BD的中点分别为,.现将 沿对 角线BD翻折，使二面角 的大小为120，则异面直线BE与CF所成角的余弦 值为 6. 在如图所示的直四棱柱1111中，底面ABCD为菱形，1= 2 = 4， = 60.点M为棱
7、1的中点，若N为菱形1111内一点(不包含边界)，满足 /平面1.设直线MN与直线1所夹角为，则的最小值为_ 7. 如图，在四棱锥 ，ABCD为矩形， = ， ，平面 平面ABCD (1)证明：平面 平面PBC； (2)若M为PC中点，直线PD与平面PAB所成的角为45，求二面角 的正弦 值 8. 如图，在等腰梯形ABCD中，/， = = = 2， = 4，M，N，Q 分别为 BC，CD，AC的中点，以AC为折痕将 折起，使点D到达点P位置( 平面) (1)若H为直线QN上任意一点，证明：/平面ABP； (2)若直线AB与MN所成角为 4，求二面角 的余弦值 三、三、 例题讲解例题讲解 1.
8、已知三棱柱 111内接于一个半径为3的球， 四边形11与11均为正方 形，M，N 分别是11，11的中点，1 = 1 211，则异面直线 BM与 AN 所成角的 余弦值为( ) A. 3 10 B. 30 10 C. 7 10 D. 70 10 【答案】B 【解析】解：四边形11与11均为正方形， 1底面.即三棱柱 111为 直三棱柱 M，N 分别是11，11的中点，1 = 1 211， 111= 90 设 = ， 三棱柱 111内接于一个半径为3的球， (3)2= ( 2 2 )2+ (1 2) 2，解得 = 2 (0,2,0)，(2,0，0)，(0,1,2)，(1,1,2)， = (0,1
9、，2)， = (1,1,2)， cos = 3 56 = 30 10 故选：B 四边形11与11均为正方形， 1底面.即三棱柱 111为直三棱柱 M， N 分别是11，11的中点，1 = 1 211，可得111 = 90.设 = ，根据三棱柱 111内接于一个半径为3的球，利用勾股定理可得 x，建立空间直角坐标系，利用向 量夹角公式即可得出 【考点】直三棱柱的性质、异面直线所成的角、正方体与直角三角形的性质、向量夹角公式，推 理能力与计算能力 2. 在正四面体 ABCD 中，M是棱 BD 上的中点，则异面直线 AB与 CM 所成角的余弦值为 _ 【答案】 3 6 【分析】 本题考查异面直线所成
10、的角，做，证，算三者不可缺一，属于基础题目 取 AD 的中点 N，连接 MN，CN，则/，则(或其补角)为所求，得到三边的值，然 后利用余弦定理可以计算 【解答】 解：取 AD 上的中点 N，连接 MN，CN，则/，如图所示： 则(或其补角)为异面直线 AB 与 CM 所成角， 设 = 2，则 = 1，在 中， = 3，同理 = 3， 则在 中，cos = 12+3232 213 = 3 6 故答案 3 6 3. 己知直线 l与正方体 1111的所有面所成的角都相等，且平面11 = ，则 l与平面11所成角的正切值是_ 【答案】 2 【分析】 本题考查线面角的求法.关键是确定直线 l 【解答】
11、 解： 因为直线 l 与正方体 1111的所有面的成角都相等， 所以 l 与正方体的体对角线平行，不妨令其为1，取11的中点为 O， 则1垂直于面11，连结 HO，则1就是 l 与平面11所成的角， 设正方体的棱长为 2，所以 = 1，1 = 2， 所以 故答案为2 4. 如图，在六面体 1111中，侧面11为矩形，侧面11为直角梯形， 1 ，1/ 1，底面 ABCD也为直角梯形， ， / (1)求证：1/ 1； (2)若 = 2 = 2 = 2，求平面11与平面11所成的锐二面角的余弦值 【答案】解：(1)证明：因为侧面11为矩形，所以1/1，1/1，所以1/1， 因为不在平面11内，1平面
12、11，所以1/平面11， 因为平面11 平面11= 1，1平面11，所以1/1， 所以1/1 (2)解：由已知得，从 A 出发的三条棱两两垂直，以 A 为坐标原点，AB，AD，1所在的直线分 别 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，显然平面11的法向量为 1 = (0,1，0)，(1,1，0)，(0,2，0)， = (1,1，0) 设平面11的法向量为2 = (,1，0)， 2 = 0，所以 + 1 = 0，所以 = 1，即 2 = (1,1，0) 所以平面11与平面11所成的锐二面角的余弦值为 |1 2 | | 1 | 2 | = 1 12 = 2 2 【解析】 本题主要考查线面平行的判定定理与性质定理， 以及利用空间向量法求二面角的余弦值， (1)由线面平行的判定定理可证1/平面11，再由线面平行的性质定理证得1/1，因 为侧面11为矩形，所以1 / 1； (2)由已知得，从 A 出发的三条棱两两垂直，以 A 为坐标原点，AB，AD，1所在的直线分别 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面11与平面11的法向量，进而求得其 锐二面角的余弦值 四、四、 课堂小节课堂小节 本节课重要掌握了本节课重要掌握了 ；还有；还有 方面待加方面待加 强强.
