1、一、选择题1已知，若函数存在两个零点，且，则下列结论可能成立的是（ ）ABCD2在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析式研究函数的性质，下列函数的解析式（其中为自然对数的底数）与所给图象最契合的是（ ）ABCD3已知函数，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD4已知函数，则函数的图象可能是（ ）ABCD5对于正数，定义函数：.若对函数，有恒成立，则（ ）A的最大值为B的最小值为C的最大值为D的最小值为6对于上可导的任意函数，若当时满足，则必有（ ）ABCD7已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）ABCD8函数，若关于x的方程
2、有四个不等的实数根，则实数a的取值范围为（ ）ABCD9若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为（ ）ABCD10对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（）ABCD11是R上的偶函数，当时，且，则不等式的解集为（ ）ABCD12设是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ）ABCD二、填空题13对于函数有下列命题：在该函数图象上一点（2，f（2）处的切线的斜率为；函数f(x)的最小值为；该函数图象与x轴有4个交点；函数f(x)在（，1上为减函数，在（0，1上也为减函数.其中正确命题的序号是_.14已知，对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是_.15
3、如果定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”，给出下列函数： 以上函数是“H函数”的所有序号为_.16已知函数()，若对任意两个不相等的正实数 都有恒成立，则实数的取值范围是_.17已知奇函数是定义在R上的可导函数，当时，有，则不等式的解集为_.18定义在上的函数满足，且，则不等式的解集是_19若函数仅有1个零点，则实数的取值范围是_.20函数在上单调递减，则实数的取值范围是_.三、解答题21已知函数(k为常数，e=2.71828是自然对数的底数)，曲线在点(1，)处的切线与轴平行.（1）求的单调区间；（2）设，其中为的导函数，证明：对任意，.22已知函数.（1）求证
4、：；（2）求证：对于任意正整数，.23已知函数，为自然对数的底数.（）当且时，证明：；（）当时，函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.24已知函数.（1）求函数的最小值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在单调递增，求实数的取值范围.25已知函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间和极值；（）设函数，试判断的零点个数，并证明你的结论.26已知函数.（1）当时，求曲线在点处切线的方程；（2）求函数的单调区间.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1D解析：D【分析】根据题意将问题转化为方程在上有两个实数根，进而令，再研究函数的单调性得，进而分和讨论即可得答案.【详解】
5、解:当时，函数只有一个零点，故，因为函数存在两个零点，且所以方程在上有两个不相等的实数根.令，所以当时，时，故函数在上单调递增，在上单调递减；所以，所以，当时，当时，.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数零点问题，解题的关键在于将问题转化为方程在上有两个不相等实数根，进而令研究函数的单调性即可.考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.2B解析：B【分析】分析合选项中函数值符号、单调性、奇偶性，并与题中的函数图象作比较，由此可得出合适的选项.【详解】对于A选项，当时，与题中函数图象不符；对于B选项，设，该函数的定义域为，函数为奇函数，当时，由，可得；由，可得或.所以，函数的单调递减区间为
6、、，单调递增区间为，与题中函数图象相符；对于C选项，所以，函数为上的增函数，与题中函数图象不符；对于D选项，对于函数，可得，该函数的定义域为，与题中函数图象不符.故选：B.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.3C解析：C【分析】转化为的图象与直线仅有一个交点，利用导数得到函数的性质，根据函数的性质作出函数的图象，根据图象可得解.【详解】当时，当时，当时，所以在上递增，在上递减，所以
7、在处取得极大值为，当时，当时，当时，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值为，又，因为函数仅有一个零点，所以的图象与直线仅有一个交点，作出函数的图象，如图：由图可知：或.故实数的取值范围为.故选：C【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.4B解析：B【分析】利用函数的对称性排除A选项；然后分和两种情况讨论，利
8、用导数分析函数的单调性，结合的符号可得出合适的选项.【详解】，则，所以，函数的图象关于点对称，排除A选项；，则，当，时，函数单调递增，又，排除D选项；当，时，函数单调递减，又，排除C选项.故选：B【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.5B解析：B【分析】利用导数求出函数的最大值，由函数的定义结合恒成立可知，由此可得出的取值范围，进而可得出合适的选项.【详解】对于正数，定义函数：，且恒
9、成立，则.函数的定义域为，且.当时，此时，函数单调递增；当时，此时，函数单调递减.所以，.因此，的最小值为.故选：B.【点睛】解决导数中的新定义的问题，要紧扣新定义的本质，将问题转化为导数相关的问题，本题将问题转为不等式恒成立，从而将问题转化为求函数的最大值.6B解析：B【分析】根据，得到时，单调非递增函数，时，单调非递减函数求解.【详解】因为，所以当，即时，则单调非递增函数，所以；当，即时，单调非递减函数，所以；由不等式的性质得：.故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.7B解析：B【分析】求导得到，然后根据在，上为增函数，在上为减函数，由求解.【详解
10、】已知函数，则，因为在，上为增函数，在上为减函数，所以，即，解得 ，所以实数的取值范围为故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.8C解析：C【分析】作出函数的大致图象，令，则原问题可转为关于t的方程有2个不等实根和，结合的图象可确定和符合两种情形：，或，最后分两类讨论即可求得a的取值范围.【详解】当时，当时，单调递增；当时，单调递减，函数的大致图象如图所示：令，当或4时，方程有2个实根；当，方程有1个实根.当t（0，4）时，方程tf（x）有3个实根；则关于x的方程有四个不等的实数根可等价于关于t的方程有2个不等实根和.
11、和可符合两种情形：,或（0，4），.若，则；若（0，4），设g（t）t2at+4aa2，则g（0）g（4）0，解得.综上，实数a的取值范围为.故选：C.【点睛】本题考查方程根的问题，利用导数研究函数的单调性与最值，考查学生的数形结合思想、转化与化归思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题9C解析：C【详解】分析：函数在上有最大值无最小值，则极大值在之间，一阶导函数有根在，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解详解：f（x）3ax2+4x+1，x（1，2）a0时，f（x）4x+10，函数f（x）在x（1，2）内单调递增，无极值，舍去a0时，1612a由0，解得，此时f（x）0，函数f
12、（x）在x（1，2）内单调递增，无极值，舍去由0，解得a（a0），由f（x）0，解得x1，x2当时，x10，x20，因此f（x）0，函数f（x）在x（1，2）内单调递增，无极值，舍去当a0时，x10，x20，函数f（x）ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，必然有f（x1）0，12，a0解得：a综上可得：a故选：C点睛：极值转化为最值的性质：1、若上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为的最小值；2、若上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为的最大值；10D解析：D【分析】构造函数，对其求导后利用已知条件得到的单调性，将选项中的角代入函数中，利用单调性化简，并判断正误，由此
13、得出选项.【详解】解：构造函数，则，即在上为增函数，由，即，即，故A正确；，即，即，故B正确；，即，即，故C正确；由，即，即，即，故错误的是D故选D【点睛】本小题考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有，也含有其导数的不等式，根据不等式的结构，构造出相应的函数.如已知是，可构造，可得.11C解析：C【分析】构造函数，求导，利用的单调性和奇偶性解不等式【详解】设（），则，当时，即在上单调递增，又是R上的偶函数，即是上的奇函数，在上单调递增，.而不等式等价于，或.故选：C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的应用，
14、利用条件构造函数，然后利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，属于中档题12B解析：B【分析】构造函数，易知在上单调递增，由是定义在上的偶函数可推出是定义在上的奇函数，故在上也单调递增，且.而不等式的解可等价于即的解，从而得解.【详解】解：设，则，当时，有恒成立，当时，在上单调递增，是定义在上的偶函数，即是定义在上的奇函数，在上也单调递增.又，.不等式的解可等价于即的解，或，不等式的解集为.故选：B.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查函数的单调性，利用了构造思想，导函数的运用，属于中档题二、填空题13【分析】求出导数代入-2可得判断；利用函数的单调性求出极值可判断；分别求函数等于零的
15、根可判断【详解】x0时f(x)2xexf(x)2（1+x）ex故f（2）正确；且f(解析：【分析】求出导数代入-2可得判断；利用函数的单调性求出极值可判断；分别求函数等于零的根可判断.【详解】x0时，f(x)2xex，f(x)2（1+x）ex，故f（2），正确；且f(x)在（，1）上单调递减，在（1，0）上单调递增，故x0时，f(x)有最小值f（1），x0时，f(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，故x0时，f(x)有最小值f（1）故f(x)有最小值，正确；令得，令得，故该函数图象与x轴有3个交点，错误；故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性、求
16、函数的最值一定注意定义域.14【分析】当时证明出由题意可得出可得出结合函数的单调性可求得实数的取值范围【详解】当时先证明出构造函数则则函数在区间上单调递增所以所以函数在区间上单调递增当时所以由可得所以当时即令则所以函数在区间上单解析：【分析】当时，证明出，由题意可得出，可得出，结合函数的单调性可求得实数的取值范围.【详解】当时，先证明出，构造函数，则，则函数在区间上单调递增，所以，所以，函数在区间上单调递增，当时，所以，.由，可得，所以，.当时，即，令，则，所以，函数在区间上单调递增，当时，所以，.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立
17、，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.15【分析】根据题意可知H函数为增函数转化为判断函数在上是否为增函数根据解析式可知正确；根据导数可知正确；根据解析式可知不正确【详解】因为可化为所以根据题意可知函数为上的增函数即H函数为增解析：【分析】根据题意可知“H函数”为增函数，转化为判断函数在上是否为增函数，根据解析式可知正确；根据导数可知正确；根据解析式可知不正确.【详解】因为可化为，所以根据题意可知，函数为上的增函数，即“H函数”为增函数，显然是增函数，故正确；，因为，所以函数为上的增函数，故正确；，且只有当时，所以函数为上的增函数，故正确；，当时，在上递增，当时，在
18、上递减，所以不是上的增函数，故不正确.故答案为：【点睛】关键点点睛：转化为判断函数在上是否为增函数是解题关键.16【分析】设由题意得令则所以函数是增函数原问题转化为恒成立然后利用参变分离法有恒成立运用配方法求出函数在上的最大值即可【详解】若对任意两个不相等的正实数都有恒成立不妨设所以即令则所以函数在单调递增则恒解析：【分析】设,由题意得，令，则，所以函数是增函数，原问题转化为恒成立，然后利用参变分离法，有恒成立，运用配方法求出函数在上的最大值即可【详解】若对任意两个不相等的正实数 都有恒成立,不妨设所以，即，令，则，所以函数在单调递增，则恒成立，所以恒成立， 又函数，当时，等号成立， 所以，
19、所以实数的取值范围是 故答案为：【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用，本题采用参变分离法，将其转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题17【分析】构造函数判断函数的单调性和奇偶性得到解得答案【详解】设函数当时函数单调递增为奇函数故为奇函数故函数在上单调递增即即解得故答案为：【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式构造函数判断解析：【分析】构造函数，判断函数的单调性和奇偶性，得到，解得答案.【详解】设函数，当时，函数单调递增， 为奇函数，故为奇函数，故函数在上单调递增，即，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇
20、偶性解不等式，构造函数判断单调性和奇偶性是解题的关键.18【分析】构造函数利用导数判断单调性再利用单调性解不等式即可【详解】构造函数则依题意知即在上是减函数又因为所以所以的解为即即的解为所以的解为即即解集是故答案为：【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式解析：【分析】构造函数，利用导数判断单调性，再利用单调性解不等式即可.【详解】构造函数，则，依题意知，即在上是减函数.又因为，所以，所以的解为，即即的解为，所以的解为，即，即解集是.故答案为：.【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，属于中档题.19(或)【分析】令分离常数构造函数利用导数研究的单调性和极值结合与有一个交点求得的取值范围【详
21、解】解：方程可化为令有当时；当或时所以函数的增区间为减区间为可得处取得极小值0处取得极大值画出的图象和直线解析：(或)【分析】令 分离常数，构造函数，利用导数研究 的单调性和极值，结合 与 有一个交点，求得 的取值范围【详解】解：方程 可化为，令，有，当时，；当或时，所以函数 的增区间为，减区间为，可得 处 取得极小值 0， 处取得极大值，画出 的图象和直线，可得当时， 和 的图象有 1 个交点故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题20【分析】求导得到恒成立化简得到计算得到答案【详解】在恒成立即恒成立
22、故故答案为【点睛】本题考查了利用导数计算函数的单调性意在考查学生的计算能力解析：【分析】求导得到恒成立，化简得到，计算得到答案.【详解】在恒成立即恒成立，故 故答案为【点睛】本题考查了利用导数计算函数的单调性，意在考查学生的计算能力.三、解答题21（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见详解.【分析】（1）先利用导数的几何意义列式，求得参数，再通过研究导数的正负来判断函数的单调性即可；（2）根据，先进行不等式放缩，再令，利用导数证明，即得结果.【详解】解：（1）由，得，由于曲线在点处的切线与轴平行所以，因此此时，令，则，故在上递减，且，故当时，；当时，因此的单调递增区间为，单调递减
23、区间为；（2）因为，即，所以，令，则，令得，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减故，即，所以，即证.【点睛】利用导数研究函数的单调性的步骤：写定义域，对函数求导；在定义域内，解不等式和根据不等式解集写出单调区间.22（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求导根据导数，求出最小值进而有成立（2）有（1）得，令得，不等式通项可加性相加，根据等比数列求和化简即可证明.【详解】解：（1）由题意得当时，单调增当时，单调减所以的最小值为，所以即成立（2）由（1）知令得所以即所以【点睛】已知不等式证明问题常用的方法：（1）证明或；（3）构造两个函数，证明23（）证明见详解；（）.【分析】（）先
24、构造函数，利用导数证明恒成立，再结合，且两不等式取等号条件不一样，两不等式相加即证结论；（）依题意即在区间上恒成立，再分，三种情况进行讨论，利用导数研究单调性和值的分布说明前两种情况不符合题意，最后一种情况符合题意即可.【详解】解：（）当且时，函数，定义域为R，令，则，得，故时，单调递减，时，单调递增，故恒成立，时等号成立.所以恒成立，时取等号，而恒成立，当时取等号，故，但由于取等号条件不一致，故等号取不到，所以；（）当时，函数，在区间上单调递增，则在区间上恒成立.令，则.当时，即，不符合题意；当时，则，因为，当时，单调递减，所以存在，使得，当时，单调递减，当时，单调递增，而，故时恒成立，即单
25、调递减，又，故，即，不符合题意；当时，则，因为，所以，即在区间上是单调递增函数，而，故恒成立，所以在区间上是单调递增函数，而，故恒成立，即恒成立，符合题意.综上，实数的取值范围为.【点睛】方法点睛： 已知函数单调性求参数的取值范围问题，通常利用导数将其转化成恒成立问题：（1）函数在区间I上单调递增，则在区间I上恒成立；（2）函数在区间I上单调递减，则在区间I上恒成立.24（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为；（3）.【分析】（1）求导可得，令得，分别讨论和时导函数的正负，可得的单调性，即可求得最小值；（2）求导可得，由得，分别讨论和时导函数的正负，可得单调区间；（3）所求等价于在单调递
26、增，即恒成立，根据x的范围，即可求得的最小值，即可得答案.【详解】（1）函数的定义域为，由得，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数的最小值为；（2），由得，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为；（3），因为函数在单调递增，所以在恒成立，即，因为，所以，所以；【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求解函数的单调区间、极值（最值）的方法，并灵活应用，在已知单调区间求参数时，可转化为恒成立问题，若，需要，若，需，考查计算化简的能力，属中档题.25（）；（）的单调递减区间是，单调递增区间是，；极大值，极小值；（）一个，证明见解析.【分析】（）利用导数的几何意义
27、求切线方程；（）根据和，求函数的单调递增和递减区间，根据极值的定义求极值；（）首先方程等价于，设函数，求函数的导数，分和两个区间讨论函数的单调性，并结合零点存在性定理说明函数的零点个数.【详解】（）由，得 . 因为，所以曲线在点处的切线方程为. （）令，得，解得或.当变化时，和变化情况如下表：所以，的单调递减区间是，单调递增区间是，； 在处取得极大值，在处取得极小值.（）,，即，等价于. 设，则.当时，在区间上单调递增.又，所以在区间上有一个零点. 当时,设.，所以在区间上单调递增. 又，所以存在，使得.所以，当时，单调递减；当时，单调递增. 又，所以在区间上无零点. 综上所述，函数在定义域内
28、只有一个零点.【点睛】关键点点睛：本题第三问判断零点个数，首先要构造函数，当时，利用二次导数判断单调递增，存在，使得，再判断零点个数时，需结合函数的单调性和端点值共同判断.26（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）先求出切点坐标，求出导函数，得到，再写出切线方程即可；（2）求出导函数，对分类讨论，判断函数的导数的符号，可得到函数的单调区间.【详解】（1）当时，切点， ，所以切线方程为，即.（2）， ，当，即时， ，函数单调递增；当，即，或时， ，函数在每个区间上单调递减； ，当，即时， ，函数单调递减；当，即，或时， ，函数在每个区间上单调递增；综上所述，时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【点睛】含参问题注意分类，找到合理的分类标准是解决本题的关键，是中档题
