1、 【类型综述】 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为 特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导 边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后 利用相似来列方程求解。 【方法揭秘】 相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个 三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对
2、应角相等 判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检 验 如果已知AD，探求ABC 与DEF 相似，只要把夹A 和D 的两边表示出来，按照对应边成 比例，分 ABDE ACDF 和 ABDF ACDE 两种情况列方程 应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等 应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组） 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是 确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题 求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这
3、个公式容易记错理解记忆比较好 如图 1，如果已知 A、B 两点的坐标，怎样求 A、B 两点间的距离呢？ 我们以 AB 为斜边构造直角三角形， 直角边与坐标轴平行， 这样用勾股定理就可以求斜边 AB 的长了 水 平距离 BC 的长就是 A、B 两点间的水平距离，等于 A、B 两点的横坐标相减；竖直距离 AC 就是 A、B 两点 间的竖直距离，等于 A、B 两点的纵坐标相减 图 1 【典例分析】 例 1 如图 1，已知直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 yx2bxc 经过 A、 B 两点，点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发，向点 A 以每秒 1 个单位的速度匀速运
4、动；同时，点 Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以每秒2个单位的速度匀速运动，连结 PQ，设运动时间为 t 秒 （1）求抛物线的解析式；学科#网 （2）问：当 t 为何值时，APQ 为直角三角形； （3）过点 P 作 PE/y 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作 QF/y 轴，交抛物 线于点 F，连结 EF，当 EF/PQ 时，求点 F 的坐标； （4）设抛物线顶点为 M，连结 BP、BM、MQ，问：是否存在 t 的值，使以 B、Q、M 为顶点的三角形 与以 O、B、P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 思路点拨思路点拨 1 在APQ 中， A
5、45 ， 夹A 的两条边 AP、 AQ 都可以用 t 表示， 分两种情况讨论直角三角形 APQ 2先用含 t 的式子表示点 P、Q 的坐标，进而表示点 E、F 的坐标，根据 PEQF 列方程就好了 3MBQ 与BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论 满分解答满分解答 图 2 图 3 （3）如图 4，因为 PE/QF，当 EF/PQ 时，四边形 EPQF 是平行四边形 所以 EPFQ所以 yEyPyFyQ学.科网 因为 xPt，xQ3t，所以 yE3t，yQt，yF(3t)22(3t)3t24t 因为 yEyPyFyQ，解方程 3t(t24t)t，得 t1，或 t3（舍去）
6、所以点 F 的坐标为(2, 3) 图 4 图 5 （4）由 yx22x3(x1)24，得 M(1, 4) 考点伸展考点伸展 第（3）题也可以用坐标平移的方法：由 P(t, 0)，E(t, 3t)，Q(3t, t)，按照 PE 方向，将点 Q 向上平移，得 F(3t, 3)再将 F(3t, 3)代入 yx22x3，得 t1，或 t3 例例 2 二次函数 yax2bxc（a0）的图象与 x 轴交于 A(3, 0)、B(1, 0)两点，与 y 轴交于点 C(0, 3m)（m0） ，顶点为 D （1）求该二次函数的解析式（系数用含 m 的代数式表示） ； （2）如图 1，当 m2 时，点 P 为第三象
7、限内抛物线上的一个动点，设APC 的面积为 S，试求出 S 与 点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S 的最大值； （3）如图 2，当 m 取何值时，以 A、D、C 三点为顶点的三角形与OBC 相似？ 图 1 图 2 思路点拨思路点拨 1用交点式求抛物线的解析式比较简便 2连结 OP，APC 可以割补为：AOP 与COP 的和，再减去AOC 3讨论ACD 与OBC 相似，先确定ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似 4直角三角形 ACD 存在两种情况 满分解答满分解答 图 3 图 4 图 5 （3）如图 4，过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为 E过点 A 作 x 轴的垂线交
8、DE 于 F 由 ym(x3)(x1)m(x1)24m，得 D(1,4m) 在 RtOBC 中，OBOC13m学*科网 如果ADC 与OBC 相似，那么ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为 13m 如图 4，当ACD90 时， OAOC ECED 所以 33 1 m m 解得 m1 此时3 CAOC CDED ，3 OC OB 所以 CAOC CDOB 所以CDAOBC 考点伸展考点伸展 第（2）题还可以这样割补：如图 6，过点 P 作 x 轴的垂线与 AC 交于点 H 由直线 AC：y2x6，可得 H(x,2x6) 又因为 P(x, 2x24x6)，所以 HP2x26x 因为PAH 与
9、PCH 有公共底边 HP，高的和为 A、C 两点间的水平距离 3，所以 SS APC S APH SCPH 3 2 (2x26x) 2 327 3() 24 x 例 3 如图 1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0）与直线 yx2 都经过点 A(2, m) （1）求 k 与 m 的值； （2）此双曲线又经过点 B(n, 2)，过点 B 的直线 BC 与直线 yx2 平行交 y 轴于点 C，联结 AB、AC， 求ABC 的面积； （3）在（2）的条件下，设直线 yx2 与 y 轴交于点 D，在射线 CB 上有一点 E，如果以点 A、C、E 所组成的三角形与ACD 相似，且相似比不为 1，求点 E
10、的坐标 图 1 思路点拨思路点拨 1直线 AD/BC，与坐标轴的夹角为 45 2求ABC 的面积，一般用割补法学科网 3讨论ACE 与ACD 相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程 满分解答满分解答 （3）由 A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2)，得 AD2 2，AC2 10 由于DACACD45 ，ACEACD45 ，所以DACACE 所以ACE 与ACD 相似，分两种情况： 如图 3，当 CEAD CAAC 时，CEAD2 2 此时ACDCAE，相似比为 1 图 3 图 4 考点伸展考点伸展 第（2）题我们在计算ABC 的面积时，恰好ABC 是直角三角形 一
11、般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法 如图 5，作ABC 的外接矩形 HCNM，MN/y 轴 由 S矩形HCNM24，S AHC 6，SAMB2，S BCN 8，得 S ABC 8 例 4 如图 1，RtABC 中，ACB90 ，AC6 cm，BC8 cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以 每秒 5 cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4 cm 的速度向点 B 匀速运 动，运动时间为 t 秒（0t2） ，连接 PQ （1）若BPQ 与ABC 相似，求 t 的值； （2）如图 2，连接 AQ、CP，若 AQCP，求 t 的值；
12、（3）试证明：PQ 的中点在ABC 的一条中位线上 图 1 图 2 思路点拨思路点拨 1BPQ 与ABC 有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程来源:163文库 2作 PDBC 于 D，动点 P、Q 的速度，暗含了 BDCQ 3PQ 的中点 H 在哪条中位线上？画两个不同时刻 P、Q、H 的位置，一目了然 满分解答满分解答 图 3 图 4 （2）作 PDBC，垂足为 D 在 RtBPD 中，BP5t，cosB 4 5 ，所以 BDBPcosB4t，PD3t 当 AQCP 时，ACQCDP学（2）P1（ ， ） ，P2（3，0）;（3）E（10，0） 来源:学+科+网 Z+X+X
13、+K 【解析】 （2）连接 MC，作 MFy轴于点 F，则点 F坐标为（0，4） MF1，CF3(4)1， MFCF，MC FCMFMC45 B（3，0） ，C（0，3） ，OBOC3 而BOC90 ，OCBOBC45 MCB180 OCBFCM90 由此可知，MCP90 ，则点 O与点 C必为相似三角形对应点 过点 P 作 PHy轴于 H学科!网 若有PCMAOC，则有 CP PCH45 ，CP， PHCH OHOCCH3 P1（ ， ） ； （3）过点 Q作 QGx轴于点 G 设点 E的坐标为（n，0） ，Q的坐标为（m，3） CDx轴， D 的纵坐标为3 把 y3 代入 yx22x3，
14、x0或 x2 D（2，3） B（3，0） ， 由勾股定理可求得：BD Q（m，3） ，学￥科网 QD2m，CQm（0m2） BQEBDC，EQCBQEBDCQBD， EQCQBD 又由抛物线的轴对称性可知：NCQBDC， NCQQDB CN(m22m)(m1)2 当 m1时，CN可取得最大值此时 Q的坐标为（1，3） BQ2QDEB，即 131 (3n)， n10 E 的坐标为（10，0） 16如图，在平面直角坐标系 xOy中，将抛物线 y=x2平移，使平移后的抛物线经过点 A（3，0） 、B（1， 0） (1)求平移后的抛物线的表达式 (2)设平移后的抛物线交 y轴于点 C，在平移后的抛物线
15、的对称轴上有一动点 P，当 BP 与 CP 之和最小时，P 点坐标是多少？ (3)若 y=x2与平移后的抛物线对称轴交于 D点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点 M，使 得以 M、O、D为顶点的三角形BOD 相似？若存在，求点 M 坐标；若不存在，说明理由 【答案】 （1）y=x2+2x3； （2）点 P 坐标为（1，2） ； （3）点 M 坐标为（1，3）或（1，2） 【解析】 （2）y=x2+2x3=（x+1）24， 抛物线对称轴为直线 x=1，与 y轴的交点 C（0，3） ， 则点 C关于直线 x=1的对称点 C（2，3） ， 如图 1， 连接 B，C，与直线 x=1 的交
16、点即为所求点 P， 由 B（1，0） ，C（2，3）可得直线 BC解析式为 y=x1， 则， 解得， 所以点 P 坐标为（1，2） ； （3）如图 2， BOD=135 ， 点 M 只能在点 D上方， BOD=ODM=135 ，学科#网 当或时，以 M、O、D为顶点的三角形BOD 相似， 若，则，解得 DM=2， 此时点 M坐标为（1，3） ； 17已知抛物线的图象经过点、，顶点为 ，与 轴交于点 求抛物线的解析式和顶点 的坐标； 如图 ， 为线段上一点，过点 作 轴平行线，交抛物线于点 ，当的面积最大时，求点 的坐 标； 如图 ，若点 是直线上的动点，点 、 、 所构成的三角形与相似，请直接
17、写出所有点 的坐 标； 如图 ，过 作轴于 点，是 轴上一动点， 是线段上一点，若，则 的最大 值为_，最小值为_ 【答案】(1)抛物线解析式为 y=x2+2x+3，顶点坐标 E(1,4).（2）P( , ).（3）Q 点坐标为(3,0),(3,6), ( , )， ( ,).（4）m 的最大值为 5,最小值为54. 【解析】 (1)抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点 A(1,0)、B(3,0)， , 解得， 抛物线解析式为 y=x2+2x+3， 顶点坐标 E(1,4). (2)如图 1 中， 0，学科（2）点 P 的坐标为 2,6 或 4,0;（3）当 2t 时， PBC 的面积 S
18、能取最大值 8，此时 P 点坐标为 2,6 （2） C 点坐标为 0,4， BOC 为等腰直角三角形，且 BOC 为直角 P， C， F 为顶点的三角形与 OBC 相似， PCF 为等腰直角三角形， 又 CF 直线 l，学科%网 PFCF 设 2 ,340P tttt，则 CFt， 22 3443PFtttt 2 3ttt， 2 3ttt ，解得 2t 或 4t 点 P 的坐标为 2,6 或 4,0 20如图，已知抛物线经过 A（2，0） ，B（3，3）及原点 O，顶点为 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是
19、平行四边形，求 点 D 的坐标； （3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P、M、A 为顶点的三角形BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】解（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0） ，且过 A（2，0） ，B（3，3） ，O（0，0）可 得 ， 解得 故抛物线的解析式为 y=x2+2x； （3）存在， 如上图：B（3，3） ，C（1，1） ，根据勾股定理得： BO2=18，CO2=2，BC2=20， BO2+CO2=BC2学科*网 BOC 是直角三角形 假设存在点 P，使以 P，M，A 为顶点的 三角形与BOC 相似， 设 P（x，y） ，由题意知 x0，y0，且 y=x2+2x， 【解析】略
