1、预习课本预习课本 P6063，思考并完成以下问题思考并完成以下问题 1 什么是离散型随机变量的均值？怎么利用离散型随机变量的分 什么是离散型随机变量的均值？怎么利用离散型随机变量的分 布列求出均值？布列求出均值？ 2离散型随机变量的均值有什么性质？离散型随机变量的均值有什么性质？ 3两点分布、二项分布的均值是什么？两点分布、二项分布的均值是什么？ 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 231 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值 新知初探新知初探 1离散型随机变量的均值或数学期望离散型随机变量的均值或数学期望 若离散型随机变量若离散型随机变量 X 的分布列为的分布列为 X
2、x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称则称 E(X) 为随机变量为随机变量 X 的的 均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 x1p1x2p2xi pixnpn 平均水平平均水平 2离散型随机变量的均值的性质离散型随机变量的均值的性质 若若 YaXb，其中，其中 a，b 为常数，则为常数，则 Y 也是随机变量且也是随机变量且 P(Yaxib) ，i1,2，n，E(Y)E(aXb) 3两点分布与二项分布的均值两点分布与二项分布的均值 (1)若若 X 服从两点分布，则服从两点分布，则 E(X) ； (2)若若 X 服从二项分布，即
3、服从二项分布，即 XB(n，p)，则，则 E(X) P(Xxi) aE(X)b np p 点睛点睛 两点分布与二项分布的关系两点分布与二项分布的关系 (1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生相同点：一次试验中要么发生要么不发生 (2)不同点：不同点：随机变量的取值不同，两点分布随机变量的随机变量的取值不同，两点分布随机变量的 取值为取值为 0,1, 二项分布中随机变量的取值二项分布中随机变量的取值 X0,1，2，n 试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进 行行 n 次试验次试验 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确判断下列
4、命题是否正确(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”) (1)随机变量随机变量 X 的数学期望的数学期望 E(X)是个变量，其随是个变量，其随 X 的变化而的变化而 变化变化 ( ) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同随机变量的均值与样本的平均值相同 ( ) (3)若随机变量若随机变量 的数学期望的数学期望 E()3，则，则 E(45)7( ) 2已知离散型随机变量已知离散型随机变量 X 的分布列为的分布列为 X 1 2 3 P 3 5 3 10 1 10 则则 X 的数学期望的数学期望 E(X) ( ) A3 2 B2 C5 2 D3 答案：答案：A 3设随机变量设随机变量
5、 XB(16，p), 且且 E(X)4, 则则 p_ 答案：答案：1 4 4一名射手每次射击中靶的概率均为一名射手每次射击中靶的概率均为 08, 则他独立射击则他独立射击 3 次中靶次数次中靶次数 X 的均值为的均值为_ 答案：答案：24 典例典例 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶奖励一瓶” 或或“谢谢购买谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶奖励一瓶” 字样即为中奖，中奖概率为字样即为中奖，中奖概率为1 6 甲、乙、丙三位同学每人购买甲、乙、丙三位同学每人购买 了一瓶该饮料了一瓶该饮料 (1)求甲中奖且乙、丙都没有中
6、奖的概率；求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数求中奖人数 的分布列及均值的分布列及均值 E() 求离散型随机变量的均值求离散型随机变量的均值 解解 (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A，B，C，那么，那么 P(A)P(B)P(C)1 6 P(A B C)P(A)P(B)P(C)1 6 5 6 5 6 25 216 故甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是故甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是 25 216 (2) 的可能取值为的可能取值为 0,1,2,3 P(k)Ck 3 1 6 k 5 6 3k， ，k0,1,2,3 P(0)C0 3 1 6 0 5 6
7、3 125 216； ； P(1)C1 3 1 6 5 6 2 25 72； ； P(2)C2 3 1 6 2 5 6 5 72， ， P(3)C3 3 1 6 3 1 6 0 1 216 所以中奖人数所以中奖人数 的分布列为的分布列为 0 1 2 3 P 125 216 25 72 5 72 1 216 E()0125 216 125 72 2 5 72 3 1 216 1 2 求离散型随机变量的均值的步骤求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定取值：根据随机变量确定取值：根据随机变量 X 的意义，写出的意义，写出 X 可能取得的可能取得的 全部值；全部值； (2)求概率：求求概率：求 X
8、取每个值的概率；取每个值的概率； (3)写分布列：写出写分布列：写出 X 的分布列；的分布列； (4)求均值：由均值的定义求出求均值：由均值的定义求出 E(X) 其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在 活学活用活学活用 1 甲、 乙两人各进行 甲、 乙两人各进行 3 次射击，次射击， 甲每次击中目标的概率为甲每次击中目标的概率为1 2， ， 乙乙 每次击中目标的概率为每次击中目标的概率为2 3， ， 记甲击中目标的次数为记甲击中目标的次数为 X, 乙击中乙击中 目标的次数为目标的次数为 Y， (1)求求 X 的概率分布列；的概率分布列；
9、 (2)求求 X 和和 Y 的数学期望的数学期望 解：解：(1)已知已知 X 的所有可能取值为的所有可能取值为 0,1,2,3 P(Xk)Ck 3 1 2 k 1 2 3k 则则 P(X0)C0 3 1 2 3 1 8； ； P(X1)C1 3 1 2 1 2 2 3 8； ； P(X2)C2 3 1 2 2 1 2 3 8； ； P(X3)C3 3 1 2 3 1 8 所以所以 X 的概率分布列如下表：的概率分布列如下表： X 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 (2)由由(1)知知 E(X)01 8 13 8 23 8 31 8 15，或由题意，或由题意 XB 3，1 2
10、，YB 3，2 3 ， E(X)31 2 15，E(Y)32 3 2 2某运动员投篮投中的概率某运动员投篮投中的概率 P06 (1)求一次投篮时投中次数求一次投篮时投中次数 的数学期望的数学期望 (2)求重复求重复 5 次投篮时投中次数次投篮时投中次数 的数学期望的数学期望 解：解：(1) 的分布列为：的分布列为： 0 1 P 04 06 则则 E()00410606， 即一次投篮时投中次数即一次投篮时投中次数 的数学期望为的数学期望为 06 (2) 服从二项分布，即服从二项分布，即 B(5,06) E()np5063， 即重复即重复 5 次投篮时投中次数次投篮时投中次数 的数学期望为的数学期
11、望为 3 典例典例 已知随机变量已知随机变量 X 的分布列为：的分布列为： X 2 1 0 1 2 P 1 4 1 3 1 5 m 1 20 若若 Y2X，则，则 E(Y)_ 离散型随机变量均值的性质离散型随机变量均值的性质 解析解析 由随机变量分布列的性质，由随机变量分布列的性质， 得得 1 4 1 3 1 5 m 1 20 1, 解得解得 m1 6， ， E(X)(2)1 4 (1)1 3 01 5 11 6 2 1 20 17 30 由由 Y2X，得，得 E(Y)2E(X)， 即即 E(Y)2 17 30 17 15 答案答案 17 15 一题多变一题多变 1变设问变设问本例条件不变，若
12、本例条件不变，若 Y2X3, 求求 E(Y) 解：解：由公式由公式 E(aXb)aE(X)b 及及 E(X)17 30得， 得， E(Y)E(2X3)2E(X)32 17 30 362 15 2变条件，变设问变条件，变设问本例条件不变，本例条件不变， 若若 aX3, 且且 E() 11 2 ， 求求 a 的值的值 解：解：E()E(aX3)aE(X)317 30a 311 2 ， a15 与离散型随机变量性质有关问题的解题思路与离散型随机变量性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量若给出的随机变量与与X的关系为的关系为aXb， a， b为常数 一为常数 一 般思路是先求出般思路是先求出 E(X
13、)，再利用公式，再利用公式 E(aXb)aE(X)b 求求 E()也可以利用也可以利用 的分布列得到的分布列得到 的分布列，关键由的分布列，关键由 的取值的取值 计算计算 的取值，对应的概率相等，再由定义法求得的取值，对应的概率相等，再由定义法求得 E() 均值的实际应用均值的实际应用 典例典例 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用 的付款期数的付款期数 的分布列为的分布列为 1 2 3 4 5 P 04 02 02 01 01 商场经销一件该商品，采用商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为期付款，其利润为 200 元；分元；分 2
14、期或期或 3 期付款，其利润为期付款，其利润为 250 元；分元；分 4 期或期或 5 期付款，其利润期付款，其利润 为为 300 元元 表示经销一件该商品的利润表示经销一件该商品的利润 (1)求事件求事件 A“购买该商品的购买该商品的 3 位顾客中，至少有位顾客中，至少有 1 位采用位采用 1 期付款期付款”的概率的概率 P(A)； (2)求求 的分布列及均值的分布列及均值 E() 解解 (1)由由 A 表示事件表示事件“购买该商品的购买该商品的 3 位顾位顾 客中至少有客中至少有 1 位采用位采用 1 期付款期付款”知，知，A表示事件表示事件“购买该商品的购买该商品的 3 位顾客中无人采用
15、位顾客中无人采用 1 期付款期付款” P(A)(104)30216， P(A)1P(A)102160784 (2) 的可能取值为的可能取值为 200 元，元，250 元，元，300 元元 P(200)P(1)04， P(250)P(2)P(3)020204， P(300)P(4)P(5)010102， 因此因此 的分布列为的分布列为 200 250 300 P 04 04 02 E()200042500430002240(元元) 1实际问题中的均值问题实际问题中的均值问题 均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩 预测，消费预测，
16、工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收 益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计 2概率模型的解答步骤概率模型的解答步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件 类型，所用的公式有哪些类型，所用的公式有哪些 (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值 (3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论 活学活用活学活用 甲、乙两人轮流投篮，每人每次
17、投一球约定甲先投且先投中者甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者 获胜， 一直到有人获胜或每人都已投球获胜， 一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束 设甲每次时投篮结束 设甲每 次投篮投中的概率为次投篮投中的概率为1 3， 乙每次投篮投中的概率为 ， 乙每次投篮投中的概率为1 2， 且各次投篮 ， 且各次投篮 互不影响求投篮结束时甲的投球次数互不影响求投篮结束时甲的投球次数 的分布列与数学期望的分布列与数学期望 解：解：设设 Ak，Bk分别表示甲、乙在第分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中，次投篮投中， 则则 P(Ak)1 3， ，P(Bk)1 2， ，(k1,2,3) 的所有可能值为的所有可能值为 1,2,3 由独立性知由独立性知 P(1)P(A1)P(A 1B1) 1 3 2 3 1 2 2 3， ， P(2)P(A 1B1A2) P(A 1B1A2B2) 2 3 1 2 1 3 2 3 2 1 2 2 2 9， ， P(3)P(A 1B1A2B2) 2 3 2 1 2 2 1 9 综上知，综上知， 的分布列为的分布列为 1 2 3 P 2 3 2 9 1 9 数学期望为数学期望为 E()12 3 22 9 31 9 13 9 “多练提能多练提能熟生巧熟生巧”见见“课时跟踪检测课时跟踪检测(十四十四)” ( (单击进入电子文档单击进入电子文档) )
