1、 2020 年中考数学复习核心考点专题卷 专题十六 分类讨论思想 本卷共 5 个大题，16 个小题，满分 100 分，考试时间 45 分钟 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 1若分式 1 2 x x 的值为 0，则（ ） Ax=2 Bx=0 Cx=1 Dx=1 或2 【答案】C 【方法点拔】【方法点拔】根据分式的值为 0 的条件，即分类讨论分式为 0，分母不为 0，列出关于 x 的不等式组，求出 x 的值即可 2若 2 x+4(m-2)x+16 是完全平方式，则 m（ ） A等于 6 B只能等于 4 C只能等于 0 D
2、等于 4 或 0 【答案】D 【方法点拔】【方法点拔】讨论 4(m-2)=8 两种情况，即可确定 m 的值 3在“15的角，65的角，75的角，135的角，145的角”中，可以用一副三角尺画出来的角 是（ ） A B C D 【答案】A 【方法点拔】【方法点拔】 根据对三角尺上特殊角分别进行加减运算能得到的度数， 可知只有 65和 145 两个无法得到， 故选 A 4如果一个等腰三角形的两边长分别是 5cm 和 6cm，那么此三角形的周长是( ) A15cm B 16cm C17cm D16cm 或 17cm 链链 接接 中中 考考 中考热点中考热点: : 现在的中考已从知识的立意转向为能力的
3、立意，而“分类讨论”是一种重要解题思想方法，当然也是一种解题能 力的体现，故在中考中是一个不可少的热点，且在压轴题常有体现。 考查方式：考查方式：对于分类讨论思想主要是从“分类的意识” 、 “分类的对象” 、 “分类的标准” 、 “既不重复，又不遗漏的分类原则” 等方面或方式来考查. 【答案】D 【方法点拔】【方法点拔】由于等腰三角形未确定腰和底，故要进行分类讨论，当 5 为腰，6 为底时，周长为 16；当 6 为腰，5 为底时，周长为 17，由此选 D，但在类问题要注意三角形的三边关系，如果条件设两边长为 2 和 4 时，则结论就不是两个解了 5A，B，C 是O 上不同的三个点，AOB=10
4、0，则ACB 的度数为（ ） A B或 C 或 D 【答案】C 【方法点拔】【方法点拔】 由于已知三个点之间的位置关系不确定， 在先确定 A， B 两点后， 点 C 的位置要进行分类讨论： 点 C 在 AB 优弧内，和 AB 劣弧上两种情况，于是出现两个解，且这两个角的度数应是互补关系 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 6A，B 是数轴上两点，点 A 表示的数为 3，若点 B 与点 A 距离为 5，则点 B 表示的数为 【答案】8 或2 7小明等五名同学四月份参加某次数学测验（满分为 120）的成绩如下：100、100
5、、x、x、80已知这组 数据的中位数和平均数相等，那么整数 x 的值为 【答案】110 或 60 8如图，将一条长为 9 的线段，分成长度为整数的三条线段，首尾相接构成一个三角形，则这个三角形的 三边长为 【答案】3，3，3 或 2，3，4 或 1，4，4 9如图， 四边形 ABCD 中，ABBC，ADBC，AD=CD，BCD=120，BC=2，若 P 是四边形边上一动 点，且BPC=30，则 CP 长为 50805050130130 【答案】4 或 2 或32 10一次函数2 kxy的图象过点 A（2，4） ，且与x轴相于点 B，若点 P 是坐标轴 上一点，APB=90， 则点 P 的坐标为
6、 . 【答案】 (2，0)或(0，2+22)或(0，2-22) 三、 （本大题共三、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 11在直角坐标系中，有 A（1，-4） ，B（5，-1） ，C（x，y） （x、y 均为整数，且 x0，y0）三点，若 ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形，试求 x 和 y 【答案】 解：x=1、y=-9；x=4、y=-8；x=5、y=-7；x=6、y=-4； x=8、y=-5；x=9、y=-4；x=5、y=-6；x=10、y=-1. 12如图，直线 AB 过点 A，且与 y 轴交于点 B （1）求直线 AB 的解析式； （2）若
7、P 是直线 AB 上一点，且P 的半径为 1，请直接写出P 与坐标轴相切时点 P 的坐标 【答案】 解： （1）由图可知：A（3，3） ，B（0，3） 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b（k0） 则，解得 直线 AB 的解析式为 y=2x+3 （2）设 P1（1，a） ，代入 y=2x+3 得，a=2+3=5，则 P1（1，5） ； 设 P2（1，b） ，代入 y=2x+3 得，b=2+3=1，则 P2（1，1） ，与两个坐标轴相切； 设 P3（2，c） ，代入 y=2x+3 得 c=4+3=1，则 P3（2，1） 综上，P1（1，5） ，P2（1，1） ，P3（2，1） 【方法点拔】【方
8、法点拔】这道题告诉我们，在抓住了分类讨论的特征后，还要学会掌握分类的标准（或说方法）.而 有了分类的标准，就要自始至终使用这一标准分类，同时在求满足条件的点的坐标时，画出相应的图形， 使用图形分析求解也是十分必要的，还有一点值得强调的是，分类后还应注意题中约束条件，谨防出现不 合要求的解或漏解现象. 四、 （本大题共四、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 13如图，正方形 ABCD 中，AB=4，P 是线段 AC 上一点，若PCD 为等腰三角形，求 CP 的长 【答案】 解：当 DP=PC 时， ACD=45 ， PDC=45 ，DPC=90 DP=
9、 2 1 AC=22 当 CP=CD 时，CP=4 当点 P 与点 A 重合时，CP=24 综上，PCD 为等腰三角形时，CP 的长为 4，22，24 14今年 3 月，两次植树劳动前八年级（2）班学生到商店去购买 A 牌矿泉水，该商店对 A 牌矿泉水的销售 方法是：“购买不超过 30 瓶按零售价销售，每瓶 1.5 元；多于 30 瓶但不超过 50 瓶，按零售价的 8 折销 售；购买多于 50 瓶，按零售价的 6 折销售.该班两次共购 A 牌矿泉水 70 瓶（第一次多于第二次） ，共付 出 90.6 元. （1）该班分两次购买矿泉水比一次性购买 70 瓶多花了多少钱； （2）该班第一次与第二次
10、分别购买矿泉水多少瓶？ 【答案】 解： （1）90.6-70 0.9=27.6 元； （2）设第一批购买了 x 瓶矿泉水，第二批购买了 y 瓶. 当第二次不足 20 瓶时 (不合题意舍去)， 当第二次在 20 瓶到 30 瓶之间 当第二次多与 30 瓶但少于 35 瓶， 1.270=84（不合题意舍去） ， 该班第一次与第二次分别购买矿泉水 48、22 瓶. 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 12 分，共分，共 24 分）分） 15. 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心 举例：如图 1，若 PA=P
11、B，则点 P 为ABC 的准外心 （1）应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准外心 P 在高 CD 上，且 PD= AB，求APB 的度 数 （2）探究：已知ABC 为直角三角形，斜边 BC=5，AB=3，准外心 P 在 AC 边上，试探究 PA 的长 70 0.91.590.6 x y xy 24 46 x y 70 1.2 1.59.6 x y y 48 22 x y 【答案】 解：若 PB=PC，连接 PB，则PCB=PBC， CD 为等边三角形的高，AD=BD，PCB=30 ， PBD=PBC=30 ，PD=DB=AB， 与已知 PD= AB 矛盾，PBPC， 若 PA=
12、PC，连接 PA，同理可得 PAPC， 若 PA=PB，由 PD= AB，得 PD=BD，APD=45 ,故APB=90 ； 探究：解：BC=5，AB=3， AC=4， 若 PB=PC，设 PA=x，则 x2+32=（4x）2， x= ，即 PA= ， 若 PA=PC，则 PA=2， 若 PA=PB，由图知，在 RtPAB 中，不可能 故 PA=2 或 【方法点拔】【方法点拔】由于“准外心”与 “外心”不同，“准外心”只要到三角形的两个顶点距离相等，题中点 P（准外 心）在没有确定到三角形的哪两个顶点距离相等之前，必须分情况讨论，讨论时充分利用等边、直角三角 形性质解决问题. 16如图，矩形
13、OABC 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A(0，4)，C(2，0)将矩形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 135 ，得到矩形 EFGH(点 E 与 0 重合) （1）若 GH 交 y 轴于点 M，则FOM= ，OM= ； （2）将矩形 EFGH 沿 y 轴向上平移 t 个单位若矩形 EFGH 与矩形 OABC 重叠部分的面积为 S 个平方单 位，试求当 0t4 时，S 与 t 之间的函数关系式 【答案】 解： （1）45 ，2； （2）有三种情况： 当 0t2 时，如图所示.显然重叠部分是三角形，面积 S=SODE=t2； 当 2t2时，如图所示，重叠部分是直角梯形.作 ENC
14、B 于 N，则 EN=DN=2，CD=t2，重叠 部分面积 S= S梯形OEDC= (t +t2)2=2 t2； 当 2t4 时，如图所示，重叠部分是五边形. 作 ENCB 于 N，则 EN=DN=2，CD=t2，OM=OK= t 2. 重叠部分面积 S= S五边形MEDCK= (t +t2)2 (t 22)2=t2+(22+2)t6. 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 【方法点拔】【方法点拔】 （1）据题意，AOF=135，又AOC=90 ，故COF、OMH 的度数可得，FOM 的 形状也可知， OM 的长即可求出； （2）矩形 EFGH 沿 y 轴向上平移的过程中，要紧扣三个特殊时刻，OF 过点 C，HG 过点 O， 点 E 与点 A 重合，这样矩形 EFGH 与矩形 OABC 重叠部分的图形可分三种情况讨论 A B C O G H E F D x y A B C O G H E F D x y N K M A B C O G H E F D x y N 图 1 图 2 图 3
