1、 - 1 - 云南省峨山一中 2017-2018学年高一数学下学期期中试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷 (非选择题 )两部分。共计 4页。共 150分。考试时间 120分钟 。 卷 （选择题 共 60分） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、科目用 2B铅笔填涂在答题卡上。 2答卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。不能答在试题卷上。 一 选择题 （本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。每小题只有一个正确选项） 1设全集 U 1,2,3,4? ， 集合 1,2M? 和 2,3N? ，则 ?)( NM
2、CU ? （ ） A. 1,3,4 B. 1,2,3 C. 2,4 D. 4 2. s i n 1 5 c o s 7 5 c o s 1 5 s i n 1 0 5?等于 （ ） A 0 B 12 C 32 D 1 3.经过点 (-3,0)和点 (-4, )的直线的倾斜角是 ( ) A.30 B.150 C.60 D.120 4方程 042 ?xx 的解所在的区间为 ( ) A（ 1? ,0） B（ 0,1） C（ 1,2） D（ 2,3） 5过点 (1， 0)且与直线 x 2y 2 0平行的直线方程是 ( ) A x 2y 1 0 B x 2y 1 0 C 2x y 2 0 D x 2y
3、1 0 6. 圆 x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线 ax+y-1=0的距离为 1,则 a=( ) A. - B .- C D. 2 - 2 - 7已知直线l平面?，直线m?平面?，下面有三个命题： ?l ； l ；l?； 则真命题的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 8. 若 tan ,tan( 则 tan ( ) A . B. C. D . 9已知向量 ,mn的夹角为 6? ，且 | | 3m? ， | | 2,n? 则 |mn?( ) A 4 B 3 C 2 D 1 10. 函数 s i n ( ) ( 0 , | | )2yx ? ? ? ? ? ? ?的图象的一
4、部分 如图所示，则 ? 、 ? 的值分别为 ( ) A 1，3?B 2， 3? C 1，3?D 2， 3? 11已知)(xf是偶函数，且在1,0上是增 函数，则)5.0(?f、)1、)0f的大小关系是（ ） A)5.0(?f? ) )1(fB )(f? ).(f )C)0(f .fD 1?f 5.0?f12四棱锥 P ABCD? 的顶点 P 在底面 ABCD 中的投影恰好是点 A ， 其三视图如图所示，则四棱锥 P ABCD? 的表面积为 ( ) - 3 - A. 2(1 2)a? B. 2(2 2)a? C. 2(3 2)a? D. 2(2 2 2)a? 二、填空题（ 本大题共 4小题，每小
5、题 5分，共 20 分 ） 13. 函数)(xf在 R上为奇函数 ,当0?时 ,( ) 1f x x?,则当0?x时 ,?)。 14.已知 x,y满足 的最大值是 。 15已知 sin 2cos 0，则 2sin cos cos2 的值是 。 16 已知半径为 21 的球中有一个各棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是 。 三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分 10分 )求过点 A(2,1)且与原点距离为 2的直线方程 . 18 (本小题满分 12分 )已知平面向量 a (1， x)， b (2x 3， x)， x
6、 R. (1)若 a b， 求 x的值； (2)若 a b， 求 |a b| - 4 - 19.(本小题满分 12分 ). 已知 ? ? ? ? ? ? ? ?2 s i n , 1 , c o s , 1 c o s 2 ,a x b x x f x a b x R? ? ? ? ? ?函 数r r r r。 （ 1）求函数 ?fx的最小正周期、最大值和最小值； （ 2）求函数 ?fx的单调递增区间。 20. (本小题满分 12分 ) 求与直线 y=x相切 ,圆心在直线 y=3x上且截 y轴所得的弦长为 2 的圆的方程 . - 5 - 21. (本小 题满分 12 分 ) 如图，已知四棱锥
7、P ABCD 的底面为菱形，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，平面 PAC垂直于底面 ABCD，线段 PD 的中点为 F. （ 1）求证： EF 平面 PBC； （ 2）求证： BD PC. FECDA BP- 6 - 22. (本小题满分 12分 ) 已知函数 f(x)= 是定义在 （ -1,1） 上的奇函数，且 f( )= (1)确定函数 f(x)的解析式； (2)用定义证明 f(x)在 （ -1,1） 上是增函数； （ 3）解不等式 f(t-1)+f(2t) . 参考答案 本试卷分第卷 （选择题）和第卷 (非选择题 )两部分。共计 4页。共 150分。考试时间 120分钟 。 卷 （
8、选择题 共 60分） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、科目用 2B铅笔填涂在答题卡上。 2答卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。不能答在试题卷上。 二 选择题 （本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。每小题只有一个正确选项） 1设全集 U 1,2,3,4? ， 集合 1,2M? 和 2,3N? ，则 ?)( NMCU ? （ D ） A. 1,3,4 B. 1,2,3 C. 2,4 D. 4 2. s i n 1 5 c o s 7 5 c o s 1 5 s i n 1 0 5?等于 （ D
9、） A 0 B 12 C 32 D 1 - 7 - 3.经过点 (-3,0)和点 (-4, )的直线的倾斜角是 ( D ) A.30 B.150 C.60 D.120 4方程 042 ?xx 的解所在的区间为 ( C ) A（ 1? ,0） B（ 0,1） C（ 1,2） D（ 2,3） 5过点 (1， 0)且与直线 x 2y 2 0平行的直线方程是 ( A ) A x 2y 1 0 B x 2y 1 0 C 2x y 2 0 D x 2y 1 0 6. 圆 x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线 ax+y-1=0的距离为 1,则 a=( A ) A - B - C D 2 7已知直线l
10、平面?，直线m?平面?，下面有三个命题： ?l ； l ；lm?； 则真命题的个数为( C ) A 0 B 1 C 2 D 3 8. 若 ,则 ( A ) A . B C D 9已知向量 ,mn的夹角为 6? ，且 | | 3m? ， | | 2,n? 则 |mn?( D ) A 4 B 3 C 2 D 1 10. 函数 s i n ( ) ( 0 , | | )2yx ? ? ? ? ? ? ?的图象的一部分 如图所示，则 ? 、 ? 的值分别为 ( B ) - 8 - A 1，3?B 2， 3? C 1，3?D 2， 3? 11已知)(xf是偶函数，且在1,0上是增函数，则)5.0(?f、
11、)1、)0f的大小关系是（ C ） A)5.0(?f? ) )1(fB )(f? ).(f )C)0( .D 1? 5.0?f12四棱锥 P ABCD? 的顶点 P 在底面 ABCD 中的投影恰好是 A ， 其三视图如图所示，则四棱锥 P ABCD? 的表面积为 ( B ) A. 2(1 2)a? B. 2(2 2)a? C. 2(3 2)a? D. 2(2 2 2)a? 二、填空题（ 本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 ） 13. 函数)(xf在 R上为奇函数 ,当0?时 ,( ) 1f x x?,则当0?x时 , ?)- -1 。 14.已知 x,y满足 的最大值是 25 。 1
12、5已知 sin 2cos 0，则 2sin cos cos2 的值是 -1 。 16 已知半径为 21 的球中有一个各棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是 54 。 - 9 - 三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.求过点 A(2,1)且与原点距离为 2的直线方程 . (本小题满分 10分 ) 解 :若直线与 x轴垂直，则直线方 程为 x=2， 所以直线到原点的距离为 d= ，符合题意 : （ 4分） 若直线与 x轴不垂直，则可设直线方程为 y-1=k(x-2), 由题意有 可求得 k= - 所以直线方程为 3x+4y-10=0
13、 （ 9分） 上所述所求直线的方程为 x=2或 3x+4y-10=0 （ 10 分） 18 已知平面向量 a (1， x)， b (2x 3， x)， x R. (1)若 a b， 求 x的值； (2)若 a b， 求 |a b| .(本小题满分 12 分 ) 解 (1)若 a b， 则 a b (1， x)(2 x 3， x) 1(2 x 3) x( x) 0， 即 x2 2x 3 0， 解得 x 1或 x 3. （ 6分） (2)若 a b， 则 1( x) x(2x 3) 0， 即 x(2x 4) 0， 解得 x 0或 x 2. 当 x 0 时 ， a (1,0)， b (3,0)， a
14、 b ( 2,0)， |a b| 2. 当 x 2时 ， a (1， 2)， b ( 1,2)， a b (2， 4)， |a b| 4 16 2 5.（ 12 分） 19.(本小题满分 12分 ) 已知 ? ? ? ? ? ? ? ?2 s i n , 1 , c o s , 1 c o s 2 ,a x b x x f x a b x R? ? ? ? ? ?函 数r r r r。 （ 1）求函数 ?fx的最小正周期、最大值和最小值； （ 2）求函数 ?fx的单调递增区间。 解（ 1） ( ) 2 s i n c o s 1 c o s 2f x a b x x x? ? ? ? ? s
15、in 2 c o s 2 1xx? ? ? 2 sin ( 2 ) 14x ? ? ? - 10 - ? ()fx的最小正周期 T=? ， m a x m i n( ) 1 2 , ( ) 1 2f x f x? ? ? ? （ 6分） （ 2）由 2 2 2 ( )2 4 2k x k k Z? ? ? ? ? ? ? ? 得 332 2 2 , ,4 4 8 8k x k k x k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ()fx? 的递增区间是 3, ( )88k k k Z? ? ?（ 12分）20. (本小题满分 12分 )求与直线 y=x相切 ,圆心在直线 y=
16、3x上且截 y轴所得的弦长为 2 的圆的方程 . 解 设圆心坐标为 O1(x0,3x0),半径为 r,则 =r, 解得 r= |x0|. （ 6分） 又 y轴被圆截得的弦长为 2 , ( )2+ =r2, 2+ =2 , x0= , r=2. 即圆的方程为 (x+ )2+(y+3 )2=4 或 (x- )2+(y-3 )2=4. （ 12分） 21. (本小题满分 12 分 ) 如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面为菱形，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，平面 PAC垂直于底面 ABCD，线段 PD 的中点为 F. （ 1）求证： EF 平面 PBC； （ 2）求证： BD PC. （ 1）证明： 菱形对角线 AC与 BD相交于点 EAC 与 BD 互相平分，即 AE=CE， BE=DE
