1、 2019 年全国各地中考数学压轴题汇编（江苏专版）年全国各地中考数学压轴题汇编（江苏专版） 几何综合几何综合 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 1（2019南京）如图，在 RtABC 中，C90，AC3，BC4求作菱形 DEFG，使点 D 在边 AC 上，点 E、F 在边 AB 上，点 G 在边 BC 上 小明的作法 1如图，在边 AC 上取一点 D，过点 D 作 DGAB 交 BC 于点 G 2以点 D 为圆心，DG 长为半径画弧，交 AB 于点 E 3在 EB 上截取 EFED，连接 FG，则四边形 DEFG 为所求作的菱形 （1）证明小明所作的四边形 DEFG 是菱形 （2）小明进
2、一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点 D 的位置变化而变化请你继续探索， 直接写出菱形的个数及对应的 CD 的长的取值范围 （1）证明：DEDG，EFDE， DGEF， DGEF， 四边形 DEFG 是平行四边形， DGDE， 四边形 DEFG 是菱形 （2）如图 1 中，当四边形 DEFG 是正方形时，设正方形的边长为 x 在 RtABC 中，C90，AC3，BC4， AB5， 则 CDx，ADx， AD+CDAC， +x3， x， CDx， 观察图象可知：0CD时，菱形的个数为 0 如图 2 中，当四边形 DAEG 是菱形时，设菱形的边长为 m DGAB， ， ， 解得 m， CD3，
3、如图 3 中，当四边形 DEBG 是菱形时，设菱形的边长为 n DGAB， ， ， n， CG4， CD， 观察图象可知：当 0CD或CD3 时，菱形的个数为 0，当 CD或CD时， 菱形的个数为 1，当CD时，菱形的个数为 2 2（2019无锡）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹 （1）如图 1，A 为O 上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出O 的内接正方形； （2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点， 三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点 请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图 如图 2，在ABCD
4、中，E 为 CD 的中点，作 BC 的中点 F 如图 3，在由小正方形组成的 43 的网格中，ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，作ABC 的高 AH 解：（1）如图 1，连结 AO 并延长交圆 O 于点 C，作 AC 的中垂线交圆于点 B，D，四边形 ABCD 即为所求 （2）如图 2，连结 AC，BD 交于点 O，连结 EB 交 AC 于点 G，连结 DG 并延长交 CB 于点 F， F 即为所求 如图 3 所示，AH 即为所求 3（2019常州）【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算， 从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“
5、算两次”也称做富比尼原理，是一种重 要的数学思想 【理解】 （1）如图 1，两个边长分别为 a、b、c 的直角三角形和一个两条直角边都是 c 的直角三角形拼成 一个梯形用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； （2）如图 2，n 行 n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式： n2 1+3+5+7+2n1 ； 【运用】 （3）n 边形有 n 个顶点，在它的内部再画 m 个点，以（m+n）个点为顶点，把 n 边形剪成若干个 三角形，设最多可以剪得 y 个这样的三角形当 n3，m3 时，如图 3，最多可以剪得 7 个这样 的三角形，所以 y7 当 n4，m2
6、 时，如图 4，y 6 ；当 n5，m 3 时，y9； 对于一般的情形，在 n 边形内画 m 个点，通过归纳猜想，可得 y n+2（m1） （用含 m、 n 的代数式表示）请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立 解：（1）有三个 Rt其面积分别为 ab，ab 和c2 直角梯形的面积为（a+b）（a+b） 由图形可知：（a+b）（a+b）ab+ab+c2 整理得（a+b）22ab+c2，a2+b2+2ab2ab+c2， a2+b2c2 故结论为：直角长分别为 a、b 斜边为 c 的直角三角形中 a2+b2c2 （2）n 行 n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为 n2，每层棋子分别为 1，3，
7、5，7，2n1 由图形可知：n21+3+5+7+2n1 故答案为 1+3+5+7+2n1 （3）如图 4，当 n4，m2 时，y6， 如图 5，当 n5，m3 时，y9 方法 1对于一般的情形，在 n 边形内画 m 个点，第一个点将多边形分成了 n 个三角形，以后 三角形内部每增加一个点，分割部分增加 2 部分，故可得 yn+2（m1） 方法 2以ABC 的二个顶点和它内部的 m 个点，共（m+3）个点为顶点，可把ABC 分割成 3+2 （m1）个互不重叠的小三角形以四边形的 4 个顶点和它内部的 m 个点，共（m+4）个点为顶 点，可把四边形分割成 4+2（m1）个互不重叠的小三角形故以 n
8、 边形的 n 个顶点和它内部的 m 个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原 n 边形分割成 n+2（m1）个互不重叠的小三角形故 可得 yn+2（m1） 故答案为：6，3；n+2（m1） 4（2019扬州）如图，AB 是O 的弦，过点 O 作 OCOA，OC 交 AB 于 P，CPBC （1）求证：BC 是O 的切线； （2）已知BAO25，点 Q 是上的一点 求AQB 的度数； 若 OA18，求的长 （1）证明：连接 OB， OAOB， OABOBA， PCCB， CPBPBC， APOCPB， APOCBP， OCOA， AOP90， OAP+APO90， CBP+ABO90， CBO90
9、， BC 是O 的切线； （2）解：BAO25， ABO25，APO65， POBAPOABO40， AQB（AOP+POB）13065； AQB65， AOB130， 的长的长23 5（2019无锡）如图 1，在矩形 ABCD 中，BC3，动点 P 从 B 出发，以每秒 1 个单位的速度，沿 射线 BC 方向移动，作PAB 关于直线 PA 的对称PAB，设点 P 的运动时间为 t（s） （1）若 AB2 如图 2，当点 B落在 AC 上时，显然PAB是直角三角形，求此时 t 的值； 是否存在异于图 2 的时刻，使得PCB是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的 t 的值？若不存在，请说
10、明理由 （2）当 P 点不与 C 点重合时，若直线 PB与直线 CD 相交于点 M，且当 t3 时存在某一时刻有 结论PAM45成立，试探究：对于 t3 的任意时刻，结论“PAM45”是否总是成立？ 请说明理由 解：（1）如图 1 中， 四边形 ABCD 是矩形， ABC90， AC， PCBACB，PBCABC90， PCBACB， ， ， PB24 如图 21 中，当PCB90时， 四边形 ABCD 是矩形， D90，ABCD2，ADBC3， DB， CBCDDB， 在 RtPCB中，BP2PC2+BC2， t2（）2+（3t）2， t2 如图 22 中，当PCB90时， 在 RtADB中
11、，DB， CB3 在 RtPCB中则有：，解得 t6 如图 23 中，当CPB90时，易证四边形 ABP为正方形，易知 t2 综上所述，满足条件的 t 的值为 2s 或 6s 或 2s （2）如图 31 中， PAM45 2+345，1+445 又翻折， 12，34， 又ADMABM，AMAM， AMDAMB（AAS）， ADABAB， 即四边形 ABCD 是正方形， 如图，设APBx PAB90 x， DAPx， 易证MDABAM（HL）， BAMDAM， 翻折， PABPAB90 x， DABPABDAP902x， DAMDAB45x， MAPDAM+PAD45 6（2019苏州）如图，A
12、B 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是弧 BC 的中点，BC 与 AD、OD 分 别交于点 E、F （1）求证：DOAC； （2）求证：DEDADC2； （3）若 tanCAD，求 sinCDA 的值 解：（1）点 D 是中点，OD 是圆的半径， ODBC， AB 是圆的直径， ACB90， ACOD； （2）， CADDCB， DCEDCA， CD2DEDA； （3）tanCAD， 设：DEa，则 CD2a，AD4a，AE3a， 3， 即AEC 和DEF 的相似比为 3， 设：EFk，则 CE3k，BC8k， tanCAD， AC6k，AB10k， sinCDA 7（2019常州）已知平
13、面图形 S，点 P、Q 是 S 上任意两点，我们把线段 PQ 的长度的最大值称为 平面图形 S 的“宽距”例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度 （1）写出下列图形的宽距： 半径为 1 的圆： 1 ； 如图 1，上方是半径为 1 的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： 1+ ； （2）如图 2，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，0）、B（1，0），C 是坐标平面内的点，连 接 AB、BC、CA 所形成的图形为 S，记 S 的宽距为 d 若 d2，用直尺和圆规画出点 C 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）； 若点 C 在M 上运动，M 的半径为 1，圆心 M 在过点（0，2）且与
14、 y 轴垂直的直线上对于 M 上任意点 C，都有 5d8，直接写出圆心 M 的横坐标 x 的取值范围 解：（1）半径为 1 的圆的宽距离为 1， 故答案为 1 如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，设半圆的圆心为 O，点 P 是O 上一点，连接 OP，PC， OC 在 RtODC 中，OC OP+OCPC， PC1+， 这个“窗户形“的宽距为 1+ 故答案为 1+ （2）如图 21 中，点 C 所在的区域是图中O，面积为 如图 22 中，当点 M 在 y 轴的右侧时，连接 AM，作 MTx 轴于 T ACAM+CM，又5d8， 当 d5 时AM4， AT2，此时 M（21，2）， 当 d8
15、 时AM7， AT3，此时 M（31，2）， 满足条件的点 M 的横坐标的范围为 21x31 当点 M 在 y 轴的左侧时，满足条件的点 M 的横坐标的范围为3+1x2+1 8（2019连云港）如图，在ABC 中，ABAC将ABC 沿着 BC 方向平移得到DEF，其中点 E 在边 BC 上，DE 与 AC 相交于点 O （1）求证：OEC 为等腰三角形； （2）连接 AE、DC、AD，当点 E 在什么位置时，四边形 AECD 为矩形，并说明理由 （1）证明：ABAC， BACB， ABC 平移得到DEF， ABDE， BDEC， ACBDEC， OEOC， 即OEC 为等腰三角形； （2）解：
16、当 E 为 BC 的中点时，四边形 AECD 是矩形， 理由是：ABAC，E 为 BC 的中点， AEBC，BEEC， ABC 平移得到DEF， BEAD，BEAD， ADEC，ADEC， 四边形 AECD 是平行四边形， AEBC， 四边形 AECD 是矩形 9（2019苏州）已知矩形 ABCD 中，AB5cm，点 P 为对角线 AC 上的一点，且 AP2cm如 图，动点 M 从点 A 出发，在矩形边上沿着 ABC 的方向匀速运动（不包含点 C）设动点 M 的运动时间为 t（s），APM 的面积为 S（cm2），S 与 t 的函数关系如图所示 （1）直接写出动点 M 的运动速度为 2 cm/
17、s，BC 的长度为 10 cm； （2）如图，动点 M 重新从点 A 出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一 个动点 N 从点 D 出发，在矩形边上沿着 DCB 的方向匀速运动，设动点 N 的运动速度为 v （cm/s）已知两动点 M，N 经过时间 x（s）在线段 BC 上相遇（不包含点 C），动点 M，N 相遇 后立即同时停止运动，记此时APM 与DPN 的面积分别为 S1（cm2），S2（cm2） 求动点 N 运动速度 v（cm/s）的取值范围； 试探究 S1S2是否存在最大值， 若存在， 求出 S1S2的最大值并确定运动时间 x 的值； 若不存在， 请说明理由。 解：（1
18、）t2.5s 时，函数图象发生改变， t2.5s 时，M 运动到点 B 处， 动点 M 的运动速度为：2cm/s， t7.5s 时，S0， t7.5s 时，M 运动到点 C 处， BC（7.52.5）210（cm）， 故答案为：2，10； （2）两动点 M，N 在线段 BC 上相遇（不包含点 C）， 当在点 C 相遇时，v（cm/s）， 当在点 B 相遇时，v6（cm/s）， 动点 N 运动速度 v（cm/s）的取值范围为cm/sv6cm/s； 过 P 作 EFAB 于 F，交 CD 于 E，如图 3 所示： 则 EFBC，EFBC10， ， AC5， ， 解得：AF2， DEAF2，CEBF
19、3，PF4， EPEFPF6， S1SAPMSAPF+S梯形PFBMSABM42+（4+2x5）35（2x5） 2x+15， S2SDPMSDEP+S梯形EPMCSDCM26+（6+152x）35（152x）2x， S1S2（2x+15）2x4x2+30 x4（x）2+， 2.57.5，在 BC 边上可取， 当 x时，S1S2的最大值为 10（2019淮安）如图，AB 是O 的直径，AC 与O 交于点 F，弦 AD 平分BAC，DEAC，垂 足为 E （1）试判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若O 的半径为 2，BAC60，求线段 EF 的长 解：（1）直线 DE 与O 相
20、切， 连结 OD AD 平分BAC， OADCAD， OAOD， OADODA， ODACAD， ODAC， DEAC，即AED90， ODE90，即 DEOD， DE 是O 的切线； （2）过 O 作 OGAF 于 G， AF2AG， BAC60，OA2， AGOA1， AF2， AFOD， 四边形 AODF 是菱形， DFOA，DFOA2， EFDBAC60， EFDF1 11 （2019连云港）问题情境：如图 1，在正方形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点（不与点 B、C 重合）， 垂直于 AE 的一条直线 MN 分别交 AB、AE、CD 于点 M、P、N判断线段 DN、MB、EC
21、之间的 数量关系，并说明理由 问题探究：在“问题情境”的基础上 （1）如图 2，若垂足 P 恰好为 AE 的中点，连接 BD，交 MN 于点 Q，连接 EQ，并延长交边 AD 于点 F求AEF 的度数； （2）如图 3，当垂足 P 在正方形 ABCD 的对角线 BD 上时，连接 AN，将APN 沿着 AN 翻折，点 P 落在点 P处，若正方形 ABCD 的边长为 4，AD 的中点为 S，求 PS 的最小值 问题拓展：如图 4，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 M、N 分别为边 AB、CD 上的点，将正方 形 ABCD 沿着 MN 翻折，使得 BC 的对应边 BC恰好经过点 A，CN 交
22、 AD 于点 F分别过点 A、F 作 AGMN，FHMN，垂足分别为 G、H若 AG，请直接写出 FH 的长 问题情境： 解：线段 DN、MB、EC 之间的数量关系为：DN+MBEC；理由如下： 四边形 ABCD 是正方形， ABEBCD90，ABBCCD，ABCD， 过点 B 作 BFMN 分别交 AE、CD 于点 G、F，如图 1 所示： 四边形 MBFN 为平行四边形， NFMB， BFAE， BGE90， CBF+AEB90， BAE+AEB90， CBFBAE， 在ABE 和BCF 中， ABEBCF（ASA）， BECF， DN+NF+CFBE+EC， DN+MBEC； 问题探究：
23、 解：（1）连接 AQ，过点 Q 作 HIAB，分别交 AD、BC 于点 H、I，如图 2 所示： 四边形 ABCD 是正方形， 四边形 ABIH 为矩形， HIAD，HIBC，HIABAD， BD 是正方形 ABCD 的对角线， BDA45， DHQ 是等腰直角三角形，HDHQ，AHQI， MN 是 AE 的垂直平分线， AQQE， 在 RtAHQ 和 RtQIE 中， RtAHQRtQIE（HL）， AQHQEI， AQH+EQI90， AQE90， AQE 是等腰直角三角形， EAQAEQ45，即AEF45； （2）连接 AC 交 BD 于点 O，如图 3 所示： 则APN 的直角顶点
24、P 在 OB 上运动， 设点 P 与点 B 重合时，则点 P与点 D 重合；设点 P 与点 O 重合时，则点 P的落点为 O， AOOD，AOD90， ODAADO45， 当点 P 在线段 BO 上运动时，过点 P 作 PGCD 于点 G，过点 P作 PHCD 交 CD 延长线于 点 H，连接 PC， 点 P 在 BD 上， APPC， 在APB 和CPB 中， APBCPB（SSS）， BAPBCP， BCDMPA90， PCNAMP， ABCD， AMPPNC， PCNPNC， PCPN， APPN， PNA45， PNP90， PNH+PNG90， PNH+NPH90，PNG+NPG90
25、， NPGPNH，PNGNPH， 由翻折性质得：PNPN， 在PGN 和NHP中， PGNNHP（ASA）， PGNH，GNPH， BD 是正方形 ABCD 的对角线， PDG45， 易得 PGGD， GNDH， DHPH， PDH45，故PDA45， 点 P在线段 DO上运动； 过点 S 作 SKDO，垂足为 K， 点 S 为 AD 的中点， DS2，则 PS 的最小值为； 问题拓展： 解：延长 AG 交 BC 于 E，交 DC 的延长线于 Q，延长 FH 交 CD 于 P，如图 4： 则 EGAG，PHFH， AE5， 在 RtABE 中，BE3， CEBCBE1， BECQ90，AEBQ
26、EC， ABEQCE， 3， QEAE， AQAE+QE， AGMN， AGM90B， MAGEAB， AGMABE， ，即， 解得：AM， 由折叠的性质得：ABEB3，BB90，CBCD90， BM，AC1， BAD90， BAMCFA， AFCMAB， ， 解得：AF， DF4， AGMN，FHMN， AGFH， AQFP， DFPDAQ， ，即， 解得：FP， FHFP 12（2019盐城）如图，在 RtABC 中，ACB90，CD 是斜边 AB 上的中线，以 CD 为直径的 O 分别交 AC、BC 于点 M、N，过点 N 作 NEAB，垂足为 E （1）若O 的半径为，AC6，求 BN
27、 的长； （2）求证：NE 与O 相切 解：（1）连接 DN，ON O 的半径为， CD5 ACB90，CD 是斜边 AB 上的中线， BDCDAD5， AB10， BC8 CD 为直径 CND90，且 BDCD BNNC4 （2）ACB90，D 为斜边的中点， CDDADBAB， BCDB， OCON， BCDONC， ONCB， ONAB， NEAB， ONNE， NE 为O 的切线 13（2019淮安）如图，在ABC 中，ABAC3，BAC100，D 是 BC 的中点 小明对图进行了如下探究：在线段 AD 上任取一点 P，连接 PB将线段 PB 绕点 P 按逆时针方 向旋转 80，点 B
28、 的对应点是点 E，连接 BE，得到BPE小明发现，随着点 P 在线段 AD 上位 置的变化，点 E 的位置也在变化，点 E 可能在直线 AD 的左侧，也可能在直线 AD 上，还可能在 直线 AD 的右侧 请你帮助小明继续探究，并解答下列问题： （1）当点 E 在直线 AD 上时，如图所示 BEP 50 ； 连接 CE，直线 CE 与直线 AB 的位置关系是 ECAB （2）请在图中画出BPE，使点 E 在直线 AD 的右侧，连接 CE试判断直线 CE 与直线 AB 的 位置关系，并说明理由 （3）当点 P 在线段 AD 上运动时，求 AE 的最小值 解：（1）如图中， BPE80，PBPE，
29、 PEBPBE50， 结论：ABEC 理由：ABAC，BDDC， ADBC， BDE90， EBD905040， AE 垂直平分线段 BC， EBEC， ECBEBC40， ABAC，BAC100， ABCACB40， ABCECB， ABEC 故答案为 50，ABEC （2）如图中，以 P 为圆心，PB 为半径作P AD 垂直平分线段 BC， PBPC， BCEBPE40， ABC40， ABEC （3）如图中，作 AHCE 于 H， 点 E 在射线 CE 上运动，点 P 在线段 AD 上运动， 当点 P 运动到与点 A 重合时，AE 的值最小，此时 AE 的最小值AB3 14（2019扬州
30、）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 平分DAB，已知 CE6，BE8，DE10 （1）求证：BEC90； （2）求 cosDAE （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， DCAB，ADBC，DCAB， DEAEAB， AE 平分DAB， DAEEAB， DAEDEA ADDE10， BC10，ABCDDE+CE16， CE2+BE262+82100BC2， BCE 是直角三角形，BEC90； （2）解：ABCD， ABEBEC90， AE8， cosDAEcosEAB 15（2019盐城）如图是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作： （）将矩形纸片沿 DF 折叠，使点 A 落在 CD
31、边上点 E 处，如图； （）在第一次折叠的基础上，过点 C 再次折叠，使得点 B 落在边 CD 上点 B处，如图，两 次折痕交于点 O； （）展开纸片，分别连接 OB、OE、OC、FD，如图 【探究】 （1）证明：OBCOED； （2）若 AB8，设 BC 为 x，OB2为 y，求 y 关于 x 的关系式 解：（1）证明：由折叠可知，ADED，BCODCOADOCDO45 BCDE，COD90，OCOD， 在OBCOED 中， ， OBCOED（SAS）； （2）过点 O 作 OHCD 于点 H 由（1）OBCOED， OEOB， BCx，则 ADDEx， CE8x， OCOD，COD90 C
32、HCDAB4， OHCD4， EHCHCE4（8x）x4 在 RtOHE 中，由勾股定理得 OE2OH2+EH2， 即 OB242+（x4）2， y 关于 x 的关系式：yx28x+32 16（2019扬州）如图，平面内的两条直线 l1、l2，点 A，B 在直线 l1上，点 C、D 在直线 l2上，过 A、B 两点分别作直线 l2的垂线，垂足分別为 A1，B1，我们把线段 A1B1叫做线段 AB 在直线 l2上 的正投影，其长度可记作 T（AB，CD）或 T，特别地线段 AC 在直线 l2上的正投影就是线段 A1C 请依据上述定义解决如下问题： （1）如图 1，在锐角ABC 中，AB5，T（A
33、C，AB）3，则 T（BC，AB） 2 ； （2）如图 2，在 RtABC 中，ACB90，T（AC，AB）4，T（BC，AB）9，求ABC 的面积； （3）如图 3，在钝角ABC 中，A60，点 D 在 AB 边上，ACD90，T（AD，AC）2，T （BC，AB）6，求 T（BC，CD）， 解：（1）如图 1 中，作 CHAB T（AC，AB）3， AH3， AB5， BH532， T（BC，AB）BH2， 故答案为 2 （2）如图 2 中，作 CHAB 于 H T（AC，AB）4，T（BC，AB）9， AH4，BH9， ACBCHACHB90， A+ACH90，ACH+BCH90， AB
34、CH， ACHCBH， ， ， CH6， SABCABCH13639 （3）如图 3 中，作 CHAD 于 H，BKCD 于 K ACD90，T（AD，AC）2， AC2， A60， ADCBDK30， CDAC2，AD2AC4，AHAC1，DHADAH3， T（BC，AB）6，CHAB， BH6， DBBHDH3， 在 RtBDK 中，K90，BD3，BDK30， DKBDcos30， CKCD+DK2+， T（BC，CD）CK 17（2019镇江）如图，在ABC 中，ABAC，过 AC 延长线上的点 O 作 ODAO，交 BC 的延长 线于点 D，以 O 为圆心，OD 长为半径的圆过点 B
35、 （1）求证：直线 AB 与O 相切； （2）若 AB5，O 的半径为 12，则 tanBDO （1）证明：连接 AB，如图所示： ABAC， ABCACB， ACBOCD， ABCOCD， ODAO， COD90， D+OCD90， OBOD， OBDD， OBD+ABC90， 即ABO90， ABOB， 点 B 在圆 O 上， 直线 AB 与O 相切； （2）解：ABO90， OA13， ACAB5， OCOAAC8， tanBDO； 故答案为： 18（2019扬州）如图，已知等边ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重 合）直线 1 是经过点 P 的一条
36、直线，把ABC 沿直线 1 折叠，点 B 的对应点是点 B （1）如图 1，当 PB4 时，若点 B恰好在 AC 边上，则 AB的长度为 4 ； （2）如图 2，当 PB5 时，若直线 1AC，则 BB的长度为 5 ； （3）如图 3，点 P 在 AB 边上运动过程中，若直线 1 始终垂直于 AC，ACB的面积是否变化？ 若变化，说明理由；若不变化，求出面积； （4）当 PB6 时，在直线 1 变化过程中，求ACB面积的最大值 解：（1）如图 1 中， ABC 是等边三角形， A60，ABBCAC8， PB4， PBPBPA4， A60， APB是等边三角形， ABAP4 故答案为 4 （2）
37、如图 2 中，设直线 l 交 BC 于点 E连接 BB交 PE 于 O PEAC， BPEA60，BEPC60， PEB 是等边三角形， PB5， B，B关于 PE 对称， BBPE，BB2OB OBPBsin60， BB5 故答案为 5 （3）如图 3 中，结论：面积不变 B，B关于直线 l 对称， BB直线 l， 直线 lAC， ACBB， SACBSACB8216 （4）如图 4 中，当 BPAC 时，ACB的面积最大， 设直线 PB交 AC 于 E， 在 RtAPE 中，PA2，PAE60， PEPAsin60， BE6+， SACB的最大值8（6+）4+24 19（2019泰州）如图
38、，四边形 ABCD 内接于O，AC 为O 的直径，D 为的中点，过点 D 作 DEAC，交 BC 的延长线于点 E （1）判断 DE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若O 的半径为 5，AB8，求 CE 的长 解：（1）DE 与O 相切， 理由：连接 OD， AC 为O 的直径， ADC90， D 为的中点， ， ADCD， ACD45， OA 是 AC 的中点， ODC45， DEAC， CDEDCA45， ODE90， DE 与O 相切； （2）O 的半径为 5， AC10， ADCD5， AC 为O 的直径， ABC90， AB8， BC6， BADDCE， ABDCDE45， A
39、BDCDE， ， ， CE 20（2019镇江）在三角形纸片 ABC（如图 1）中，BAC78，AC10小霞用 5 张这样的三 角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图 2） （1）ABC 30 ； （2）求正五边形 GHMNC 的边 GC 的长 参考值：sin780.98，cos780.21，tan784.7 解：（1）五边形 ABDEF 是正五边形， BAF108， ABCBAFBAC30， 故答案为：30； （2）作 CQAB 于 Q， 在 RtAQC 中，sinQAC， QCACsinQAC100.989.8， 在 RtBQC 中，ABC30， BC2QC19.6， GCBCBG
40、9.6 21（2019宿迁）如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC2，点 E、F 分别在 AB、CD 上，且 BEDF （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）求线段 EF 的长 （1）证明：在矩形 ABCD 中，AB4，BC2， CDAB4，ADBD2，CDAB，DB90， BEDF， CFAE4， AFCE， AFCFCEAE， 四边形 AECF 是菱形； （2）解：过 F 作 FHAB 于 H， 则四边形 AHFD 是矩形， AHDF，FHAD2， EH1， EF 22 （2019泰州） 如图， 线段 AB8， 射线 BGAB， P 为射线 BG 上一点， 以 AP 为边作正方形
41、APCD， 且点 C、D 与点 B 在 AP 两侧，在线段 DP 上取一点 E，使EAPBAP，直线 CE 与线段 AB 相 交于点 F（点 F 与点 A、B 不重合） （1）求证：AEPCEP； （2）判断 CF 与 AB 的位置关系，并说明理由； （3）求AEF 的周长 解：（1）证明：四边形 APCD 正方形， DP 平分APC，PCPA， APDCPD45， AEPCEP（AAS）； （2）CFAB，理由如下： AEPCEP， EAPECP， EAPBAP， BAPFCP， FCP+CMP90，AMFCMP， AMF+PAB90， AFM90， CFAB； （3）过点 C 作 CNPB
42、 CFAB，BGAB， FCBN， CPNPCFEAPPAB， 又 APCP， PCNAPB（AAS）， CNPBBF，PNAB， AEPCEP， AECE， AE+EF+AF CE+EF+AF BN+AF PN+PB+AF AB+CN+AF AB+BF+AF 2AB 16 23（2019宿迁）在 RtABC 中，C90 （1）如图，点 O 在斜边 AB 上， 以点 O 为圆心， OB 长为半径的圆交 AB 于点 D，交 BC 于点 E， 与边 AC 相切于点 F求证：12； （2）在图中作M，使它满足以下条件： 圆心在边 AB 上；经过点 B；与边 AC 相切 （尺规作图，只保留作图痕迹，不
43、要求写出作法） 解：（1）证明：如图，连接 OF， AC 是O 的切线， OEAC， C90， OEBC， 1OFB， OFOB， OFB2， 12 （2）如图所示M 为所求 作ABC 平分线交 AC 于 F 点， 作 BF 的垂直平分线交 AB 于 M，以 MB 为半径作圆， 即M 为所求 证明：M 在 BF 的垂直平分线上， MFMB， MBFMFB， 又BF 平分ABC， MBFCBF， CBFMFB， MFBC， C90， FMAC， M 与边 AC 相切 24（2019镇江）【材料阅读】 地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图 1 中的O）人们在北半球可 观测到北
44、极星， 我国古人在观测北极星的过程中发明了如图 2 所示的工具尺 （古人称它为 “复矩” ） ， 尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直站在 不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角 的大小是变化的 【实际应用】 观测点 A 在图 1 所示的O 上，现在利用这个工具尺在点 A 处测得 为 31，在点 A 所在子午线 往北的另一个观测点 B，用同样的工具尺测得 为 67PQ 是O 的直径，PQON （1）求POB 的度数； （2）已知 OP6400km，求这两个观测点之间的距离即O 上的长（ 取 3.1） 解：（1）设点 B 的切线 CB
45、 交 ON 延长线于点 E，HDBC 于 D，CHBH 交 BC 于点 C，如图所 示： 则DHC67， HBD+BHDBHD+DHC90， HBDDHC67， ONBH， BEOHBD67， BOE906723， 3968（km） 25（2019宿迁）如图，在钝角ABC 中，ABC30，AC4，点 D 为边 AB 中点，点 E 为 边 BC 中点，将BDE 绕点 B 逆时针方向旋转 度（0180） （1）如图，当 0180 时，连接 AD、CE求证：BDABEC； （2）如图，直线 CE、AD 交于点 G在旋转过程中，AGC 的大小是否发生变化？如变化， 请说明理由；如不变，请求出这个角的度
46、数； （3）将BDE 从图位置绕点 B 逆时针方向旋转 180，求点 G 的运动路程 解：（1）如图中， 由图，点 D 为边 AB 中点，点 E 为边 BC 中点， DEAC， ， ， DBEABC， DBAEBC， DBAEBC （2）AGC 的大小不发生变化，AGC30 理由：如图中，设 AB 交 CG 于点 O DBAEBC， DABECB， DAB+AOG+G180，ECB+COB+ABC180，AOGCOB， GABC30 （3）如图1 中设 AB 的中点为 K，连接 DK，以 AC 为边向右作等边ACO，连接 OG，OB 以 O 为圆心，OA 为半径作O， AGC30，AOC60， AGCAOC， 点 G 在O 上运动， 以 B 为圆心，BD 为半径作B，当直线与B 相切时，BDAD， ADB90， BKAK， DKBKAK， BDBK， BDDKBK， BDK 是等边三角形， DBK60， DAB30， DOG2DAB60， 的长， 观察图象可知，点 G 的运动路程是的长的两倍 26（2019扬州）如图，四边形 ABCD 是矩形，AB20，BC10，以 CD 为一边向矩形外部作等腰 直角GDC，G90点 M 在线段 AB 上，且 AMa，点 P 沿折线 ADDG 运动，点
