1、 - 1 - 哈尔滨市 2016 2017 学年度下学期期末考试 高一数学试题 考试时间： 120分钟 满分： 150分 一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把答案一律用 2B铅笔涂在答题卡上） 1. 双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 2. 给出下列命题： ； ； ； 其中正确的命题是（ ） A. B. C. D. 【答案 】 C 【解析】 当 时，命题 错误； 当 时，命题 错误； 据此排除 ABD选项 . 本题选择 C选项 . 3. 焦点在 轴上，焦距等于 ，离心率等于 的椭圆
2、的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 设椭圆方程为： ，由题意可得： ，解得： ， 则椭圆的标准方程为： . 本题选择 D选项 . - 2 - 4. 若 ，则直线 必 不经过 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 B 【解析】 令 x=0，得 y=sin 0， 直线过 (0,sin )， (cos ,0)两点，因而直线不过第二象限。 本题选择 B选项 . 5. 在 中，角 的对边 满足 ，且 ，则 的面积等于（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】 A 【解析】 因为 ，所以 ， ，三角形面积S= ，故选 A 6
3、. 等差数列 的首项为 1，公差不为 0，若 成等比数列，则 前 6项的和为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】 A 【解析】 等差数列 an的首项为 1,公差不为 0.a2,a3,a6成等比数列， a23=a2?a6， ( a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且 a1=1， d0 ， 解得 d=?2， an前 6项的和为 . 本题选择 A选项 . 点睛： (1)等差数列的通项公式及前 n项和公式，共涉及五个量 a1， an， d， n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题 (2)数列的通项公式和前 n项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d是等
4、差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法 7. 已知直线 与 垂直，则 的值是（ ） A. 或 B. C. D. 或 - 3 - 【答案】 C 【解析】 由题意得 ， 选 C. 8. 直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题意，得 ，即 ，解得 ，则 直线的倾斜角为 或 ，故选 A. 9. 下列函数中， 的最小值为 的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 当 时， ，选项 A错误； 当 时， ，选项 B错误； 当 时， ，选项 C错误； 本题选择 D选项 . 10. 已知圆 的圆心位于直线 上，且圆
5、与直线 和直线 均相切，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 设圆心坐标为 ，由题意可得： ， 解得： ， 圆的半径为： ， 据此可得圆的方程为： . - 4 - 本题选择 B选项 .+ 点睛： 求圆的方程，主要有两种方法： (1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如： 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 圆心在任意弦的中垂线上 ； 两圆相切时，切点与两圆心三点共线 (2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该
6、有三个独立等式 11. 椭圆 焦点 在 轴上，离心率为，过 作直线交椭圆于 两点，则周长为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】 B 【解析】 由题意可得： ， 由椭圆的定义可得：题中三角形 的周长为 . 本题选择 B选项 . 12. 已知点 、 是椭圆 的左右焦点，过点 且垂直于 轴的直线与椭圆交于 、 两点，若 为锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由于 为锐角三角形，则 ， ， 或 ，又 ，则 ，选. 【点睛】列出一个关于 的等式，可以求离心率；列出一个关于 的不等式，可以求离心率的取值范围 .本题根据等腰
7、三角形为锐角三角形，只需顶角为锐角，所以顶角的一半小于 ，利用正切函数在 是单调增的，列出一个关于 的等式，求出离心率 . 二 、填空题（本大题共 4题，每题 5分，共 20 分。请把答案填在答题卡上指定位置处。） 13. 已知向量 ，若向量 与 垂直，则 =_. 【答案】 7 - 5 - 【解析】 由题意可得： ， 由向量垂直的充要条件有： ， 解得： . 点睛： (1)当向量 a 与 b 是坐标形式给出时，若证明 a b，则只需证明 ab 0?x1x2 y1y20. (2)当向量 a， b是非坐标形式时，要把 a， b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进
8、行运算证明 ab 0. (3)数量积的运算 ab 0?a b中，是对非零向量而言的，若 a 0，虽然有 ab 0，但不能说 a b. 14. 设 x， y满足约束条件 ，则 的最小值为 _ . 【答案】 -5 【解析】 绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点 处取得最小值 . - 6 - 15. 已知数列 中， ，且 ， ，则数列 的前 20 项和为_. 【答案】 110 【解析】 由题意可得：数列的奇数项、偶数项均为首项为 1，公差为 1的等差数列，则数列的前 20 项和为 . 16. 已知 为椭圆 上的一点， 分别为圆 和圆上的 点，则 的最小值为 _ 【答案】
9、7 【解析】试题分析：设圆 和圆 的圆心分别为 （ -3，0）， （ 3， 0），同时两圆心为椭圆的焦点，所以由椭圆定义得 。又根据圆外点到圆上点的最小距离等于圆外点与圆心两线长减半径，所以- 7 - 。 考点： 椭圆定义； 圆外点到圆上点的距离的最值计算。 三、解答题（本大题共 6个小题，共 70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知平面内两点 . （ 1）求 的中垂线方程； （ 2）求过点 且与直线 平行的直线 的方程 【答案】 （ 1） ; （ 2） . 【解析】 试题分析： (1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程； (2)
10、利用点斜式可得直线方程为 . 试题解析： （ 1） ， 的中点坐标为 ， 的中垂线斜率为 由点斜式可得 的中垂线方程为 （ 2）由点斜式 直线 的方程 18. 已知向量 （ 1）若 ，求 的值； - 8 - （ 2）求 的最大值 【答案】 （ 1） ;（ 2） 【解析】 试题分析： (1)利用向量垂直的充要条件结合同角三角函数基本关系可得 ; (2)求得 的解析式，结合三角函数的性质可得 试题解析： （ 1）由题 ，所以 ，从而 . （ 2）因 ，所以, ， 因为 ，所以 ， 从而 ，所以 19. 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， 且满足 ， . （ 1）求角 的大小； （ 2）
11、求 的周长的最大值 【答案】 （ 1） ;（ 2） . 【解析】试题分析：（ 1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角 的大小；（ 2）根据余弦定理结合基本不等式的应用求出 的范围即可求 的周长的最大值 . 试题解析： （ 1）依题意 , , 由正弦定理得 , , - 9 - . （ 2） (当且仅当 时取等号 ), 的周长最大值为 . 考点：（ 1）正弦定理；（ 2）余弦定理 . 20. 等差数列 的前 项和为 ，且满足 （ 1）求数列 的前 项和 ； （ 2）设 ，求数列 的前 项和 【答案】 （ 1） , ;（ 2） 【解析】 试题分析： (1)利用等差数列前 n项和公式可
12、得 ; (2)裂项求和可得 . 试题解析： （ 1） , , （ 2） , 点睛： 使用裂项法求和时，要注 意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的 - 10 - 21. 已知圆 的方程 : （ 1）求 的取值范围； （ 2）圆 与直线 相交于 两点，且 ( 为坐标原点 )，求 的值 【答案】 （ 1） m 5;（ 2） . 【解析】 试题分析： (1)将圆的方程整理为一般式，半径为正数，据此求得关于 m的不等式，求解不等式可得 ； (2)联立直线与圆的方程，结合题意可得 . 试题解析： （ 1）方程 x2 y2 2x 4y m 0，可化 为 (x 1)2 (y 2)2 5 m， 此方程表示圆， 5 m 0，即 m 5. （ 2） 消去 x得 (4 2y)2 y2 2(4 2y) 4y m 0，化简得 5y2 16y m 8 0. 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 ，由 OMON 得 y1y2 x1x2 0 即 y1y2 (4 2y1)(4 2y2) 0， 16 8(y1 y2) 5y1y2 0. 将 两式代入上式得 16 8 5 0，解之得 符合 .
