1、 1 / 6 主主 题题 不等式的证明与讨论 教学内容教学内容 1. 掌握证明不等式的三种基本方法； 2. 会讨论参数的范围求不等式解集。 （以提问的形式回顾）（以提问的形式回顾） 设ba ，求证：)(23 22 babba. 证明： 22222 (3)2 ()2()abb abababab 2 22 ()0 32 () ab ab abb ab 上面的证明方法，是我们在学习不等式的性质时就用到的，我们称之为比较法。 比较法比较法 （1）应用范围：当欲证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，常用此法。 （2）方法：欲证 AB,只需要证 A-B0 （3）步骤：“作差-变形-判断符号”。 （4）使
2、用此法作差后主要变形形式的处理： 将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征判断差的符号。 将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。 若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。 总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。 （采用教师引导，学生轮流回答的形式）（采用教师引导，学生轮流回答的形式） 分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其 特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。 例 1. 已知, 0 ba 求证. baba 证明：0ab 2 /
3、6 要证：. baba 只需证：abba 两边平方得：2ababbba 即：0abb，而0abb成立 所以. baba 试一试：求证5273 证明：因为5273和都是正数，所以为了证明5273 只需证明 22 )52()73( 展开得 2021210 即 2521,10212 因为2521成立，所以 22 )52()73(成立 即证明了5273 综合法：用综合法证明不等式，就是利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助 不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”， 从“已知”看“可知”，逐步推出“结论”综合法属逻辑方
4、法范畴，它的严谨体现在步步注明推理依据。常用的不等 式有： （1） 22 2ababab当且仅当时取等号 （2）, 2 ab ab a bRab 当且仅当时取等号 （3） 2 0a （4）2, ba a b ab 同号 例 2. 已知 a，b，c 是不全相等的正数，求证： abcbacacbcba6)()()( 222222 证明： 22 cb 2bc,a0, )( 22 cba2abc 同理 )( 22 acb2abc 3 / 6 )( 22 bac2abc 因为 a，b，c 不全相等，所以 22 cb 2bc, 22 ac 2ca, 22 ba 2ab 三式不能全取“=”号，从而、 、三式
5、也不能全取“=”号 奎屯 王新敞 新疆 abcbacacbcba6)()()( 222222 试一试：求证：)( 2 2 22 baba 证明：0) 2 ( 2 2 22 baba 2 | 2 | 2 22 bababa )( 2 2 22 baba 例 3. 解不等式), 0(01) 1 ( 2 Raa a ax 解：当1a或01a时， ax a x 1 ，当1a时， 当10a或1a时， a xax 1 。 试一试：解不等式04 2 axx 分分析析 本题中由于 2 x的系数大于 0,故只需考虑与根的情况。 解：解：16 2 a 当4 , 4a即0时，解集为R；当4a即 0 时，解集为 2
6、a xRxx且； 当4a或4a即0,此时两根分别为 2 16 2 1 aa x， 2 16 2 2 aa x，显然 21 xx , 不等式的解集为 2 16 2 16 22 aa x aa xx或 4 / 6 （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解） 1. 已知0cab,求证: ab cacb . 分析分析:要证不等式是一个分式不等式可以使用不等式的基本性质先证逐步变形即可. 证明证明:因为0cab,所以,0cac b ,故 11 cacb ,而0ab,所以, ab cacb .即原不等 式得证. 2. 求证:4321xxxx(x4) 欲证4321xxxx(x4) 只需证2341xx
7、xx(x4) 即证 22 )23()41(xxxx(x4) 展开得 2x-5+22325241xxxxx 即)2)(3()4)(1(xxxx 只需证)4)(1(xx2)2)(3(xx2 即证 x2-5x+4x2-5x+6 即 4 0 , y 0，2x + y = 1，求证：223 11 yx 5 / 6 证：223 2 3)2( 11 x y y x yx yx 即：223 11 yx 5. 解不等式Rmxxm0141 22 解 因, 01 2 m 222 3414)4(mm，所以当3m，即0时，解集为 2 1 | xx； 当33m，即0时，解集为 1 32 1 32 2 2 2 2 m m
8、x m m xx或； 当33mm或，即0时，解集为 R。 本节课主要知识点：不等式的证明方法，含参数的不等式讨论 【巩固练习】 1. 已知 a,b,c,dR,求证:ac+bd)( 2222 dcba 分析一:用分析法 证法一:(1)当 ac+bd0 时,显然成立 奎屯 王新敞 新疆 (2)当 ac+bd0 时,欲证原不等式成立, 只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2) 即证 a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 即证 2abcdb2c2+a2d2 即证 0(bc-ad)2 因为 a,b,c,dR,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立
9、 奎屯 王新敞 新疆 分析二:用综合法 证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2) =(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2 6 / 6 )( 2222 dcba|ac+bd|ac+bd奎屯 王新敞 新疆 故命题得证 奎屯 王新敞 新疆 分析三:用比较法 证法三:(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)20, (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2 )( 2222 dcba|ac+bd|ac+bd, 即 ac+bd)( 2222 dcba 奎屯 王新
10、敞 新疆 2. 解不等式065 22 aaxx，0a 分析 此不等式0245 22 2 aaa，又不等式可分解为0)3(2axax，故只需比较两根 a2与a3的大小. 解 原不等式可化为：0)3(2axax，对应方程0)3(2axax的两根为 axax3,2 21 ，当0a 时，即23aa，解集为axaxx23|或；当0a时，即23aa，解 集为|23x xaxa或 【预习思考】 1. A=1,B=x|xA，用列举法表示集合 B 的结果为_。 2. 已知集合 A=(x,y)|y=x+3，B=(x,y)|y=3x-1，则 AB=_。 3. 写出 x1 的一个必要非充分条件_。 4. 不等式 1 1 x 的解集为_。 （用区间表示） 5. 命题“已知 x、yR，如果 x+y2，那么 x0 或 y2.”是_命题。 （填“真”或“假”）
