1、 - 1 - 河北省永年县 2017-2018 学年高二数学 12 月月考试题 理 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1命题 “ ? x0 R,2x0 31” 的否定是 ( ) A ? x0 R,2x0 31 B ? x R,2x 31 C ? x R,2x 31 D ? x0 R,2x0 31 2 下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y 2 x 的是 ( ) A x2 y24 1 B.x24 y2 1 C.y24 x2 1 D y2 x241 3若抛物线 x2 2py 的焦点与椭圆 x23y24
2、1 的下焦点重合，则 p 的值为 ( ) A 4 B 2 C 4 D 2 4若 k R，则 k3 是方程 x2k 3y2k 3 1 表示双曲线的 ( ) A充分不必要 条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 5曲线 y sin x ex在点 (0,1)处的切线方程是 ( ) A x 3y 3 0 B x 2y 2 0 C 2x y 1 0 D 3x y1 0 6已知等比数列 an的公比 q 2，且 2a4， a6,48 成等差数列，则 an的前 8 项和为 ( ) A 127 B 255 C 511 D.1 023 7已知双曲线的左、右焦点分别为 F1、 F2， 过 F1的
3、直线与双曲线的左支交于 A、 B 两点，线段AB 的长为 5，若 2a 8，那么 ABF2的周长是 ( ) A 16 B 18 C 21 D 26 8在 ABC 中， ABC 4 ， AB 2， BC 3，则 sin BAC ( ) A. 1010 B. 105 C.3 1010 D. 55 9已知 F1、 F2是椭圆的两个焦点，满足 MF1 MF2 0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A (0,1) B (0， 12 C (0， 22 ) D 22 ，1) - 2 - 10设 a 0， b 0.若 3是 3a与 32b的等比中项，则 2a 1b的最小值为 ( ) A
4、 8 B.4 C 1 D.14 11已知抛物线 y2 2x 的弦 AB 的中点的横坐标为 32，则 |AB|的最大值为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 12已知椭圆 E： x2a2y2b2 1(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A， B 两点若AB 的中点坐标为 (1， 1)，则 E 的方程为 ( ) A.x245y236 1 B.x236y227 1 C.x227y218 1 D.x218 y29 1 二、填空题 (本大题共 4 小题 ，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中的横线上 ) 13已知函数 f(x) xsin x ax，且 f ? ?
5、 2 1，则 a _ 14设 z x 2y，其中实数 x， y 满足? x y 10 ，x y 20 ，x0 ，y0 ，则 z 的取值范围是 _ 15已知点 F、 A 分别为双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的左焦点、右顶点，点 B(0， b)满足 FB AB 0，则双曲线的离心率为 _ 16已知椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的离心率等于13，其焦点分别为 A， B.C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在 ABC 中， sin A sin Bsin C 的值等于 _ 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分，解答时写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17
6、(本小题满分 10 分 )已知等差数列 an为递增数列，且 a2， a5是方程 x2 12x 27 0 的两根，数列 bn的前 n 项和 Tn 1 12bn. (1)求数列 an和 bn的通项公式； (2)若 cn 3nbnanan 1，求数列 cn的前 n 项和 Sn. - 3 - 18 (本小题满分 12 分 ) 已知 a， b， c 分别为 ABC 三个内角 A， B， C 的对边， c 3asin C ccos A. (1)求 A； (2)若 a 2， ABC 的面积为 3，求 b， c. - 4 - 19、 (本小题满分 12 分 )四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为正方形
7、， PD 平面 ABCD， PD DA 2， F， E 分别为 AD， PC 的中点 (1)求证： DE 平面 PFB； (2)求点 E 到平面 PFB 的距离 20 (本小题满分 12 分 )已知抛物线 y2 x 与直线 y k(x 1)相交于 A， B 两点， O 为坐标原点 (1)求证： OA OB； (2)当 OAB 的面积等于 10 时，求实数 k 的值 - 5 - - 6 - 21 (本小题满分 12 分 )如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中， AB AC， AB AC 2， A1A 4，点 D是 BC 的中点 (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值； (2)求
8、平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值 22、 (本小题满分 12 分 )已知点 P 是圆 O： x2 y2 9 上的任意一点，过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D，动点 Q 满足 DQ 23DP (1)求动点 Q 的轨迹方程； (2)已知点 E(1,1)，在动点 Q 的轨迹上是否存在不重合的两点 M， N，使 OE 12(OM ON )(O 是坐标原点 )，若存在，求出直线 MN 的方程，若不存在，请说明理由 - 7 - 永年二中高二数学月考试题答案 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1解析：选
9、C 由特称命题的否定的定义即知 2 解析 选项 A、 B 的焦点在 x 轴，故排除 A、 B； C 项的渐近线方程为 4y2 x2 0，即 y 2 x，选 C. 3解 析：椭圆 3x2 4y2 1 的下焦点为 (0， 1)， 2p 1，即 p 2.答案： D 4 解析： 方程 k 3x2 k 3y2 1 表示双曲线的条件是 (k 3)(k 3)0，即 k3 或 k3是方程 k 3x2 k 3y2 1 表示双曲线的充分不必要条件故选 A. 5解析：选 C y sin x ex， y cos x ex， y cos 0 e0 2， 曲线 y sin x ex在点 (0,1)处的切线方程为 y 1
10、2(x 0)，即 2x y 1 0. 6 解析： 2a4， a6， 48 成等差数列， 2a6 2a4 48， 2a1q5 2a1q3 48，又 q 2， a1 1， S8 1 21 (1 28 255.答案： B 7 答案 D解析 |AF2| |AF1| 2a 8， |BF2| |BF1| 2a 8， |AF2| |BF2| (|AF1|BF1|) 16， |AF2| |BF2| 16 5 21， ABF2的周长为 |AF2| |BF2| |AB| 21 5 26. 8 解析： 在 ABC 中，由余弦定理得 AC2 AB2 BC2 2AB BCcos ABC 2 9 2 3 22 5，即得
11、AC .由正弦定理 sin ABCAC sin BACBC ，即 2 sin BAC3 ，所以 sin BAC 1010.答案： C 9 解析 依题意得， cb，即 c2b2， c2a2 c2,2c2a2，故离心率 e ac22，又 0e1， 0e22，选 C. 10 解析： 由题意可知 3 3a32b 3a 2b，即 a 2b 1.因为 a 0， b 0，所以 a2 b1 b1(a 2b) ba a4b 4 2a4b 4 8，当且仅当 ba a4b，即 a 2b 21时取 “ ” 答案： A 11解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 3，利用抛物线的定义可知，
12、|AF| |BF| x1 x2 1 4，由图可知 |AF| |BF| |AB|?|AB| 4，当直 线 AB 过焦点 F 时， |AB|取得最大值4.答案： D 12解析：选 D 因为直线 AB 过点 F(3,0)和点 (1， 1)，所以直线 AB 的方程为 y 21(x 3)，- 8 - 代入椭圆方程 a2x2 b2y2 1消去 y，得 b2a2 x2 23a2x 49a2 a2b2 0，所以 AB的中点的横坐标为 b2a2 1，即 a2 2b2，又 a2 b2 c2，所以 b2 9， a2 18，即 E 的方程为 18x2 9y2 1. 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共
13、 20 分请把正确答案填在题中的横线上 ) 13解析： f (x) sin x xcos x a，且 f 2 1， sin2 2 cos2 a 1，即a 0. 14解析：画出可行域如图，由 z x 2y，得 y 21x 2z，则 2z的几何意义是直线 y21x 2z在 y 轴上的截距，当直线过点 O 及直线 x y 1 0 和 x y 2 0 的交点 A23时， z 分别取得最小值 0 和最大值 27，故 z 的取值范围是 27. 15 解析： 依题意得 F( c,0)， A(a,0)，又 B(0， b)，则 FB (c， b)， AB ( a， b)由 FB AB 0，得 b2 ac，所以
14、c2 a2 ac， acc2 a2 1，即 e e1 1， e2 e 1 0，解得 e 25.又 e 1，所以 e 25，即双曲线的离心率等于 25. 16解析：在 ABC 中，由正弦定理得 sin Csin A sin B |AB|CB| |CA|，因为点 C 在椭圆上，所以由椭圆定义知 |CA| |CB| 2a，而 |AB| 2c，所以 sin Csin A sin B 2c2a e1 3.答案： 3 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17 解： (1)由题意得 a2 3， a5 9，数列 an的公差 d 5 2a5 a2 2
15、.所以 an a2 (n 2)d 2n 1. 由 Tn 1 21bn，得 n 1 时， b1 32， n 2 时， bn Tn Tn 1 21bn 1 21bn，得 bn 31bn 1，所以 bn 3n2. (2)由 (1)得 cn anan 13nbn (2n 1(2n 12 2n 11 2n 11 ， 则 Sn c1 c2 ? cn 31 51 ? 2n 11 1 2n 11 2n 12n . 18 解 (1)由 c asin C ccos A 及正弦定理得 sin Asin C cos Asin C sin C 0. 由于 sin C 0，所以 sin(A 6 ) 21.又 0A ，则 6 A 6 65 ，故 A- 9 - 6 6 ，所以 A 3 . (2)由正弦定理可得 ABC 的面积 S 21bcsin A，故 bc 4.而由余弦定理可得 a2 b2c2 2bccos A，故 b2 c2 8.则 (b c)2 b2 c2 2bc 16 而 b c 0 故 b c 4， b， c 是方程 x2 4x 4 0 的两根，解 得 b c
