1、 1 2017-2018 学年高二上学期第三次月考 数学（文）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设 ,ab是非零实数，若 ab? ， 则下列不等式成立的是 （ ） A 22ab? B 22ab ab? C2211ab ab?D baab?2. nS 为等比数列 na 的前 n 项和， 2 3 4 3 4 54 2 , 8 4a a a a a a? ? ? ? ? ?，则 3S? （ ） A 12 B 21 C 36 D 48 3. 椭圆 ? ?22: 1 0xy
2、C a bab? ? ? ?的左右焦点分别为 12FF、 ,过 1F 作 x 轴的垂线交 C 于点 P .若 1260FPF? ? ? ，则椭圆的离心率为 （ ） A 22B 12C 33D 134. 已知 等差数列 1,ab ， 等比数列 4, 1, 4ab?， 则该等比数列的公比为 （ ） A 52B 12?C 52或 12?D 10 或 2? 5. 在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，若 8, 3, 60b c A? ? ? ?， 则此三角形外接圆的半径 R? （ ） A 823B 1433C 73D 7336.若变量 ,xy满足约束条件 4 5 81302xyxy?
3、， 则 32z x y? 的最小值为 （ ） A 315B 6 C 235D 4 7 已知过抛物线 ? ?2 20y px p?的焦点 F 的直线交抛物线于点 AB、 ， 交其准线于点 C ，若 2BC BF? (其中 B 位于 AC、 之间 )， 且 4AF? ， 则抛物线方程为 （ ） A 2 8yx? B 2 4yx? C 2 6yx? D 2 2yx? 8.已知 双曲线 ? ?22 10xy abab? ? ? ? ?的两条渐近线均和圆 22: 6 5 0C x y x? ? ? ?相切，且双2 曲线的右焦点为圆 C 的 圆心 ，则该双曲线的方程为 （ ） A 22154xy?B 22
4、145xy?C 22136xy?D 22163xy?9. 已知点 P 是抛物线 2 4yx? 上的一个动点，则点 P 到点 ? ?0,2A 的距离与点 P 到 y 轴的距离之和的最小值为 （ ） A 2 B 5 C 51? D 51? 10.如图 ， 12,FF是椭圆 2 21 :14xCy?与双曲线 2C 的公共焦点， ,AB分别是 12,CC在第二、四象限的公共点 .若四边形 12AFBF 为矩形，则 2C 的离心率是 （ ） A 2 B 3 C 32D 6211. ,AB分别是椭圆 22143xy?的左顶点和上顶点， C 是该椭圆上的动点 .则 ABC? 面积的最大值为 （ ） A 63
5、? B 63? C 6 2 3? D 2 6 3? 12.已知 12,FF为椭圆 ? ?22 10xy abab? ? ? ?的两个焦点 ， P 为椭圆上一点且 212PF PF c?，则此椭圆离心率的取值范围是 （ ） A 11,32?B 20,2? ?C 3,13? ?D 32,32?第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 若 2 2 1xy?， 则 xy? 的取值范围是 14. 已知 点 ? ?1,1 是椭圆 22142xy?某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为 15. 已知 椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ?
6、?的离心率为 32，过右焦点 F 且斜率为 ? ?0kk? 的直线与 C 相交于 AB、 两点 .若 3AF FB? ，则 k? 3 16. 给出下列命题： ABC? 中角 ,ABC 的对边分别为 ,abc， 若 ab? ，则 cos cosAB? ； ,ab R? ，若 ab? ，则 33ab? ； 若 ab? ， 则 b b xa a x? ?； 设等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 若 2016 1 1SS?， 则 20171S ? . 其中正确命名的序号是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 如图，在 ABC
7、? 中，已知 42AB? ， 且三内角 ,ABC 满足： 2 sin sin 2 sinA C B?，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程 . 18.已知公差不为零的等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 10 110S ? ， 且 1 2 4,aa a 成等比数列 . （ 1） 求数列 ?na 的通项公式 ； （ 2） 若 ? ? ?111n nnb aa? ?，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 19. 在 ABC? 中，内角 ,ABC 所对的边分别是 ,abc， 且 sin 3 sinb A a C? ， 2cos3A?. （ 1） 若 3b? ，求 a 的值 ； （
8、2） 若 ABC? 的面积 5S? ，求 sinB 的值 . 20. 已知 顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线被真线 2 1 0xy? ? ? 截得的弦长为 15 ，求此抛物线方程 . 21. 设函数 ? ? ? ?2 11f x ax a x? ? ? ?. （ 1） 当 aR? 时，求关于 x 的不等式 ? ? 0fx? 的解集； （ 2） 若 ? ? 321f x x x?在 3,2?上恒成立，求 a 的取值范围 . 22. 如图，椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?的右焦点为 F ，右顶点、上顶点分别为点 AB、 ，4 且 52AB BF?. （ 1） 求椭圆
9、C 的离心率； （ 2） 若斜率为 2 的直线 l 过点 ? ?0,2 ，且 l 交椭圆 C 于 PQ、 两点， OP OQ? ， 求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程 . 5 试卷答案 一、选择题 1-5: CBCCD 6-10: CBADD 11、 12： BD 二、填空题 13. ? ?,2? 14. 2 3 0xy? ? ? 15. 2 16. 三、解答题 17. 解：以 AB 所在 直 线为 x 轴， AB 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示平面直角坐标系 ? ? ? ?2 2,0 , 2 2,0AB? 2 sin sin 2 sinA C B? 由正弦定理得 :22BC AB A
10、C? 1 222A C B C A B A B? ? ? ?. 由双曲线的定义知，点 C 的轨迹以 ,AB为焦点，以 22为实轴长的双曲线的右支 （除去与 x 轴 的交点） 2, 2 2, 6a c b? ? ? 顶点 C 的轨迹方程为 ? ?221226xy x? ? ?. 18.解 （ 1） 设等差数列 ?na 的公差为 d ， 因为 1 2 4,aa a 成等比数 ， 所以 22 1 4a aa? ， 即 ? ? ? ?21 1 1 3a d a a d? ? ? 又 10 110S ? ， 所以 110 45 110ad? 联立解得 1 2ad? ，所以 ? ?2 2 1 2na n
11、n? ? ? ?. （ 2） 由 （ 1） 可知 ? ? ? ?1 1 1 12 1 2 1 2 2 1 2 1nb n n n n? ? ? ? ? ?， 6 则 1 1 1 1 1 1 12 1 3 3 5 2 1 2 1nT nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1112 2 1 2 1nnn? ? ?. 19.（ 1） 由正弦定理及 sin 3 sinb A a C? ，得 3ab ac? ，即 3bc? . 由 3b? ， 得 1c? .由余弦定理，得 2 2 2 2 cos 6a b c bc A? ? ? ?， 6a? .
12、（ 2） 由 2cos3A?，得 5sin3A?. 由 1 sin 52ABCS bc A? ?，解得 6bc? . 由 3bc? ， 解得 3 2, 2bc?. 由余弦定理，得 2 2 2 2 cos 12a b c bc A? ? ? ? 23a? . 由正弦定理，得 532s in 3 03s in623bAB a? ? ?. 20.解：设抛物线方程为 ? ?2 0x ay a?， 由方程组 22 1 0x ayxy? ? ? ? ?消去 y 得： 220x ax a? ? ? ， 直线与抛物线有两个交点， ? ?2 4 2 0aa? ? ? ? ? ? ?， 即 0a? 或 8a? ，
13、 设两交点坐标为 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y， 则1 2 1 2,22aax x x x? ? ?， 弦长为 ? ? ? ? ? ?22 21 2 1 2 1 25 5 14 5 84 4 4A B x x x x x x a a? ? ? ? ? ? ? 15AB? ， ? ?21 5 8 154 aa?，即 2 8 48 0aa? ? ? ， 解得 4a? 或 12a? 所求抛 物线方程为： 2 4xy? 或 2 12xy? . 21.解：（ 1） 若 0a? ， 原不等式可化为 10x? ? ? ， 解得 1x? ； 若 0a? ， 原不等式可化为 ?
14、?1 10xxa? ? ?， 解得 1xa?或 1x? ； 若 0a? ， 原不等式可化为 ? ?1 10xxa? ? ?， 其解得情况应由 1a与 1 的大小关系确定， 当 1a? 时，解得 x? ； 当 1a? 时，解得 1 1xa?； 当 01a?时，解得 11 xa?. 7 综上， 当 0a? 时，解集为 ? ?1xx? ； 当 0a? 时 ，解集 为 ? 1xxa?或 ?1x? ； 当 1a? 时，解集为 ? ； 当 01a?时，解集为 11 xax? ? ? ?； 当 1a? 时，解集为 1 1xxa?. （ 2） 由 ? ?2 3 21 1 1a a x x x? ? ? ? ?
15、 ?得 ? ?2 3 2a x x x x x? ? ? ?， 3,2x ? ?， 2 0xx? ， 3222 1 1x x xaxx x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 32f x x x x?在 3,2?上恒成立，即 11axx?在 3,2?上恒成立， 令 ? ? 11g x x x?， 则只需 ? ?mina g x? 又 3,2x ? ?， 10x? ? ? ? ? ? ?111 2 1 1 3g x x xxx? ? ? ? ? ? ? ?，当且仅当 2x? 时等式成立 . a 的取值范围是 ? ?,3? . 22（ 1）由已知 52AB BF?， 即 22 52a b a
16、?， 2 2 24 4 5a b a?， ? ?2 2 2 24 4 5a a c a? ? ?， 32ce a? . （ 2） 设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,P x y Q x y， 直线 l 的方程为 ? ?2 2 0yx? ? ? ，即 2 2 0xy? ? ? . 由 （ 1） 知 224ab? ， 椭圆 22:14xyC bb?由 22222 2 014xyxybb? ? ? ? ?2224 2 2 4 0x x b? ? ? ? ?， 即 2217 32 16 4 0x x b? ? ? ?， ? ?22 2 1 73 2 1 6 1 7 4 0 17bb? ? ? ?
17、 ? ? ? ?， 21 2 1 23 2 1 6 4,1 7 1 7 bx x x x ? ? ? ?. OP OQ? ， 0OP OQ?， 即 1 2 1 2 0xx y y?， ? ? ?1 2 1 22 2 2 2 0x x x x? ? ? ?， ? ?1 2 1 25 4 4 0x x x x? ? ? ?， 从而 ? ?25 16 4 128 4017 17b? ? ? ?， 解得 1b? ， 椭圆 C 的方程为 2 2 14x y?. 8 -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！
