1、 - 1 - 2017-2018 学年度第一学期第二次月考阶段测试 高二数学试题 本试卷满分分，考试时间分钟。 一、 填空题 （本题包括 小题，每小题分，共分。 答案写在答题卡相应位置 ） 1、抛物线 2 4yx? 的准线方程为： 。 2、 已知椭圆 22 142yx ?的 离心率 。 3、函数 ( ) 2 cosxf x x? ，则 ()fx的导函数 ()fx? ? 。 4、设 2 (1 a bi ii ? 为虚数单位， ,ab为实数），则 ab? 。 5、 已知双曲线 2 22 1x ya ?（ a 0）的一条渐近线为 30xy?，则 a? 。 6、 已知椭圆中心在原点，一个焦点为 30（
2、 ， ） ，且长轴长是短轴长的 2倍，则该椭圆的标准方程是 。 7、函数 lnxy x? 的最大值是 。 8、 已知椭圆 C： 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?的左、右焦点为 F1， F2，离心率为 33，过 F2的直线 l 交 C于 A， B两点若 AF1B的周长为 43，则 C的标准方程为 _ _。 9、已知 0a? ，函数 ? ? ? ?2 2 xf x x a x e? ，若 ?fx在 ? ?1,1? 上是单调减函数，则的取值范围是 _ _。 10、 椭圆 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?的两焦点为 F1、 F2，以 F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平
3、分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 _ _ _。 11、曲线 ? ? ? ? ? ? 21 10 2xff x e f x xe? ? ?在点 ? ?1, 1f 处的切线方程为 。 12 、已知 33222277? ， 333326 26? ， 33444463 63? ，?，- 2 - 332 0 1 7 2 0 1 7mmnn? ，则 21nm? 。 13、已知圆 2 2 2x y r?上任一点 00( , )xy 处的切线方程为 200 ,x x y y r?类比上述结论有：椭圆 221xyab?上任一点 00( , )xy 处切线方程为： 。 14、已知函数 ( ) ln mf x
4、 x x?，若 ( ) ( )2 , 1f b f aba ba? ? ?时 恒成立，则实数 m的取值范围是 _ _。 二、解答题（本大题共 11 小题 .请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、 （本题 14分） （ 1）若 ,xy都是正实数，且 2xy?，求证： 1 2xy? ?与 1 2yx? ? 中至少有一个成立。 （ 2）求证： 1 2 1 ( )n n n n n N ? ? ? ? ? ? ? 16、 （本题 14分） 已知椭圆 C的方程为 22191xykk?； （ 1）求 k的取值范围； （ 2）若椭圆 C的离心率 67e?，求 k 的值
5、。 17、 （本题 14分） 已知函数 3 2 2( ) 1 ( )f x x m x m x m? ? ? ? 为 常 数， （ 1）当 1m? 时，求函数 ()fx的极值； （ 2）求函数 ()fx的单调区间。 - 3 - 18、 （本题满分 16分） 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日销售量 y（单位：千克）与销售价格 x（单位：元 /千克）满足关系式： 2 7 1 31 0 ( 6 ) , , 3 2 2ay x x ax? ? ? ? ? 为常数，已知销售价格为 5 元 /千克时，每日可售出商品 11千克 . （ 1）求 a 的值； （ 2）若该商品的成本为 3元 /千克，问，
6、销售价格为多少时，利润最大，最大利润为多少？ 19、（本题满分 16分） 已知椭圆 1C 与椭圆 22 152yx ?有相同的焦点，且过点 31,2? （ 1）求椭圆 1C 的标准方程； 若 P是椭圆 1C 上一点且在 x轴上方， F1、 F2为椭圆 1C 的左、右焦点，若 12PFF? 为直角三角形，求 p点坐标。 - 4 - 20、 （本题满分 16分） 已知函数 ( ) ( ) lnf x ax b x?在 xe? 处的切线方程为 2y x e? （ 1）求 ()fx的解析式； （ 2）若对任意的 0 , ( ) 1 0 ,x f x k x k? ? ? ?均 有 求 实 数的取值范围
7、； （ 3）设 12,xx为两个正数，求证： 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x f x x x f x x? ? ? ? ? 修远中学 2017-2018学年度第一学期第二次月考阶段测试 高二数学试题 （附加卷） 21、 设数列 ?na 满足 1 3a? ， 21 22n n na a na? ? ? ?. （ 1）求 234,a a a ； （ 2） 先猜想出 ?na 的一个通项公式，再用数学归纳法证明 22、如图，已知长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 3， BC 2， CC1 5， E是棱 CC1上不同于端点的点，且 CE CC1 - 5 - （ 1） 当 B
8、EA1为钝角时，求实数 的取值范围； （ 2） 若 25，记二面角 B1 A1B E的的大小为 ，求 |cos | . （第 22 题图） A B C D E A1 B1 C1 D1 - 6 - 修远中学 2017-2018学年度第一学期第二次月考阶段测试 高二数学试题 答案 （ 2017、 12） 本试卷满分分，考试时间分钟。 二、 填空题 （ 本题包括 小题，每小题分，共分。 答案写在答题卡相应位置 ） 1、 1x? ； 2、 22 ； 3、 2 ln2 sinx x? ； 4、 2 ； 5、 33 ； 6、 2 2 14x y?； 7、 1e ； 8、 22132xy?； 9、 3 ,
9、)4? ； 10、 31? ； 11、 1122eyx?； 12、 2017 ； 13、 00221x x y yab?； 14、 2m? ； 二、解答题（本大题共 11 小题 .请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（ 1） 7分；注意反证法的格式；（ 2） 7分；若用分析法，注意分析法格式； 16、 （ 1） 方程 表示椭圆， 则 ， 解得 k （ 1， 5） （ 5， 9） ? 6分（未去 5扣 2分） （ 2） 当 9 k k 1 时，依题意可知 a= ， b= c= = k=2； 当 9 k k 1时，依题意可知 b= ， a= c= = k=8
10、； - 7 - k的值为 2或 8 （一种情况 4分共 8分） 17、 （ 1） 2( ) 3 2 1 ( 3 1 ) ( 1 )f x x x x x? ? ? ? ? ? ? 1分 ( , 1 ) ( ) 0 ( ) ( , 1 )11 ( 1 , ) ( ) 0 ( ) ( 1 , )3311 ( , ) ( ) 0 ( ) ( , )33x f x f xx f x f xx f x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所 以 在 递 增 ；在 递 减 ；在 递 增? 4分 1 2 2 ( ) = ( 1 ) 2 , ( ) =
11、( )3 2 7f x f f x f? ? ?极 大 值 极 小 值所 以 ? 6分 （ 2） ( ) (3 )( )f x x m x m? ? ? ? ， ( ) 0 3mf x x x m? ? ? ? ? ?令 或? 7分 0 ( , ) ( ) 0 ( ) ( , )33( , ) ( ) 0 ( ) ( , )33( , ) ( ) 0 ( ) ( , )mmm x f x f xmmx m f x f x mx m f x f x m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当 时 ， 在 递 增 ；在 递 减 ；在 递 增 ；?
12、 9 分 0 ( ) 0 ( ) ( , )m f x f x? ? ? ? ? ? ?当 在 递 增 ；? 10分 0 ( , ) ( ) 0 ( ) ( , )( , ) ( ) 0 ( ) ( , )33( , ) ( ) 0 ( ) ( , )33m x m f x f x mmmx m f x f x mmmx f x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当 在 递 增 ；在 递 减 ；在 递 增 ；? 12 分 所以 0 ( , ) , ( , ) ,3( , )30 , ) ;0 ( , ) , ( , ) ,3( ,
13、)3mmmmmmmmmmm? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当 时 ， 递 增 区 间 是 ：递 减 区 间 是 ：当 时 ， 递 增 区 间 是 ： (当 时 ， 递 增 区 间 是 ：递 减 区 间 是 ：? 14分 - 8 - 18、（ 1） a=2? 3分 （ 2） 2( ) ( 3 ) 2 1 0 ( 6 ) ( 3 )l x x y x x? ? ? ? ? ? 8 分 求导可得： 7( ) ( , 4 ) ( 4 , 6 ) )2lx 13在 递 增 ， 在 递 减 , 在 (6, 递 增 ;2 ? 12分 比较 13(4) ( )2ll与 ? ? 14 分 可得 ( ) 4
14、 4 2l x x ?在 时 取 最 大 值? 16 分 19、（ 1）由题意焦点坐标为 ? ?3,0? ? 2分 设 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?则 222231314abab? ? ?，解得 2, 1ab? 5分 所以 2 2 14x y?；? 7分 （ 2）若 1F 为直角顶点，则 1( 3, )2P? ? 9分 若 2F 为直角顶点，则 1( 3, )2P ? 11 分 若 P 为直角顶点，则 221212PF PF?， PF1+PF2=4， PF1 PF2=2，? 13分 12PFFS?=121 12 PFPF ?11 2 32 h? ? ?， 33h? 故 2 6
15、 3( , )33P ? 16分20.解：（ 1）由 ( ) ( ) lnf x ax b x?得 ( ) ln bf x a x ax? ? ? ?， 由题意： ( ) 2()bf e a aef e a e b e? ? ? ? ? ? ? ? ?，解得 1, 0ab?，所以 ( ) lnf x x x? ? 4分 （ 2）令 ( ) ( ) 1 l n 1g x f x k x x x k x? ? ? ? ? ?， 则 ( ) ( ) 1 l n 1g x f x k x x k? ? ? ? ? ? ?，令 ( ) 0gx? ? 得 1kxe? ， 当 1(0, )kxe? 时， (
16、 ) 0gx? ? ， ()gx在 1(0, )ke? 上单 调递减； 当 1( , )kxe? ? 时， ( ) 0gx? ? ， ()gx在 1( , )ke? ? 1(0, )ke? 上单调递增，? 6分 - 9 - 所以 ()gx的最小值为 1 1 1 1 1( ) l n 1 1k k k k kg e e e k e e? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由题意知 110ke ?，解得 1k? ，故实数 k 的取值范围是 ( ,1? ? 10分 （分离参数亦可） （ 3）方法 1：当 12xx? 时，结论显然成立，否则不妨设 120 xx?， 设 11( ) ( ) ( ) 2
17、( )2xxF x f x f x f ? ? ?则 11( ) ( ( ) l n l n22x x x xF x f x f x? ? ? ?当 10 xx? 时， 0)( ?xF ， )(xF 在 ? ?10,x 上为减函数；当 1xx? 时， 0)( ?xF ， )(xF 在? ?1,x ? 上 为 增 函 数 . 从 而 当 1xx? 时 m in 1( ) ( ) 0F x F x?， 21xx? ，1212( ) ( ) 2 ( ) 02xxf x f x f ? ? ?，即 1 2 1 2( ) ( ) 2 l n 022x x x xf x f x ? ? ? ? ?得， 化
18、简得 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) l n 2 ( )f x f x x x f x x? ? ? ? ?， 故 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l n 2 ( )f x f x x x f x f x x x f x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 16 分 方法 2：对于 0m? ，令 ( ) ( ) ( ) , 0F x f x f m x x m? ? ? ? ?，则 ( ) ln xFx mx? ? ?， 当 0 2mx? ，即 ( ) 0Fx? ? 时， ()Fx在区间 (0, )2m 上单调递减； 当 2m xm? ，即 ( ) 0Fx? ? 时， ()Fx在区间 ( , )2mm 上单调递增， 因而对所有的 0 xm? ，都有 ( ) ( )2mF x F? ，
