1、1.2 一定是直角三角形吗 第一章 勾股定理 八年级数学北师版 情境引入 学习目标 1.了解直角三角形的判定条件（重点） 2.能够运用勾股数解决简单实际问题 （难点） 导入新课导入新课 问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住 绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第9个结,拉 紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第1个结处. 讲授新课讲授新课 勾股定理的逆定理 一 探究：下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17. 回答下列问题: 1.这三
2、组数都满足 a2+b2=c2吗？ 2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们 都是直角三角形吗？ 0 180 150 120 90 60 30 实验结果： 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; 8,15,17满足a2+b2=c2 ,可以构成直角三角形. 7 24 25 5 1312 17 8 15 思考：从上述问题中，能发现什么结论吗？ 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角 形是直角三角形. 有同学认为测量结果可能有误差,不同意 这个发现.你觉得这个发现正确吗?你能给 出一个更
3、有说服力的理由吗? ABC ABC ？ C是直角 ABC是直角三角形 A B C a b c 已知：如图，ABC的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2 求证：ABC是直角三角形 构造两直角边分别为 a,b的RtABC 证明结论 简要说明： 作一个直角MC1N， 在C1M上截取C1B1=a=CB, 在C1N上截取C1A1=b=CA, 连接A1B1. 在RtA1C1B1中，由勾股定理,得A1B12=a2+b2=AB2 . A1B1=AB ， ABC A1B1C1 . （SSS） C=C1=90， ABC是直角三角形. a c b A C B b a C1 M N B1 A1 勾股定理的逆定理 归
4、纳总结 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满 足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角 ，最长 边所对角为直角. 特别说明： 典例精析 例1：一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中A和DBC都应 为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,这个零件符合要 求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图1 图2 在BCD中， 所以BCD 是直角三角形，DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 解：在ABD
5、中， 所以ABD 是直角三角形，A是直角. 例2 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个 角是直角？ (1) a=15 ， b=8 ，c=17; 解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾股定理的逆 定理，这个三角形是直角三角形，且C是直角. (2) a=13 ， b=14 ， c=15; 解：因为132+142=365，152=225，所以132+142152，不符合勾股 定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形. (3) a:b: c=3:4:5; 解：设a=3k,b=4k,c=5k, 因为(3k)2+(4k)2=25k2,
6、(5k)2=25k2, 所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直 角三角形，C是直角. 根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小 边长的平方和是否等于最大边长的平方. 归纳 变式1： 已知ABC，AB=n -1，BC=2n，AC=n +1(n为 大于1的正整数).试问ABC是直角三角形吗？若是， 哪一条边所对的角是直角？请说明理由 解：AB +BC =(n -1) +(2n) =n4 -2n +1+4n =n4 +2n +1 =(n +1) =AC ， ABC直角三角形，边AC所对的角是直角. 先确定AB、BC、AC、 的大小
7、变式2： 若三角形ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断ABC的形状. 解： a2+b2+c2+50=6a+8b+10c a26a+9+b28b+16+c210c+25=0. 即 (a3) + (b4) + (c5) =0. a=3, b=4, c=5 即 a2+b2+c2. ABC直角三角形. 例3 在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE CB ，试判断AF与EF的 位置关系，并说明理由 解：AFEF.设正方形的边长为4a, 则ECa，BE3a，CFDF2a. 在RtABE中，得AE2AB2BE216a29a225a2. 在Rt
8、CEF中，得EF2CE2CF2a24a25a2. 在RtADF中，得AF2AD2DF216a24a220a2. 在AEF中，AE2EF2AF2， AEF为直角三角形，且AE为斜边 AFE90，即AFEF. 1 4 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c 那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 勾股数 二 概念学习 常见勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9， 40，41；10，24，26等等. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样 是勾股数. 例4：下列各组数是勾股
9、数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数， 再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 当堂练习当堂练习 1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是 ( ) A.3:4:7 B.5:12:13 C.1:2:4 D.1:3:5 2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到 的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 B A 4.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的三角
10、 形是直角三角形吗?为什么? 解：是直角三角形.因为a2+b2=c2满足勾股定理的逆定理. 3.以ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是 25, 144 , 169, 则这个三角形是_三角形. 直角 F E DA BC 5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？ 与你的同伴交流. 4 1 2 2 4 3 解:ABE，DEF，FCB均为直角 三角形. 由勾股定理知 BE2=22+42=20， EF2=22+12=5， BF2=32+42=25, BE2+EF2=BF2, BEF是直角三角形. 6.如图，四边形ABCD中，AB
11、AD，已知AD=3cm，AB=4cm， CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积. 解：连接BD. 在RtABD中,由勾股定理, 得 BD2=AB2+AD2，BD=5m， 又 CD=12cm，BC=13cm BC2=CD2+BD2，BDC是直角三角形. S四边形ABCD=SRtBCDSRtABD= BDCD ABAD = (51234)=24 m2 2 1 2 1 2 1 C B A D 变式：如图，在四边形ABCD中，ACDC，ADC的面积为30 cm2，DC 12 cm，AB3 cm，BC4 cm，求ABC的面积. 解: SACD=30 cm2，DC12 cm. AC=5 cm, 又 ABC是直角三角形, B是直角. D C B A 一定是直 角三角形 吗 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边 长a,b,c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形. 课堂小结课堂小结 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整 数
