1、7.4二项分布与超几何分布激趣诱思知识点拨孔子是我国古代著名的教育家、思想家,留下了许多至理名言,其中“三人行,必有我师焉”是我们大家都熟知的一句话.孔子的学问很高,但他也很谦虚,自称与任意两人(加上自己共三人)同行,则他们中间一定有一个人可以做自己的老师.这是孔子自谦的一句话,那么实际情况怎么样呢?我们不妨从概率的角度来看一下.激趣诱思知识点拨一、二项分布1.伯努利试验:我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.2.n重伯努利试验:我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.n重伯努利试验具有如下共同特征:(1)同一个伯努利试验重复做n次;(2)各次试验的结
2、果相互独立.激趣诱思知识点拨3.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作XB(n,p).4.二项分布的均值与方差(1)两点分布:若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)二项分布:若XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).激趣诱思知识点拨微练习同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次,设两枚硬币同时出现反面的次数为,则D()=()答案:A 激趣诱思知识点拨二
3、、超几何分布1.定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,r.其中n,N,MN*,MN,nN,m=max0,n-N+M,r=minn,M.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作XB(n,p).(1)求投篮1次时命中次数X的均值;(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即YB(5,0.变式训练3在一次抗洪抢险中,准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一
4、个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独立的,且命中的概率都是P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,n.随机变量的取值不同,两点分布随机变量的取值为0,1,二项分布中随机变量的取值为0,1,2,n.(1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为n重伯努利试验.(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子),求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率.(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;例3高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为 ,该研究性学习小组又
5、分成两个小组进行验证性试验.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率.(1)求油罐被引爆的概率;(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X,二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.n重伯努利试验概率的求法解:(1)投篮1次,命中次数X的分布列如下表.(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.随机变量的取值不同,两点分布随机变量的取值为0,1,二项分布中随机变量的取值为0,1,2,n.(2)二项分布:若XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(
6、1-p).在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量,求随机变量的分布列.(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.8,重复5次投篮,命中次数为X,命中一次得3分,求5次投篮得分的均值.(3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.“恰有2次准确”的概率为8),则E(X)=50.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.激趣诱思知识点拨微练习设10件产品中有3件次品、7件正品,现从中抽取5件,求抽得次品件数的分布列.解:由题意知服从参数N=10,M=3,n=5的超几何分布.的可能取值为0,1,2,3,则(1)
7、求取出的3个球的颜色都不相同的概率;第2步,利用对立事件求参加过培训的概率;(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.跟踪训练袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.(1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;典例某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率.P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,n.8,重复5次投篮,命中次数为X,命中一次得3分
8、,求5次投篮得分的均值.在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量,求随机变量的分布列.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.变式训练2某人投篮命中率为0.利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率.(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即YB(5,0.(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.在本例(2)的条件下,求甲、乙均击中目标1次的概率.相互独立事件和二项分布的综合应用(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒
9、种子),求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率.n重伯努利试验概率的求法相互独立事件和二项分布的综合应用解:设投篮得分为变量,则=3X.例4一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.4二项分布与超几何分布设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X,变式训练3在一次抗洪抢险中,准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独立的,且命中的概率都是解:由题意知服从参数N=10,M=3,n=5的超几何分布.激趣诱思知识点拨故随机变量的分
10、布列为 0123P探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测n重伯努利试验概率的求法例1甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 ,假设每次射击是否击中目标,相互之间没有影响.(结果需用分数作答)(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;(2)若两人各射击2次,求甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究 1.在本例(2)的条件下,求甲、乙均击中目标1次的概率.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.在本例(2)的条件下,求甲未击中,乙击中2次的概率.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反
11、思感悟 n重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为n重伯努利试验.(2)分拆:判断所求事件是否需要分拆.(3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后面第2位):(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率;(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)5次预报相当于5次伯努利试验.“恰有2次准确”的概率为因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“
12、5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.所以所求概率为1-P=1-0.006 720.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测两点分布与二项分布例2某运动员投篮命中率为p=0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的均值;(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的均值.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)投篮1次,命中次数X的分布列如下表.X01P0.40.6则E(X)=0.6.(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即YB(5,0.6),则E(Y)=50.6=3.探究一探究二探究三探
13、究四素养形成当堂检测反思感悟 1.常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率,则(1)两点分布E(X)=p;(2)二项分布E(X)=np.熟练应用上述公式可大大减少运算量,提高解题速度.2.两点分布与二项分布辨析(1)相同点:一次试验中要么发生,要么不发生.(2)不同点:随机变量的取值不同,两点分布随机变量的取值为0,1,二项分布中随机变量的取值为0,1,2,n.试验次数不同,两点分布一般只有一次试验,二项分布则进行n次试验.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2某人投篮命中率为0.8,重复5次投篮,命中次数为X,命中一次得3分,求5次投篮得分的均值.解:设投篮得分为变量,则=
14、3X.依题意,XB(5,0.8),则E(X)=50.8=4,故E()=3E(X)=12.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测二项分布的应用例3高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为 ,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验.(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子),求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率.(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子),如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验,否则将继续进行下次试验,直到种子发芽成功为止,但试验的次数最多不超过5次.求第二小组所做种子发芽试验的次数的分布列
15、.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)至少有3次发芽成功,即有3次、4次、5次发芽成功.设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 1.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量分析出随机变量服从二项分布找到参数n,p写出二项分布的分布列将k值代入求解概率.2.利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率.故随机变量的分布列为反思感悟 n
16、重伯努利试验概率求法的三个步骤二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的均值.第4步,利用二项分布求解分布列.解:由题意知服从参数N=10,M=3,n=5的超几何分布.(1)求油罐被引爆的概率;(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.(1)两点分布E(X)=p;在本例(2)的条件下,求甲、乙均击中目标1次的概率.(2)各次试验的结果相互独立.伯努利试验:我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.n重伯努利试验具有如下共同特征:如果随机变量X的分布
17、列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作XB(n,p).依题意,XB(5,0.(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;跟踪训练袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.8),则E(X)=50.例4一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.解:由题意知服从参数N=10,M=3,n=5的超几何分布.(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;(2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)=求解,也可以利用排列、组合及概率的知识求解,需注意借助公式求
18、解时应理解参数M,N,n,k的含义.的可能取值为0,1,2,3,则(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子),求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.在本例(2)的条件下,求甲、乙均击中目标1次的概率.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3在一次抗洪抢险中,准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独立的,且命中的概率都是(1)求油罐被引爆的概率;(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击
19、次数为X,求X不小于4的概率.(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X,(1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作XB(n,p).(1)两点分布E(X)=p;8),则E(X)=50.反思感悟 n重伯努利试验概率求法的三个步骤熟练应用上述公式可大大减少运算量,提高解题速度.一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为(1)辨模型:结合实际情境分析所求概率分布问题是否能转化为超几何分布模型.P(X=k)=p
20、k(1-p)n-k,k=0,1,2,n.(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;故随机变量的分布列为6),则E(Y)=50.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量分析出随机变量服从二项分布找到参数n,p写出二项分布的分布列将k值代入求解概率.定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.例4一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.故随机变量的分布列为二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.随机变量的取值不同,两点分布随机变量的取值为
21、0,1,二项分布中随机变量的取值为0,1,2,n.(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.(2)二项分布E(X)=np.这是孔子自谦的一句话,那么实际情况怎么样呢?我们不妨从概率的角度来看一下.现从袋中一次随机抽取3个球.4二项分布与超几何分布(1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为n重伯努利试验.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量分析出随机变量服从二项分布找到参数n,p写出二项分布的分布列将k值代入求解概率.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测超几何分布例4一个袋中装有
22、6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测所以X的分布列为 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究 1.在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量,求随机变量的分布列.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次,每次抽取1个球”,其他条件不变,结果又如何?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂
23、检测所以X的分布列为 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 超几何分布的求解步骤(1)辨模型:结合实际情境分析所求概率分布问题是否能转化为超几何分布模型.(2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)=求解,也可以利用排列、组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义.(3)列分布列:把求得的概率值通过表格表示出来.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测相互独立事件和二项分布的综合应用典例某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算
24、机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.(1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;(2)任选3名下岗人员,记为3人中参加过培训的人数,求的分布列.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件A,“该人参加过计算机培训”为事件B,由题设知,事件A与B相互独立,且P(A)=0.6,P(B)=0.75.所以该下岗人员没有参加过培训的概率是故该人参加过培训的概率为1-0.1=0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的,所以3人中参加过培训的人数0123P0.0010.0270.2430.729探
25、究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测方法点睛 第1步,利用事件的相互独立性分别找出参加两种培训对应的概率;第2步,利用对立事件求参加过培训的概率;第3步,判断参加培训人数服从二项分布;第4步,利用二项分布求解分布列.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测跟踪训练袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.有放回抽样时,求取到黑球的个数X的分布列.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测X的分布列为 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.(2020湖南长沙高二月考)一工厂生产100个产品中有90个一等品、10个二等品,现从这批产品中抽取4个,则其中恰好有一个二等品的概率为()答案:D 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:C 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测
