1、 - 1 - 河北省衡水中学滁州分校 2017-2018学年下学期第一次月考试卷 高二理科数学 注意事项： 1你现在拿到的这份试卷是满分 150分，作答时间为 120分钟 2答题前请在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 3请将答案正确填写在答题卡上 第 I卷（选择题 60分 ） 一、选择题 (本大题共 12个小题，共 60分。 ) 1.下列判断错误的是（ ） A. 命题 “ 若 ，则 ” 是假命题 B. 直线 不能作为函数 图象的切线 C. “ 若 ，则直线 和直线 互相垂直 ” 的逆否命题为真命题 D. “ ” 是 “ 函数 在 处取得极值 ” 的充分不必要条件 2.曲线 (e为自然
2、对数的底数 )在点 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3.若 ，则 等于（ ） A.-2 B.-4 C.2 D.0 4.若函数 的导函数 则函数 的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5.设函数 ， 的导函数为 ， 且 ， ， 则下列不等式成立的是（注： e为自然对数的底数 ）（ ） A. B. C. D. - 2 - 6.已知函数， 图像的最高点从左到右依次记为,函数 的图像与 轴的交点从左到右依次记为 ， 设， 则 ( ) A. B.- C. D.- 7.函数 ? ? lnf x x? 的图像在点 ? ?1, 1f 处的切线的斜率等于（ ） A. 1e B. 1 C.
3、 e D. 2e 8.已知 f（ x）是定义在区间（ 0， + ）内的单调函数，且对 ? x （ 0， ），都有 ff（ x） lnx=e+1，设 f （ x）为 f（ x）的导函数，则函数 g（ x） =f（ x） f （ x）的零点个数为（ ） A.0 B.l C.2 D.3 9.已知函数 ? ? ? ? ? ?l n , 2 3f x x g x m x n? ? ? ?，若对任意的 ? ?0,x? ? ,总有 ? ? ? ?f x g x?恒成立，记 ? ?23mn? 的最小值为 ? ?,f mn ，则 ? ?,f mn 最大值为（ ） A. 1 B. 1e C. 21eD. 1e10
4、.已知函数 ? ? 32f x ax bx cx d? ? ? ?的图象如图所示，则 12ba? 的取值范围是 ( ) A. 21,52?B. 13,22?C. 35,22?D. 31,22?11.已知数列 ? ? ?,nnab满足1 1 ,12 nna a b? ? ?， 1 21 nn nbb a? ? ?，则 2017b ? （ ） - 3 - A. 20172018 B. 20182017 C. 20152016 D. 20162015 12.图一是美丽的 “ 勾股树 ” ，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到图二是第 1代 “ 勾股树 ” ，重复图二的作法，得到图三为
5、第 2 代 “ 勾股树 ” ，以此类推，已知最大的正方形面积为 1，则第 n 代 “ 勾股树 ” 所有正方形的个数与面积的和分别为（ ） A. 2 1;n n? B. 2 1; 1n n? C. 12 1;n n? ? D. 12 1; 1n n? ? 第 II 卷（非选择题 90 分） 二、填空题 (本大题共 4 个小题，共 20分。 ) 13.在平面直角坐标系 xOy中，函数 f（ x） =asinax+cosax（ a 0）在一个最小正周期长的区间上的图象与函数 的图象所围成的封闭图形的面积是 14.函数 ? ? lnf x x? 在 1x? 处的切线方程是 _ 15.已知函数 ? ?
6、s in c o s2f x x f x? ?，若 04f ?，则2f ?_ 16.若定义在 ? ?1,? ? 上的函数 ? ? 221 , 1 1 4 3 , 1xxfx x x x? ? ? ? ? ? ?，则 ? ?31f x dx? _ 三、解答题 (本大题共 6 个小题，共 70分。 ) 17.设 f（ x） =（ lnx） ln（ 1 x） （ 1）求函数 y=f（ x）的图象在（ ， f（ ）处的切线方程； （ 2）求函数 y=f （ x）的零点 - 4 - 18.已知函数 f（ x） = 在点（ 1， f（ 1）处的切线与 x轴平行 （ 1）求实数 a的值及 f（ x）的极值；
7、 （ 2）若对任意 x1 ， x2 e2 ， + ），有 | | ，求实数 k的取值范围 19.通过计算可得下列等式： 将以上各式分别相加得： ? ? ? ?2 21 1 2 1 2 3n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? 即： ? ?11 2 3 2nnn ? ? ? ? ? 类比上述求法：请你求出 2 2 2 21 2 3 n? ? ? ?的值 . 20.已知1 14a?， 11 22 nnnaa ?（ 2n? ） （ 1）计算这个数列前 4项，并归纳该数列一个通项公式。 （ 2）用数学归纳法证明上述归纳的通项公式 21.已知函数 ， a为正常数 （ 1）若 f（ x） =lnx+
8、 （ x）， 且 ，求函数 f（ x）的单调增区间； （ 2）若 g（ x） =|lnx|+ （ x），且对任意 x1 ， x2 （ 0， 2， x1x 2 ， 都有 ，求 a的取值范围 22.已知数列 ， ， ， ， 为该数列的前 项和 - 5 - （ 1）计算 ； （ 2）根据计算结果，猜想 的表达式，并用数学归纳法证明 - 6 - 滁州分校 2017-2018学年上学期第一次月考试卷 高二理科数学参考答案 一、选择题 (本大题共 12个小题，共 60分。 ) 1.D 2.A 3.C 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.D 11.A 12.D 二、填空题 (本大题共 4
9、个小题，共 20分。 ) 13. 14. 1yx? 15. 12f ?16. 423? 三、解答题 (本大题共 6 个小题，共 70分。 ) 17.（ 1）解： f （ x） = ， 故 f（ ） =ln2 ， f （ ） =0， 故切线方程是： y=ln2 （ 2）解：由（ 1）得，令 f （ x） =0，即（ 1 x） ln（ 1 x） xlnx=0， 令 h（ x） =（ 1 x） ln（ 1 x） xlnx，（ 0 x 1）， 则 h （ x） =lnx（ 1 x）， h （ x） = ， 令 h （ x） 0， 解得： 0 x ， 令 h （ x） 0，解得： x ， 故 h （ x
10、）在（ 0， ）递增，在（ ， + ）递减， 故 h （ x） h （ ） =ln 0， 故 h（ x）在（ 0， 1）递减， - 7 - 而 h（ ） =0， 故 h（ x）在（ 0， 1）的零点是 x= 18.（ 1）解： 函数 f（ x） = ， ， 令 f（ 1） =0， =0， 解得 a=1； 令 f （ x） =0，则 lnx=0， 解得 x=1， 即 f（ x）有极大值为 f（ 1） =1 （ 2）解：由 | | ，可得 ， 令 ， 则 g（ x） =x xlnx，其中 x （ 0， e 2， g（ x） = lnx，又 x （ 0， e 2，则 g（ x） = lnx2 ， 即
11、 ， 因此实数 k的取值范围是（ ， 2 19. 【解析】 3 3 22 1 3 1 3 1 1? ? ? ? ? ? 3 3 23 2 3 2 3 2 1? ? ? ? ? ? 3 3 24 3 3 3 3 3 1? ? ? ? ? ? ? ?3 321 3 3 1n n n n? ? ? ? ? ? ? 将以上各式分别相加得： ? ? ? ? ? ?3 3 2 2 2 21 1 3 1 2 3 3 1 2 3n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以： ? ? 32 2 2 2 111 2 3 1 1 332 nn n n n? ? ? ? ? ? ? ?
12、? ? ?1 1 2 16 n n n? ? ? 20.（ 1）1212n nna ?（ 2）见解析 【解析】（ 1）1 2 3 41 3 5 7, , ,4 8 1 6 3 2a a a a? ? ? ?，归纳1212n nna ?（ 2）当 n=1时，显然成立； - 8 - 假设 nk? 命题成立，即1212k kka ?，则 ? ? ?1 11 112 1 11 2 1 12 2 2 2k kk kkka ? ? ? ? ? ?所以当 n=k+1时，命题也成立 故，对任意的 nN? ， 1212n nna ?恒成立 21.（ 1）解： ， ，令 f （ x） 0，得 x 2，或 ， 函数
13、 f（ x）的单调增区间为 ，（ 2， + ） （ 2）解： ， ， ， 设 h（ x） =g（ x） +x，依题意， h（ x）在（ 0， 2上是减函数 当 1x2 时， ， ， 令 h （ x） 0 ，得： 对 x 1， 2恒成立， 设 ，则 ， 1x2 ， ， m（ x）在 1， 2上递增，则当 x=2时， m（ x）有最大值为 ， - 9 - 当 0 x 1时， ， ， 令 h （ x） 0 ，得： ， 设 ，则 ， t（ x）在（ 0， 1）上是增函数， t（ x） t（ 1） =0， a0 综上所述， 22.(1) (2) ，证明见解析 . 【解析】 （ 1） （ 2）猜想 ， 用数学归纳法证明如下： 当 时， ，猜想成立； 假设当 时，猜想成立，即 ， 当 时， 故当 时，猜想成立 - 10 - 由 可知，对于任意的 ， 都成立 -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！
