1、18.2.3 正方形正方形 一、教学目的一、教学目的 1掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算 2理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、 矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力 二、重点、难点二、重点、难点 1教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系 2教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用 三、例题的意三、例题的意图分析图分析 本节课安排了三个例题，例 1 是教材 P111 的例 4，例 2 与例 3 都是补充的题目其中 例 1 与例 2 是正方形性质的应用，
2、在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质例 3 是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个 四边形是正方形随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习 1） ，为了活跃 学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考： 对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？ 对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？ 对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？ 能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？ 说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？ 四、课堂引入四、课堂引入 1做一做做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形
3、学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的 关系问题：什么样的四边形是正方形？ 正方形定义：有一组邻边相等 并且有一个角是直角 的平行四边形 叫做正方形正方形 指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意： （1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） （2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形） 2 【问题】正方形有什么性质？ 由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角 的菱形 所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质 五、例习题分析五、例习题分析 例例 1（教材 P111 的例 4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成
4、四个全等的等腰直 角三角形 已知： 四边形 ABCD 是正方形， 对角线 AC、 BD 相交于点 O （如图） 求证： ABO、 BCO、 CDO、 DAO 是全等的等腰直角三角形 证明证明： 四边形 ABCD 是正方形， AC=BD， ACBD， AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分） ABO、 BCO、 CDO、 DAO 都是等腰直角三角形， 并且 ABO BCOCDODAO 例例 2 （补充）已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 O，E 是 OB 上的一点，DGAE 于 G，DG 交 OA 于 F 求证：OE=OF 分析：要证明 OE=OF，只需证
5、明AEODFO，由于正方 形的对角线垂直平分且相等，可以得到AOE=DOF=90 ， AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO， 根据 ASA 可以得到这两个三角形全等，故结论可得 证明： 四边形 ABCD 是正方形， AOE=DOF=90 ，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等） 又 DGAE， EAO+AEO=EDG+AEO=90 EAO=FDO AEO DFO OE=OF 例例 3 （补充）已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A、C 两点作 l1l2，作 BMl1于 M，DNl1于 N，直线 MB、DN 分别交 l2于 Q、P 点 求证：四边形 PQM
6、N 是正方形 分析：由已知可以证出四边形 PQMN 是矩形，再证ABM DAN，证出 AM=DN，用同样的方法证 AN=DP即可证出 MN=NP从而得出结论 证明：证明： PNl1，QMl1， PNQM，PNM=90 PQNM， 四边形 PQMN 是矩形 四边形 ABCD 是正方形 BAD=ADC=90 ，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角） 1+2=90 又 3+2=90 ， 1=3 ABMDAN AM=DN 同理 AN=DP AM+AN=DN+DP 即 MN=PN 四边形 PQMN 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形） 六、随堂练习六、随堂练习 1正方形的四条边_
7、_，四个角_ _，两条对角线_ _ 2下列说法是否正确，并说明理由 对角线相等的菱形是正方形； （ ） 对角线互相垂直的矩形是正方形； （ ） 对角线垂直且相等的四边形是正方形； （ ） 四条边都相等的四边形是正方形； （ ） 四个角相等的四边形是正方形（ ） 1 已知：如图，四边形 ABCD 为正方形，E、F 分别 为 CD、CB 延长线上的点，且 DEBF 求证：AFEAEF 4如图，E 为正方形 ABCD 内一点，且EBC 是等边三角形， 求EAD 与ECD 的度数 七、课后练习七、课后练习 1已知：如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点，点 F 是 CB 的延长线上一点，且 DE=BF 求证：EAAF 2已知：如图， ABC 中，C=90 ，CD 平分ACB，DEBC 于 E，DFAC 于 F求证：四边形 CFDE 是正方形 3已知：如图，正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，AF 平分DAE 交 CD 于 F，求证：AE=BE+DF A B C D E F
