1、 1 圆第一圆第一节节 垂直于弦的直径导垂直于弦的直径导学学案案 1 主编人： 主审人： 班级： 学号： 姓名： 学习目标： 【知识与技能】【知识与技能】 1 理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论 2 学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题 3 了解拱高、弦心距等概念 【过程与方法】【过程与方法】 经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法 【情感、态度与价值观】【情感、态度与价值观】 在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培养学生的 新意识，良好的运用数学 【重点】【重点】 垂径定理及其推论
2、【难点】【难点】 垂径定理及其推论 学习过程: 一、自主学习一、自主学习 （一）复习巩固 判断： 1、直径是弦，弦是直径。 （ ） 2、半圆是弧，弧是半圆。 （ ） 3、周长相等的两个圆是等圆。 （ ） 4、长度相等的两条弧是等弧。 （ ） 5、同一条弦所对的两条弧是等弧。 （ ） 6、在同圆中，优弧一定比劣弧长。 （ ） 7、请在图上画出弦 CD，直径 AB.并说明_叫做弦； _ 叫做直径. 8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出概念及表示方法.弧：_ _ 半圆：_ 优弧：_ _ 表示方法：_ 劣弧：_ _,表示方法：_ 9、同心圆: _ _ _等圆: _ _. 10、同圆或等圆的半径_.
3、等弧: _ （二）自主探究 请同学按下面要求完成下题： 如图，AB 是O 的一条弦，作直径 CD，使 CDAB，垂足为 M （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ 2 BA C D O M 圆是圆是 对称图形，其对称轴是任意一条过对称图形，其对称轴是任意一条过 的直线的直线 （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 相等的线段： 相等的弧： 这样，我们就得到垂径定理垂径定理： 垂直于垂直于 的直径平分弦，并且平分弦所对的两条的直径平分弦，并且平分弦所对的两条 表达式：表达式： 下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径 CD、弦 AB 且 CDAB 垂足为 M 求证：AM
4、=BM，弧 AC=BC，弧 AD=BD. 分析：要证 AM=BM，只要证 AM、BM 构成的两个三角形全等因此，只要连结 OA、 OB 或 AC、BC 即可 证明：如图，连结 OA、OB，则 OA=OB 在 RtOAM 和 RtOBM 中 RtOAMRtOBM( ) AM= 点 和点 关于 CD 对称 O 关于 CD 对称 当圆沿着直线 CD 对折时，点 A 与点 B 重合，弧AC与BC重合，AD与CD重合 ， ， 进一步，我们还可以得到结论： 平分弦（平分弦（ ）的直径垂直于）的直径垂直于 ，并且平分弦所对的两条，并且平分弦所对的两条 表达式：表达式： （三） 、归纳总结： 1圆是 图形，任
5、何一条 所在直线都是它的对称轴 2垂径定理 推论 （四）自我尝试： 1、辨析题：下列各图，能否得到 AE=BE 的结论？为什么？ BA C O M D A B C D O E A B O E A B O E D A B O E D 3 CBD O A 2、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37.4m，拱高（弧的中点到 弦的距离）为 7.2m，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？ 注：在半径 r,弦 a，弦心距 d,拱高 h 四个量中，任意知道其中的 个量中， 利用 定理，就可以求出其余的量。 3、如图，两圆都以点 O 为圆心，求证 AC=BD 二、教师点二、教师点拔拔 1、圆是轴
6、对称图形，经过圆心的 都是它的对称轴。由此可得出垂径定理：垂直 于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧。平分弦（不是直径）的直径 于弦， 并且 弦所对的两条弧。如果具备垂径定理五个条件中的任何两个，那么也就具备其 他三个及其推论，可以概括如下，对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备 经 过圆心， 垂直于弦， 平分弦（不是直径） ，平分弦所对的优弧，平分弦所对的 劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备了其他三个。在圆的有关计算和证明中，常 作圆心到 的垂线段，这样不仅为利用垂径定理创造条件，而且为构造直角三角形利用 勾股定理，沟通已知与未知量之间的关系创造条件。 2、本节学习的数学方法是数形
7、结合和转化思想。 三、课堂检测三、课堂检测 1、如图，在O 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm，求O 的半径。 O A B E R E D B A C 4 C E D O F 2、如图，在O 中，AB，AC 为互相垂直且相等的两条弦，ODAB 于 D，OEAC 于 E，求 证四边形 ADOE 是正方形。 四、课外四、课外训练训练 1P 为O 内一点，OP=3cm，O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_；最长 弦长为_ 2如图 5，OE、OF 分别为O 的弦 AB、CD 的弦心距，如果 OE=OF，那么_（只需写 一个正确的结论） (5) （6） 3如图 6，O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，DEB=30，则弦 CD 长 4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中 CD，点 O 是 CD 弧所在圆的圆心，其中 CD=300m，E 为 CD 弧上一点，且 OECD，垂足为 F，EF=45m，求这段弯路的半径 5.AB 和 CD 分别是O 上的两条弦，圆心 O 到它们的距离分别是 OM 和 ON，如果 ABCD，OM 和 ON 的大小有什么关系？为什么？ B A C E D O B A C E D O F O B A C E D M M O A B C D
