1、2.1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布第一页，编辑于星期五：十点 二十八分。引言：n有一个颠扑不破的真理，那就是当我们不有一个颠扑不破的真理，那就是当我们不能确定什么是真的时，我们就应该去探求能确定什么是真的时，我们就应该去探求什么是最可能的。什么是最可能的。笛卡尔笛卡尔可能性的大小？-概率第二页，编辑于星期五：十点 二十八分。定义定义3：在一定条件下可能发生也可能不发生在一定条件下可能发生也可能不发生 的事件叫的事件叫随机事件随机事件。定义定义1：在一定条件下必然要发生的事件叫在一定条件下必然要发生的事件叫 必然事件必然事件。定义定义2：在一定条件下不可能发生的事件叫在一定条件下不
2、可能发生的事件叫 不可能事件不可能事件。按事件结果发生与否来进行分类按事件结果发生与否来进行分类:P=1P=00P1回忆：在必修回忆：在必修3中已学过：中已学过：第三页，编辑于星期五：十点 二十八分。求一个事件概率的根本方法是通过大量的重复试验。求一个事件概率的根本方法是通过大量的重复试验。事件事件A的概率的概率：一般地，在大量重复进行同一试验一般地，在大量重复进行同一试验时，事件时，事件A发生的频率发生的频率 m/n 总是接近于某个常数，总是接近于某个常数，在它附近摆动。这个常数叫做事件在它附近摆动。这个常数叫做事件 A 的概率，记作的概率，记作 P(A)。当频率在某个常数附近摆动时，这个常
3、数叫做事件当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件A A的的概率概率概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。概率反映了随机事件发生的可能性的大小。概率反映了随机事件发生的可能性的大小。随机事件随机事件A A在在n n次试验中发生次试验中发生m m次，那么次，那么0m n0m n 因此因此 0P0PA A1 1 。必然事件的概率是必然事件的概率是1 1，不可能事件的概率是，不可能事件的概率是0 0第四页，编辑于星期五：十点 二十八分。1、古典概率、古典概率()mPAn()dP AD的测度的测度2、几何概型、几何概型3、互、互 斥斥 事事 件件如果事
4、件如果事件A、B互斥，那么互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)第五页，编辑于星期五：十点 二十八分。引例1、在一块地里种下、在一块地里种下10棵树苗，成活的树棵树苗，成活的树苗数苗数X是是0,1，2，10;X=0,表示成活棵；表示成活棵；X=,表示成活棵；表示成活棵；X=,表示成活棵；表示成活棵；X,表示什么意思？表示什么意思？随机事件随机事件变量变量随机事件随机事件随机事件随机事件随机事件随机事件变量变量变量变量变量变量第六页，编辑于星期五：十点 二十八分。2、在掷骰子试验中在掷骰子试验中,结果可用结果可用1,2,3,4,5,6来表示；来表示；用 表示掷出的点数1,表示掷出的点数为1;
5、2,表示掷出的点数为2;3,表示掷出的点数为3;.第七页，编辑于星期五：十点 二十八分。3、新生婴儿的性别，抽查的结果可能是、新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女，如果用男，也可能是女，如果用0表示男婴，用表示男婴，用1表示女婴，那么抽查的结果表示女婴，那么抽查的结果Z是是0与与1中的中的某个数某个数.，表示新生婴儿是男婴；，表示新生婴儿是男婴；，表示新生婴儿是女婴，表示新生婴儿是女婴第八页，编辑于星期五：十点 二十八分。一般地，如果随机试验的结果，可以用一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量,(X Y
6、Z 通常用大写拉丁字母或小写希腊字母等表示而用小写拉丁字母x,y,z加上适当下标)表示随机变量取的可能值.每个每个 随机试验的根本领件都对应一个确定的实数，随机试验的根本领件都对应一个确定的实数，即在试验结果样本点与实数之间建立了一个映射。即在试验结果样本点与实数之间建立了一个映射。第九页，编辑于星期五：十点 二十八分。根本领件的变量化n课本例课本例1n1掷一枚质地均匀的硬币一次，用掷一枚质地均匀的硬币一次，用X表表示掷得正面的次数，那么随机变量示掷得正面的次数，那么随机变量X的可的可能取值有哪些？能取值有哪些？第十页，编辑于星期五：十点 二十八分。随机变量的概率n随机事件随机事件“掷一枚硬币
7、，反面向上可用随机掷一枚硬币，反面向上可用随机变量简单表示为变量简单表示为X=0。其概率为。其概率为:nP(X=0)=P掷一枚硬币，反面向上掷一枚硬币，反面向上=0.5n简记为简记为P(X=0)=0.5nX=1的概率可以表示为的概率可以表示为:nP(X=1)=P掷一枚硬币，正面向上掷一枚硬币，正面向上=0.5n简记为简记为P(X=1)=0.5n故随机变量故随机变量X的取值构成集合的取值构成集合0，1第十一页，编辑于星期五：十点 二十八分。n2一实验箱中装有标号为一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记的五只白鼠，从中任取一只，记取到白鼠的标号为取到白鼠的标号为Y，那么
8、随机变量，那么随机变量Y的可能取值有哪些？的可能取值有哪些？解：随机变量解：随机变量Y可能值有可能值有4种，它的取值集合种，它的取值集合 为为1，2，3，4第十二页，编辑于星期五：十点 二十八分。概率分布列n一般地，假定随机变量一般地，假定随机变量X有有n个不同的取值，个不同的取值，它们分别是它们分别是x1,x2,xn且且nP(X=xi)=pi,i=1,2,nn那么称为随机变量那么称为随机变量X 的分布列，简称为的分布列，简称为X的分的分布列，也可以用表格表示布列，也可以用表格表示Xx1x2xnPP1,p2pn此表叫概率分布表，它和分布列都叫此表叫概率分布表，它和分布列都叫做概率分布。做概率分
9、布。可以一一列出，也可写出通项可以一一列出，也可写出通项第十三页，编辑于星期五：十点 二十八分。Pi的性质n1Pi0(i=1,2,n)n2P1+p2+pn=1第十四页，编辑于星期五：十点 二十八分。课本例课本例2:从装有从装有6只白球和只白球和4 只红球的口只红球的口袋中任取一只白球，用袋中任取一只白球，用X表示表示“取到的取到的白球个数，即白球个数，即X1 当取到白球时,0 当取到红球时,求随机变量求随机变量X的概率分布的概率分布PX=0=PX=1=第十五页，编辑于星期五：十点 二十八分。课本例课本例3、同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝、同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两
10、颗骰子出现的最大上一面出现的点数，求两颗骰子出现的最大点数点数X的概率分布，并求的概率分布，并求X大于大于2小于小于5的概率的概率P(2X5).X的值 出现的点情况数1 （1，1）12 （2，2）（）（2，1）（）（1，2）33 （3，3）（）（3，2）（）（3，1）（）（2，3）（）（1，3）54 （4，4）（）（4，3）（）（4，2）（）（4，1）（）（3，4）（）（2，4）（）（1，4）75（5，5）（）（5，4）（）（5，3）（）（5，2）（）（5，1）（）（4，5）（）（3，5）（2，5）（）（1，5）96（6，6）（）（6，5）（）（6，4）（）（6，3）（）（6，2）（）（6，1
11、）（）（5，6）（）（4，6）（3，6）（）（2，6）（）（1，6）11第十六页，编辑于星期五：十点 二十八分。变式：上式中求变式：上式中求“两颗骰子出现的最小点两颗骰子出现的最小点 数数X的概率分布的概率分布X的值 出现的点情况数1（1，1）（1，2）（）（1，3）（）（1，4）（）（1，5）（）（1，6）（）（2，1）（）（3，1）（）（4，1）（）（5，1）（）（6，1）112（2，2）（）（2，3）（）（2，4）（）（2，5）（）（2，6）（）（3，2）（）（4，2）（）（5，2）（）（6，2）93 （3，3）（）（3，4）（）（3，5）（）（3，6）（）（4，3）（）（5，3）（）（
12、6，3)74 （4，4）（）（4，5）（）（4，6）（）（5，4）（）（6，4）55 （5，5）（）（5，6）（）（6，5）36 (6,6)1第十七页，编辑于星期五：十点 二十八分。设箱中有设箱中有1010个球，其中有个球，其中有2 2个红球，个红球，8 8个白个白球；从中任意抽取球；从中任意抽取2 2个个,观察抽球结果。观察抽球结果。特点特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了试验结果数量化了，试验结果与数建立了 对应关系对应关系第十八页，编辑于星期五：十点 二十八分。练习练习1 1、设设X的分布列为的分布列为求求 P(0X2)P(0X2)=PX=1+PX=2 =1/2+1/6=2/3解解
13、 第十九页，编辑于星期五：十点 二十八分。=P(抽得的两件全为次品抽得的两件全为次品)2 2 设有一批产品设有一批产品2020件，其中有件，其中有3 3件次品，从中任意抽件次品，从中任意抽取取2 2件，如果用件，如果用X X表示取得的次品数，求随机变量表示取得的次品数，求随机变量X X的分布律及事件的分布律及事件“至少抽得一件次品至少抽得一件次品的概率。的概率。解解X的可能取值为的可能取值为 0，1，2=P(抽得的两件全为正品抽得的两件全为正品)190136220217 CCPX=1PX=21131722051190C CC 232203190CC =P(只有一件为次品只有一件为次品)PX=0第二十页，编辑于星期五：十点 二十八分。故故 X X的分布律为的分布律为kp190136190511903而而“至少抽得一件次品至少抽得一件次品=X1=X1=X=1X=1 X=2X=2PX1=PX=1+PX=2PX1=PX=1+PX=2注意：注意：X=1X=1与与 X=2X=2是互不相容的是互不相容的！952719054190319051故故第二十一页，编辑于星期五：十点 二十八分。
