新人教A版高中数学必修一《4.5.2用二分法求方程的近似解》教案及课件.zip

4.5.2 用二分法求方程的近似解(人教 A 版普通高中教科书数学必修第一册第四章)一、教学目标一、教学目标1.探索用二分法求方程近似解的思路.2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.3.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.4.通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼进”的方法，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.二、教学重难点二、教学重难点重点：重点：利用二分法求方程的近似解；难点：难点：利用二分法求方程的近似解三、教学过程三、教学过程1.二分法的形成1.二分法的形成1.1 创设情境，引发思考1.1 创设情境，引发思考【实际情境】【实际情境】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条 10 km 长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10 km 长的线路大约有 200 多根电线杆子.如图所示，他首先从中点 C 查，用随身带的话机向两端测试时，若发现 AC 段正常，则可断定故障在 BC 段，再到 BC 段中点 D，这次若发现 BD 段正常，则故障在 CD 段，再到 CD中点 E 来查.每查一次，可以把待查的线段缩减一半.问题 1：上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？【预设的答案】取中间、减半等。问题 2：如果把故障可能发生的范围缩小在 200 m 左右，至多需要爬几次电线杆子？【预设的答案】6【设计意图】通过实例让学生初步接触二分法，了解二分法的一般步骤，让学生感知“生活处处是数学”。1.2 探究典例，形成概念1.2 探究典例，形成概念活动活动：能否求出方程 lnx2x6=0 的近似解？【活动预设】让学生自由发言，教师不做判断。引导学生进一步观察，研探。【设计意图】为引入二分法及一般步骤做铺垫.一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。取区间（2，3）的中点 2.5，用计算器算得 f(2.5)0.084,因为 f(2.5)f(3)0,所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点 2.75，用计算器算得 f(2.75)0.512,因为 f(2.75)f(2.5)0,所以零点在（2.5，2.75）内；由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如，当精确度为 0.01 时，由于2.53906252.53125=0.00781250.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=lnx2x6零点的近似值，也就是方程lnx2x6=0近似值。2、教师讲授2、教师讲授2.1 二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2.2 初步应用，理解概念题型一题型一:二分法概念的理解二分法概念的理解【例 1】下列函数中不能用二分法求零点的是()【答案】B【训练】已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A.4，4 B.3，4C.5，4 D.4，3【答案】D【设计意图】理解二分法的适用条件，且不是所有零点都可以用二分法估计。【归纳总结】用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下：第一步，确定区间a，b，验证 f(a)f(b)0，给定精确度.第二步，求区间(a，b)的中点c.第三步，计算 f(c)：(1)若 f(c)0，则c就是函数的零点；(2)若 f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；(3)若 f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)第四步，判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值 a(或 b)，否则重复第二至四步题型二:用二分法求方程的近似解题型二:用二分法求方程的近似解【例 2】借助计算器或计算机用二分法求方程732 xx的近似解（精确度为 0.1）【设计意图】让学生规范应用二分法的步骤解决问题。【训练】用二分法求函数 f(x)x3x1 在区间1，1.5内的一个零点(精确度 0.01).解：经计算，f(1)0，所以函数在1，1.5内存在零点 x0.取区间(1，1.5)的中点 x11.25，经计算 f(1.25)0，因为 f(1.25)f(1.5)0，所以 x0(1.25，1.5).如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：(a，b)(a，b)的中点中点函数值符号(1，1.5)1.25f(1.25)0(1.25，1.375)1.312 5f(1.312 5)0(1.312 5，1.343 75)1.328 125f(1.328 125)0(1.312 5，1.328 125)1.320 312 5f(1.320 312 5)0因为|1.328 1251.320 312 5|0.007 812 50.01，所以函数 f(x)x3x1 的一个精确度为 0.01的近似零点可取为 1.328 125.2.3.归纳小结2.3.归纳小结1、二分法的定义2、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤。【设计意图】（1）梳理本节课对于二分法的认知；（2）进一步让学生熟悉二分法、掌握二分法的一般步骤.四、课外作业四、课外作业1 已知函数 22log6f xxx，用二分法求 f x的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（）A1,2B2,2.5C2.5,3D3,3.52下列函数中不能用二分法求零点的是（）A 43f xxB ln28f xxxC sin1f xxD 231fxxx3用二分法求函数 ln11f xxx在区间0,1上的零点，要求精确度为 0.01 时，所需二分区间的次数最少为（）A6B7C8D94下列函数图象均与x轴有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的函数有（）A0个B1个C2个D3个5已知方程lg3xx的根在区间2,3上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为_6在用二分法求函数 f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)0，f(0.72)0，f(0.68)0，则函数的一个精确到 0.1 的正实数零点的近似值为_7方程310 xx 在1,0 x 上的近似解为_(精确到 0.01)8若函数 24f xxxm存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数m的取值是_答案：1C 2C 3B 4C52.5,3 60.7 70.75x 844.5.24.5.2用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解函数零点存在性原理函数零点存在性原理一、复习一、复习 如果函数如果函数 y=f(x)在在a,b上上,图象是图象是连续连续的，并且在闭区的，并且在闭区间的两个端点上的函数值符号间的两个端点上的函数值符号 互异互异即即f(a)f(b)0,且是且是单单调调函数函数,那么这个函数在那么这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点内必有唯一的一个零点.探究一探究一 在一个风雨交加的夜里，从在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条线路发生了故障，这是一条1010km长的路线，如果沿着线路一小段长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多一小段查找，困难很多.每查一每查一个点要爬一次电线杆子，个点要爬一次电线杆子，1010km长长的线路大约有的线路大约有200200多根电线杆子多根电线杆子.如图如图,设水库闸房和指挥部分别是设水库闸房和指挥部分别是A,BA,B；AB首先从中点C开始检查，用随身携带的仪器向两端发射信号进行测试，若发现AC正常，断定故障在BC段；C再取BC的中点D,若发现BD正常，断定故障在CD段；D依次下去，可以把待检查的路线减半。探究一探究一 问题问题1：上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？问题问题2 2：如果把故障可能发生的范围缩小在如果把故障可能发生的范围缩小在200200m左右，至多需要爬几左右，至多需要爬几次电线杆子？次电线杆子？取中间、减半。6次探究二探究二 能否求出方程能否求出方程lnx+2x-6=0 的近似解的近似解?注：大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求精确解，在实际问题中，往往只需要求出满足一定精度的近似解。探究:用二分法探求方程的近似解（1）函数 在区间（2,3）内有零点；（2）如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；（3）通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围；（4）取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f（2.5）-0.084，因为f（2.5）f（3）0，所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f（2.75）0.512，因为 f（2.5）f（2.75）0，所以零点在区间（2.5，2.75）内.（5）由于（2，3）（2.5，3）(2.5，2.75），所以零点所在的范围变小了如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小（如下表）.零点所在区零点所在区间中点的中点的值中点函数近似中点函数近似值（2,3）2.5-0.084（2.5,3）2.750.512（2.5,2.75）2.6250.215（2.5,2.625）2.56250.066（2.5,2.5625）2.53125-0.009（2.53125,2.5625）2.5468750.029（2.53125,2.546875）2.53906250.010（2.53125,2.5390625）2.535156250.001（6）例如，当精确度为0.01时，由于 =0.00781250.01，所以，我们可以将 x=2.531 25作为函数f（x）=Inx+2x-6零点的近似值，也即方程lnx+2x-6=0的近似解。对于在区间a,b上图象连续不断且f（a）f（b）0的函数y=f（x），通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二分法.二分法的概念例例1 1：下列函数中不能用二分法求零点的是：下列函数中不能用二分法求零点的是 .BD【训练】已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A.4，4 B.3，4C.5，4 D.4，3二分法的解题步骤二分法的解题步骤给定精确度 ,用二分法求函数y=f（x）零点x0的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点x0的初始区间a,b,验证f（a）f（b）0；（2）求区间（a，b）的中点c；（3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：若f（c）=0（此时x0=c），则c就是函数的零点，若f（a）f（c）0（此时x0（a，c），则令b=c，若f（c）f（b）0（此时x0（c，b）.则令a=c；（4）判断是否达到精确度：若 ，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）（4）.定区定区间，找中点，找中点，中中值计算看两算看两边。例2:借助计算器或计算机用二分法求方程 的近似解（精确度为0.1）.解：原方程即 ,令f（x）=，用信息技术画出函数 y=f（x）的图象（如图），并列出它的对应值表（如下表）.x012345678y-6-2310214075 142 273 观察图或表，可知f（1）f（2）0，说明这个函数在区间（1，2）内存在零点x0.取区间（1，2）的中点 ，用计算器算得f（1.5）0.33.因为f（1）f（1.5）0，所以 .再取区间（1，1.5）的中点 ，用计算器算得f（1.25）-0.87.因为f（1.25）f（1.5）0，所以x0（1.25，1.5）.同理可得x0（1.375，1.5），x0（1.375，1.437 5）.由于|1.375-1.437 5|=0.062 50.1.所以，原方程的近似解可取为1.375.【训练】用二分法求函数f(x)x3x1在区间1，1.5内的一个零点(精确度0.01).解：经计算，f(1)0，所以函数在1，1.5内存在零点x0.取区间(1，1.5)的中点x11.25，经计算f(1.25)0，因为f(1.25)f(1.5)0，所以x0(1.25，1.5).如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：(a，b)(a，b)的中点中点函数值符号(1，1.5)1.25f(1.25)0(1.25，1.375)1.312 5f(1.312 5)0(1.312 5，1.343 75)1.328 125f(1.328 125)0(1.312 5，1.328 125)1.320 312 5f(1.320 312 5)0因为|1.328 1251.320 312 5|0.007 812 50.01，所以函数f(x)x3x1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125.1.二分法的定义.2.给定精确度,用二分法求函数f（x）零点的近似值的步骤.谢谢！